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2.10

自由粒子与高斯波包

最简单的势（没有势）反而最麻烦：定态不可归一化。解决办法是把它们叠起来，代价是波包会散开。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明自由粒子定态为什么不可归一化，以及为什么它们仍然有用
  • 区分相速度与群速度，并说明哪个才是粒子的速度
  • 由色散关系解释波包展宽，并估算展宽时间
V(x)=0(2.10.1)V(x)=0\tag{2.10.1}

看起来是最简单的情形。实际上它引出了整章最微妙的问题。

定态：不可归一化

定态方程

−ℏ22md2ψdx2=Eψ  ⟹  ψk(x)=Aeikx,k=±2mEℏ(2.10.2)-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}=E\psi \;\Longrightarrow\; \psi_k(x)=A\ee^{\ii kx},\qquad k=\pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{2.10.2}

加上时间因子：

Ψk(x,t)=A ei(kx−ℏk22mt)(2.10.3)\Psi_k(x,t)=A\,\ee^{\ii\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)}\tag{2.10.3}

k>0k>0 右行，k<0k<0 左行，E=ℏ2k2/2mE=\hbar^2k^2/2m 对任意实数 kk 都允许——能谱是连续的。

麻烦在于

∫−∞∞∣Ψk∣2dx=∣A∣2∫−∞∞dx=∞(2.10.4)\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi_k|^2\dd x=|A|^2\int_{-\infty}^{\infty}\dd x=\infty\tag{2.10.4}

波包：把平面波叠起来

方程线性，所以可以叠加。kk 连续，求和变积分：

Ψ(x,t)=12π∫−∞∞ϕ(k) ei(kx−ℏk22mt)dk(2.10.5)\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,\ee^{\ii\left(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)}\dd k\tag{2.10.5}

ϕ(k)\phi(k) 是动量空间波函数。给定初态，它由傅里叶变换给出：

ϕ(k)=12π∫−∞∞Ψ(x,0) e−ikxdx(2.10.6)\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)\,\ee^{-\ii kx}\dd x\tag{2.10.6}

物理图像

两个表象，一个态。

Ψ(x)\Psi(x) 和 ϕ(k)\phi(k) 携带完全相同的信息，只是「用什么基去展开」不同。 ∣Ψ(x)∣2|\Psi(x)|^2 给位置分布，∣ϕ(k)∣2|\phi(k)|^2 给动量分布（准确说是 ∣ϕ(k)∣2dk|\phi(k)|^2\dd k， p=ℏkp=\hbar k）。

这是量子力学的核心结构之一：同一个态，可以在不同的基下展开。 3.1–3.2 节会把它抽象成 「同一个矢量在不同坐标系下的分量」。

数学形式

Parseval 定理保证归一化在两个表象里一致：

∫∣Ψ(x)∣2dx=∫∣ϕ(k)∣2dk=1(2.10.7)\int|\Psi(x)|^2\dd x=\int|\phi(k)|^2\dd k=1\tag{2.10.7}

傅里叶变换的基本性质

σxσk≥12(2.10.8)\sigma_x\sigma_k\ge\frac12\tag{2.10.8}

配合 p=ℏkp=\hbar k 立刻给出

σxσp≥ℏ2(2.10.9)\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\tag{2.10.9}

不确定性原理就是傅里叶分析的定理加上 de Broglie 关系。

相速度与群速度

平面波 ei(kx−ωt)\ee^{\ii(kx-\omega t)} 的等相位点以

vphase=ωk=ℏk2m=p2m(2.10.10)v_\text{phase}=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m}=\frac{p}{2m}\tag{2.10.10}

移动。这是经典速度 p/mp/m 的一半——如果这就是粒子速度，量子力学从一开始就错了。

推导：波包整体以群速度移动进阶~6 min

设 ϕ(k)\phi(k) 集中在 k0k_0 附近的窄范围内。把色散关系在 k0k_0 处展开：

ω(k)=ω0+ω′(k0)(k−k0)+12ω′′(k0)(k−k0)2+⋯(2.10.11)\omega(k)=\omega_0+\omega'(k_0)(k-k_0)+\frac12\omega''(k_0)(k-k_0)^2+\cdots\tag{2.10.11}

先只保留到一阶。记 q=k−k0q=k-k_0，vg≡ω′(k0)v_g\equiv\omega'(k_0)：

Ψ(x,t)≈ei(k0x−ω0t)2π∫ϕ(k0+q) eiq(x−vgt)dq(2.10.12)\Psi(x,t)\approx\frac{\ee^{\ii(k_0x-\omega_0t)}}{\sqrt{2\pi}}\int\phi(k_0+q)\,\ee^{\ii q(x-v_gt)}\dd q\tag{2.10.12}

积分只通过组合 x−vgtx-v_gt 依赖于 xx 和 tt。也就是说

∣Ψ(x,t)∣2≈∣Ψ(x−vgt, 0)∣2(2.10.13)|\Psi(x,t)|^2\approx|\Psi(x-v_gt,\,0)|^2\tag{2.10.13}

包络整体以 vgv_g 平移，形状不变。 而

vg=dωdk∣k0=ddkℏk22m=ℏk0m=p0m(2.10.14)v_g=\left.\frac{\dd\omega}{\dd k}\right|_{k_0}=\frac{\dd}{\dd k}\frac{\hbar k^2}{2m}=\frac{\hbar k_0}{m}=\frac{p_0}{m}\tag{2.10.14}

这才是经典速度。 相速度描述的是内部条纹的移动，不携带粒子。

波包会散开

现在保留二阶项。ω′′=ℏ/m≠0\omega''=\hbar/m\ne0 意味着色散：不同 kk 分量以不同速度传播。

推导：高斯波包的展宽公式进阶~8 min

取初态高斯波包

Ψ(x,0)=(2πσ02)−1/4e−x2/4σ02eik0x(2.10.15)\Psi(x,0)=(2\pi\sigma_0^2)^{-1/4}\ee^{-x^2/4\sigma_0^2}\ee^{\ii k_0x}\tag{2.10.15}

其傅里叶变换仍是高斯（这是高斯函数的特殊性质）：

ϕ(k)∝e−σ02(k−k0)2(2.10.16)\phi(k)\propto\ee^{-\sigma_0^2(k-k_0)^2}\tag{2.10.16}

宽度 σk=1/2σ0\sigma_k=1/2\sigma_0，所以 σxσp=σ0⋅ℏ2σ0=ℏ2\sigma_x\sigma_p=\sigma_0\cdot\frac{\hbar}{2\sigma_0}=\frac{\hbar}{2}—— 高斯波包精确取到不确定性下限。这是它的特殊地位所在。

代入演化积分（配方后做高斯积分，代数繁琐但无技巧），得

∣Ψ(x,t)∣2=12π σ(t)exp⁡[−(x−vgt)22σ(t)2](2.10.17)|\Psi(x,t)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma(t)}\exp\left[-\frac{(x-v_gt)^2}{2\sigma(t)^2}\right]\tag{2.10.17} σ(t)=σ01+(ℏt2mσ02)2 (2.10.18)\boxed{\ \sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}\ }\tag{2.10.18}

定义展宽时间

τ=2mσ02ℏ(2.10.19)\tau=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{2.10.19}

t≪τt\ll\tau 时波包基本不变；t≫τt\gg\tau 时 σ≈σ0t/τ=ℏt2mσ0\sigma\approx\sigma_0 t/\tau=\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}， 线性增长。

数量级：什么时候需要在意展宽基础~4 min
τ=2mσ02ℏ(2.10.20)\tau=\frac{2m\sigma_0^2}{\hbar}\tag{2.10.20}

电子，σ0=1 nm\sigma_0=1\ \text{nm}：

τ=2×9.11×10−31×(10−9)21.055×10−34≈1.7×10−14 s(2.10.21)\tau=\frac{2\times9.11\times10^{-31}\times(10^{-9})^2}{1.055\times10^{-34}}\approx1.7\times10^{-14}\ \text{s}\tag{2.10.21}

约 17 飞秒。电子波包散得非常快——这就是为什么电子显微镜和量子器件设计必须认真对待它。

一粒尘埃，m=10−15m=10^{-15} kg，σ0=10−6\sigma_0=10^{-6} m：

τ=2×10−15×10−121.055×10−34≈1.9×107 s(2.10.22)\tau=\frac{2\times10^{-15}\times10^{-12}}{1.055\times10^{-34}}\approx1.9\times10^{7}\ \text{s}\tag{2.10.22}

约 7 个月。而实际上尘埃早在这之前就被空气分子撞得 退相干了，展宽根本没机会发生。

结论：量子展宽在宏观世界不可见，不是因为公式失效， 而是因为 τ∝mσ02\tau\propto m\sigma_0^2 在宏观参数下大得离谱。

波包演化与散射

高斯波包撞上矩形势垒。用分步算符法实时求解含时薛定谔方程，ħ = m = 1。

E / V₀
0.80
反射 R
0.000
透射 T
0.000
波包宽度 Δx
3.00

点「播放」让波包撞上势垒。波包完全离开势垒区后 R、T 会自动锁定。势垒在网格上的实际宽度 a = 1.500。

2.00

E = k₀²/2 = 2.00

2.5

正值 = 势垒

1.5

T 随 a 指数衰减：T ~ e^(−2κa)

3.0

σ 越大动量越确定，越接近平面波

视图
8×

试试看

  • 默认参数下 E ≈ 2.0 < V₀ = 2.5，经典粒子 100% 被弹回。播放看看：有一部分波包穿过去了。这就是隧道效应，也是扫描隧道显微镜与 α 衰变的原理。
  • 把 a 从 1.5 加到 4，重放。透射率暴跌——T ~ e^(−2κa) 是指数衰减，势垒稍微加宽一点，隧穿概率就掉几个数量级。
  • 把 V₀ 调到 1.0（此时 E > V₀，经典应当 100% 透射），重放：仍然有明显的反射峰跑回左边。波遇到势的突变就会部分反射，跟光在玻璃表面一样。
  • 切到「透射率曲线」，把 V₀ 设成负值（势阱）：曲线在某些能量处回到 T = 1。这是共振透射，历史上表现为惰性气体对慢电子近乎透明的 Ramsauer–Townsend 效应。
  • 把 σ 调到 8 再散射，测得的 T 会更贴近解析曲线上的空心圆点——波包越接近平面波，「单一能量」的近似就越好。

本节关键公式

  • 自由粒子定态

    Ψk(x,t)=A ei(kx−ℏk2t/2m)\Psi_k(x,t)=A\,\ee^{\ii(kx-\hbar k^2t/2m)}

    不可归一化；只能作为展开基使用

  • 波包展开

    Ψ(x,t)=12π∫ϕ(k)ei(kx−ω(k)t)dk\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\phi(k)\ee^{\ii(kx-\omega(k)t)}\dd k

    φ(k) 由 Ψ(x,0) 的傅里叶变换给出

  • 群速度

    vg=dωdk=ℏk0m=p0m=2vphasev_g=\frac{\dd\omega}{\dd k}=\frac{\hbar k_0}{m}=\frac{p_0}{m}=2v_{\text{phase}}

    包络的速度才是粒子速度

  • 高斯波包展宽

    σ(t)=σ01+(ℏt2mσ02)2\sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}

    展宽时间 τ = 2mσ₀²/ħ

自测共 4 题

  1. 1.

    自由粒子的平面波解 e^{ikx} 不可归一化。正确的理解是：

  2. 2.

    非相对论自由粒子的相速度与群速度关系是：

  3. 3.

    初始宽度为 σ₀ 的自由高斯波包，其展宽时间 τ = 2mσ₀²/ħ。若把 σ₀ 增大到 3 倍，τ 变为原来的：

  4. 4.

    为什么谐振子中的相干态不会展宽，而自由波包会？

接下来

最后一节把波包用在一个具体的靶子上：一堵它「本不该」穿过的墙。

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