量子力学阶梯

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量子力学阶梯

这不是电子书。12 个 3D 交互场景是这里的主讲人——每一个重要原理都尽可能用三维把物理图像讲透，让你先「看见」量子世界在发生什么，再谈公式。所有计算都在你的浏览器里实时进行。

从 Bloch 球开始全部 16 个模块怎么用这个平台？

先看这五个

全部模块 →

3D 是主讲人

能用三维讲清楚的，绝不只用二维图或纯文字。每个场景都支持旋转、缩放、剖切、时间演化与预设视角。

数字是算出来的

本征值问题、split-operator 演化、蒙特卡洛采样全在浏览器里跑。读数区会把数值解与解析解并排放着让你对照。

先图像，后数学

每个场景配一份观察指南（该看什么、调什么），以及一组「常见错误直觉」——那些几乎每个人都会踩一次的坑。

三条路线，看你从哪来

第一次接触量子力学

按模块编号顺序走：01 → 02 → 03 → 04，四个模块之后你已经能读懂大多数科普里说错的地方。

正在上量子力学课

课上讲到哪，就来对应模块看一眼图像，再回去看推导。场景下方的「深入阅读」直达教材小节。

目标是量子信息

跳过连续谱与氢原子，主攻二能级系统：Bloch 球 → 测量 → 纠缠 → 退相干。

还有一整本教材

3D 模块负责建立图像，完整的推导、习题与数值方法在教材部分： 18 章、106 节，其中 106 节已定稿。每个模块页面底部都有对应章节的直达链接。

00使用指南与学习路线 01历史与物理图像 02波函数与薛定谔方程 03形式体系：Dirac 符号与公设 04一维问题精讲与数值方法 05角动量与自旋 06氢原子与中心力场 07近似方法

—

你的学习进度只存在本机浏览器里

12

个 3D 场景

16

个模块

106

节教材

公式速查

基本方程

含时薛定谔方程出处
$\ii\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat H\,\Psi(x,t)$
量子力学的运动方程，一阶时间导数
定态薛定谔方程出处
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}+V(x)\psi=E\psi$
本征值问题；解出 E 与 ψ
哈密顿算符出处
$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x),\qquad \hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
定态的时间演化出处
$\Psi(x,t)=\psi(x)\,\ee^{-\ii Et/\hbar}$
只多一个整体相位，|Ψ|² 不随时间变

概率与期望值

Born 规则出处
$P(a\le x\le b)=\int_a^b|\Psi(x,t)|^2\,\dd x$
归一化条件出处
$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x=1$
概率流密度出处
$j=\frac{\hbar}{2m\ii}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right)$
满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
期望值出处
$\langle \hat A\rangle=\int \Psi^*\hat A\,\Psi\,\dd x$
不确定性原理出处
$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$
Ehrenfest 定理出处
$\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\frac{\langle p\rangle}{m},\qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
期望值遵守牛顿方程

一维精确解

无限深势阱出处
$\psi_n=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$
谐振子能级出处
$E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots$
谐振子基态出处
$\psi_0=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$
升降算符出处
$\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp \ii\hat p+m\omega\hat x),\qquad [\hat a_-,\hat a_+]=1$
高斯波包出处
$\Psi(x,0)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}\ee^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}\ee^{\ii k_0x}$
自由粒子色散关系出处
$\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{\dd\omega}{\dd k}=\frac{\hbar k}{m}$
群速度是相速度的两倍
矩形势垒透射率（E < V₀）出处
$T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
厚垒近似出处
$T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\ee^{-2\kappa a}$
κa ≫ 1 时用；指数因子是主导项

常数与换算

约化普朗克常数
$\hbar=1.054\,571\times10^{-34}\ \text{J·s}=6.582\times10^{-16}\ \text{eV·s}$
电子质量
$m_e=9.109\times10^{-31}\ \text{kg}=511\ \text{keV}/c^2$
玻尔半径
$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=0.529\ \text{Å}$
氢原子基态能
$E_1=-13.606\ \text{eV}$
精细结构常数
$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}$
常用换算
$\hbar c=197.3\ \text{eV·nm},\qquad k_BT\big|_{300\text{K}}=25.9\ \text{meV}$