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8.1

全同性原理

经典粒子可以贴标签，量子粒子不能。这个看似无害的差别，会长出泡利不相容、化学周期律和白矮星的支撑力——本节先把根挖出来。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说出「全同粒子」的严格含义，并解释为什么量子粒子原则上无法贴标签
  • 写出交换算符，证明它的本征值只能是 ±1
  • 解释为什么物理态必须是交换算符的本征态
  • 对比可分辨与全同粒子的态计数差异，并算出具体数目

前面七章处理的几乎都是一个粒子：一个电子在势阱里、在氢原子里、在微扰下跃迁。 偶尔出现两个粒子（比如 3.10 节 的纠缠态）， 我们也默认能把它们叫作「粒子 1」和「粒子 2」。

这一章要面对一个尴尬的事实：当两个粒子是同一种粒子时，「1」和「2」这两个标签根本贴不上去。 而且这不是技术困难，是原理性的。这个原理的后果大得惊人——没有它就没有化学、没有固体、 没有你脚下不塌陷的地板。

一个思想实验：给台球贴标签

先看经典世界。桌上有两颗完全一样的白色台球，出厂参数一模一样。它们「全同」吗？

某种意义上是。但你仍然可以区分它们——办法很简单：盯着看。 在 t=0t=0 时刻给左边那颗起名叫 A、右边叫 B，然后全程跟踪轨迹。 无论它们怎么碰撞、交换位置，每一时刻你都能说出「现在左边这颗是 A 还是 B」。 经典粒子有连续、确定的轨迹，轨迹就是天然的标签。哪怕不用笔写，标签也一直在。

现在换成两个电子。麻烦来了：

  1. 电子没有轨迹。 第 2 章讲过，电子由波函数描述，位置只在测量时才有取值。 两次测量之间，「它走了哪条路」这个问题没有答案（想想双缝）。
  2. 波包会重叠。 两个电子靠近时，各自的波函数在空间中融成一片。 下一次测量在某处发现一个电子时，原则上无法回答「这是刚才的哪一个」—— 不是仪器不够好，而是这个问题在理论里就没有对应物。
  3. 电子没有任何可供区分的「出厂编号」。 所有电子的质量、电荷、自旋大小严格相等， 实验对电子质量一致性的检验精度已好于 10−810^{-8}。没有哪个电子比别的电子「旧」一点。

于是我们得到全同粒子的定义：所有内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同、 因而不存在任何物理手段加以区分的粒子。宇宙里任何两个电子都是全同的； 电子和质子不是（质量差 1836 倍）；甚至质子和中子也不是（电荷不同）。

已有的形式体系哪里出了问题

按第 3 章的规则，两粒子体系的态写成波函数 ψ(r⃗1,r⃗2)\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)—— 先不管自旋，r⃗1\vec{r}_1 是「粒子 1」的坐标，r⃗2\vec{r}_2 是「粒子 2」的坐标。

但我们刚刚论证过：对全同粒子，「粒子 1」「粒子 2」这两个标签没有物理意义， 它们只是我们写公式时的记账符号。于是必须要求：任何可观测的预言都不能依赖标签的分配方式。

概率密度是可观测的，所以至少要有

∣ψ(r⃗1,r⃗2)∣2=∣ψ(r⃗2,r⃗1)∣2(8.1.1)|\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)|^2=|\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)|^2\tag{8.1.1}

「在 aa 处发现一个粒子、bb 处发现另一个」的概率，不能因为你把标签换着贴而改变。 注意一般的二元函数完全可以违反这条——比如 ψ∝e−r1 e−2r2\psi\propto\ee^{-r_1}\,\ee^{-2r_2} （一个粒子在内层、一个在外层）就明显不满足。全同性是对态空间的真实限制，不是空话。

交换算符

把「换标签」升级成一个算符。定义交换算符 P^12\hat{P}_{12}：

P^12 ψ(r⃗1,r⃗2)=ψ(r⃗2,r⃗1)(8.1.2)\hat{P}_{12}\,\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)\tag{8.1.2}
交换算符的本征值只能是 ±1基础~5 min

第一步：交换两次等于什么都没做。

P^122 ψ(r⃗1,r⃗2)=P^12 ψ(r⃗2,r⃗1)=ψ(r⃗1,r⃗2)(8.1.3)\hat{P}_{12}^2\,\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\hat{P}_{12}\,\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)=\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)\tag{8.1.3}

对任意 ψ\psi 成立，所以 P^122=1^\hat{P}_{12}^2=\hat{1}。

第二步：求本征值。

设 P^12ψ=λψ\hat{P}_{12}\psi=\lambda\psi。两边再作用一次 P^12\hat{P}_{12}：

P^122ψ=λP^12ψ=λ2ψ(8.1.4)\hat{P}_{12}^2\psi=\lambda\hat{P}_{12}\psi=\lambda^2\psi\tag{8.1.4}

而左边就是 ψ\psi，所以 λ2=1\lambda^2=1，即

λ=+1或λ=−1(8.1.5)\lambda=+1\quad\text{或}\quad\lambda=-1\tag{8.1.5}

第三步：两类本征态。

  • λ=+1\lambda=+1：ψ(r⃗2,r⃗1)=+ψ(r⃗1,r⃗2)\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)=+\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)，称为对称；
  • λ=−1\lambda=-1：ψ(r⃗2,r⃗1)=−ψ(r⃗1,r⃗2)\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)=-\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)，称为反对称。

两者都满足 ∣ψ(r⃗1,r⃗2)∣2=∣ψ(r⃗2,r⃗1)∣2|\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)|^2=|\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)|^2—— 模平方吃掉了那个正负号。

第四步：这个性质不会随时间丢失。

全同粒子的哈密顿量必然对两个坐标对称（质量相同、势能对调坐标不变）， 例如 H^=p^122m+p^222m+V(r⃗1)+V(r⃗2)+U(∣r⃗1−r⃗2∣)\hat{H}=\frac{\hat p_1^2}{2m}+\frac{\hat p_2^2}{2m}+V(\vec{r}_1)+V(\vec{r}_2)+U(|\vec{r}_1-\vec{r}_2|)。 对这样的 H^\hat{H}，先交换再演化与先演化再交换结果相同：

[P^12,H^]=0(8.1.6)[\hat{P}_{12},\hat{H}]=0\tag{8.1.6}

由 3.6 节 的结论，P^12\hat{P}_{12} 是守恒量： 开始是对称的态永远对称，开始反对称的永远反对称。对称性是粒子的「终身身份」。

为什么必须「二选一」

上面只证明了：如果态是 P^12\hat{P}_{12} 的本征态，本征值就是 ±1。 但一般的态可以是两者的叠加，比如 ψ=cSψS+cAψA\psi=c_S\psi_S+c_A\psi_A，它交换后变成 cSψS−cAψAc_S\psi_S-c_A\psi_A——是另一个态。这种叠加态的模平方在交换下并不不变 （交叉项变号），所以它给出依赖标签的预言，必须被排除。

于是量子力学补上一条公设（有时叫对称化公设）：

全同粒子体系的物理态必须是交换算符的本征态： 要么对所有两两交换全对称，要么全反对称。

这条无法从前面的公设推出来，地位和 3.7 节 的五条公设一样， 是被实验反复检验的独立假设。

物理图像

直觉版。 标签是我们发明的，自然界不认识它。凡是「换标签会变」的数学对象都含有多余信息， 就像用带编号的扑克牌描述一副本来无编号的牌——描述里编号怎么排都对应同一副牌。

量子力学的特别之处在于：允许描述在换标签时变一个负号，因为一切概率都只依赖模平方。 经典概率论没有这个缝隙——概率本身必须完全对称。 这一个负号的自由度，就是量子统计与经典统计的全部分岔点。

数学形式

公式版。 二粒子态空间 H=H1⊗H2\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2 分解为对称与反对称两个子空间：

H=HS⊕HA(8.1.7)\mathcal{H}=\mathcal{H}_S\oplus\mathcal{H}_A\tag{8.1.7}

对称化公设说：物理态只允许住在其中一个子空间里，且由粒子种类决定住哪个。

从任意 ϕa(r⃗1)ϕb(r⃗2)\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2) 出发，两种合法组合是

ψ±(r⃗1,r⃗2)=12[ϕa(r⃗1)ϕb(r⃗2)±ϕb(r⃗1)ϕa(r⃗2)](8.1.8)\psi_\pm(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2)\pm\phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2)\bigr]\tag{8.1.8}

（a≠ba\ne b 且正交时归一化因子取 1/21/\sqrt2。）

全同性改变计数：一个具体例子

全同性最直接的可观测后果是状态数目变了。设有 3 个单粒子能级 ε1,ε2,ε3\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3， 放 2 个粒子：

粒子类型允许的态数目
可分辨ϕi(1)ϕj(2)\phi_i(1)\phi_j(2)，i,ji,j 任取3×3=93\times3=9
全同、对称ϕiϕj\phi_i\phi_j 的对称组合（i≤ji\le j，含 i=ji=j）66
全同、反对称ψ−\psi_-，要求 i≠ji\ne j33

三种计数对应三种统计分布：Maxwell–Boltzmann（经典）、Bose–Einstein、Fermi–Dirac。 注意反对称那一栏：i=ji=j 时 ψ−≡0\psi_-\equiv0，两个粒子占同一能级的态直接消失了—— 这就是下下节泡利不相容原理的雏形。还要注意对称粒子「挤在同一能级」的态占比 （3/63/6）比可分辨情形（3/93/9）更高：对称粒子有一种统计上的「扎堆」倾向， 激光和玻色–爱因斯坦凝聚都靠它。

本节关键公式

  • 交换算符

    P^12 ψ(r⃗1,r⃗2)=ψ(r⃗2,r⃗1),P^122=1^\hat{P}_{12}\,\psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)=\psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1),\qquad \hat{P}_{12}^2=\hat{1}

    本征值只能是 ±1

  • 对称化公设

    P^12∣ψ⟩=±∣ψ⟩\hat{P}_{12}\ket{\psi}=\pm\ket{\psi}

    物理态必须二选一，符号由粒子种类决定

  • 守恒性

    [P^12,H^]=0[\hat{P}_{12},\hat{H}]=0

    对称性是终身身份，演化不会改变

  • 两粒子基本组合

    ψ±=12[ϕa(r⃗1)ϕb(r⃗2)±ϕb(r⃗1)ϕa(r⃗2)]\psi_\pm=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\phi_a(\vec{r}_1)\phi_b(\vec{r}_2)\pm\phi_b(\vec{r}_1)\phi_a(\vec{r}_2)\bigr]

    a = b 时反对称组合恒为零

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么经典粒子「可以贴标签」而量子全同粒子不能？

  2. 2.

    关于交换算符 P̂₁₂，正确的说法是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    把 2 个全同粒子放进 4 个单粒子能级。若体系波函数必须反对称（且只考虑这一个自由度），共有多少个不同的允许态？

    个允许 0% 相对误差
  4. 4.

    地球上的电子与月球上的电子也是全同的。为什么计算地面实验时可以不管月球电子？

接下来

我们证明了物理态必须「对称或反对称、二选一」，却没有回答：谁选哪个？

答案出奇地整齐：由粒子的自旋决定，而且一刀切——半整数自旋一律反对称，整数自旋一律对称。 下一节介绍这两大家族的名字：费米子与玻色子，以及那条把自旋和统计焊在一起的定理。

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