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3.10

密度算符入门

当你不知道体系处于哪个态，或者它根本没有自己的态时，态矢量就不够用了。密度算符是那个够用的工具。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出纯态与混合态的密度算符，并说出 ρ 的三条基本性质
  • 用 Tr(ρ²) 判断纯度，并解释它的取值范围
  • 区分「叠加」与「混合」，说明两者在实验上如何分辨
  • 说明约化密度算符为什么是必需的

前面九节一直默认：体系有一个确定的态矢量 ∣ψ⟩\ket{\psi}。

这一节处理两种它不够用的情形——而这两种在真实实验里几乎是常态。

两种「不知道」

物理图像

情形一：经典的无知

从炉子里飞出来的银原子，自旋方向完全随机。你知道每一个原子都有确定的自旋态，但不知道是哪个。

这是经典概率：50% 是 ∣↑⟩\ket{\uparrow}，50% 是 ∣↓⟩\ket{\downarrow}。

注意这不是叠加态 12(∣↑⟩+∣↓⟩)\frac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow})——那是一个确定的、沿 +x+x 方向自旋的态，与「不知道是上还是下」完全不同。下面会说清楚怎么分辨。

数学形式

情形二：它根本没有自己的态

设两个粒子处于纠缠态

∣Ψ⟩=12(∣↑⟩A∣↓⟩B−∣↓⟩A∣↑⟩B)(3.10.1)\ket{\Psi}=\frac{1}{\sqrt2}\big(\ket{\uparrow}_A\ket{\downarrow}_B-\ket{\downarrow}_A\ket{\uparrow}_B\big)\tag{3.10.1}

整体有确定的态。但粒子 A 单独有什么态？

答案是：没有。不存在任何 ∣ψ⟩A\ket{\psi}_A 使 ∣Ψ⟩=∣ψ⟩A⊗∣ϕ⟩B\ket{\Psi}=\ket{\psi}_A\otimes\ket{\phi}_B。

这不是无知的问题——即使你掌握了关于整体的全部信息，A 依然没有自己的态矢量。

两种情形都需要同一个新工具。

密度算符

纯态（知道是 ∣ψ⟩\ket{\psi}）：

ρ^=∣ψ⟩⟨ψ∣(3.10.2)\hat\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}\tag{3.10.2}

这就是3.2 节的投影算符。

混合态（以概率 pip_i 处于 ∣ψi⟩\ket{\psi_i}）：

ρ^=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣,pi≥0, ∑ipi=1(3.10.3)\hat\rho=\sum_i p_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i},\qquad p_i\ge0,\ \sum_ip_i=1\tag{3.10.3}
验证迹公式 ⟨A⟩ = Tr(ρÂ)基础~3 min

取任意正交归一基 {∣n⟩}\{\ket{n}\}：

Tr⁡(ρ^A^)=∑n⟨n∣ρ^A^∣n⟩=∑n∑ipi⟨n|ψi⟩⟨ψi∣A^∣n⟩(3.10.6)\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)=\sum_n\bra{n}\hat\rho\hat A\ket{n} =\sum_n\sum_ip_i\braket{n}{\psi_i}\bra{\psi_i}\hat A\ket{n}\tag{3.10.6}

把两个数交换位置（它们都是复数，可交换），再对 nn 求和用完备性 ∑n∣n⟩⟨n∣=1^\sum_n\ket{n}\bra{n}=\hat 1：

=∑ipi⟨ψi∣A^(∑n∣n⟩⟨n∣)∣ψi⟩=∑ipi⟨ψi∣A^∣ψi⟩(3.10.7)=\sum_ip_i\bra{\psi_i}\hat A\Big(\sum_n\ket{n}\bra{n}\Big)\ket{\psi_i}=\sum_ip_i\bra{\psi_i}\hat A\ket{\psi_i}\tag{3.10.7}

正是要求的形式。■\blacksquare

注意迹与基的选择无关，所以这个公式在任何表象里都能用。

ρ 的三条性质

物理图像

1. 厄米：ρ^†=ρ^\hat\rho^\dagger=\hat\rho

因为每个 ∣ψi⟩⟨ψi∣\ket{\psi_i}\bra{\psi_i} 厄米，pip_i 实。

2. 迹为 1：Tr⁡ρ^=1\operatorname{Tr}\hat\rho=1

Tr⁡ρ^=∑ipi⟨ψi|ψi⟩=∑ipi=1(3.10.8)\operatorname{Tr}\hat\rho=\sum_ip_i\braket{\psi_i}{\psi_i}=\sum_ip_i=1\tag{3.10.8}

对应「总概率为 1」。

3. 半正定：⟨ϕ∣ρ^∣ϕ⟩≥0\bra{\phi}\hat\rho\ket{\phi}\ge0

⟨ϕ∣ρ^∣ϕ⟩=∑ipi∣⟨ϕ|ψi⟩∣2≥0(3.10.9)\bra{\phi}\hat\rho\ket{\phi}=\sum_ip_i|\braket{\phi}{\psi_i}|^2\ge0\tag{3.10.9}

对应「概率非负」。

数学形式

反过来也成立

任何满足这三条的算符都是某个物理态的密度算符。所以这三条可以直接当作定义：

量子态 = 厄米、迹为 1、半正定的算符

这比「归一化的态矢量」更一般，也更接近实验——你在实验室里能制备的最一般的东西就是一个 ρ^\hat\rho。

由厄米性可对角化：

ρ^=∑kλk∣k⟩⟨k∣(3.10.10)\hat\rho=\sum_k\lambda_k\ket{k}\bra{k}\tag{3.10.10}

λk≥0\lambda_k\ge0、∑kλk=1\sum_k\lambda_k=1。这组本征值就是在本征基下的经典概率分布。

纯度：怎么判断是纯态还是混合态

叠加与混合：怎么在实验上分辨

这是本节最关键的一点，也是初学最容易混的地方。

物理图像

叠加态（纯态）

∣+⟩=12(∣↑⟩+∣↓⟩)(3.10.16)\ket{+}=\frac{1}{\sqrt2}\big(\ket{\uparrow}+\ket{\downarrow}\big)\tag{3.10.16}ρ^pure=12(1111)(3.10.17)\hat\rho_\text{pure}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\tag{3.10.17}

Tr⁡ρ2=1\operatorname{Tr}\rho^2=1。

混合态

「50% 上、50% 下」

ρ^mix=12(1001)(3.10.18)\hat\rho_\text{mix}=\frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\tag{3.10.18}

Tr⁡ρ2=1/2\operatorname{Tr}\rho^2=1/2。

数学形式

沿 z 测量：完全一样

两者都给出 50% 上、50% 下。只测 z 永远分不出来。

沿 x 测量：立刻分开

ρ^pure\hat\rho_\text{pure}：它就是 ∣+x⟩\ket{+_x}，所以

P(+x)=1(3.10.19)P(+_x)=1\tag{3.10.19}

ρ^mix\hat\rho_\text{mix}：

P(+x)=Tr⁡(ρ^mix∣+x⟩⟨+x∣)=12(3.10.20)P(+_x)=\operatorname{Tr}(\hat\rho_\text{mix}\ket{+_x}\bra{+_x})=\frac12\tag{3.10.20}

区别全在非对角元上。 它们叫相干项，是干涉能力的所在。退相干干的事，就是把它们抹掉（10.5 节）。

约化密度算符

回到开头的情形二。

从纠缠态提取单粒子的态进阶~6 min

对复合系统 ρ^AB\hat\rho_{AB}，把 B 的自由度追迹掉：

ρ^A=Tr⁡Bρ^AB=∑j⟨j∣Bρ^AB∣j⟩B(3.10.23)\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB}=\sum_j\bra{j}_B\hat\rho_{AB}\ket{j}_B\tag{3.10.23}

对单态 ∣Ψ⟩=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩)\ket{\Psi}=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow})：

ρ^AB=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩)(⟨↑↓∣−⟨↓↑∣)(3.10.24)\hat\rho_{AB}=\frac12\big(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}\big)\big(\bra{\uparrow\downarrow}-\bra{\downarrow\uparrow}\big)\tag{3.10.24}

对 B 追迹（取 ∣j⟩B∈{∣↑⟩B,∣↓⟩B}\ket{j}_B\in\{\ket{\uparrow}_B,\ket{\downarrow}_B\}）。交叉项含 ⟨↑|↓⟩B=0\braket{\uparrow}{\downarrow}_B=0，全部消失，剩下

ρ^A=12∣↑⟩⟨↑∣+12∣↓⟩⟨↓∣=121^(3.10.25)\hat\rho_A=\frac12\ket{\uparrow}\bra{\uparrow}+\frac12\ket{\downarrow}\bra{\downarrow}=\frac12\hat 1\tag{3.10.25}

A 单独看是最大混合态，Tr⁡ρA2=1/2\operatorname{Tr}\rho_A^2=1/2。

这件事值得停下来想一想： 整体 ∣Ψ⟩\ket{\Psi} 是纯态（Tr⁡ρAB2=1\operatorname{Tr}\rho_{AB}^2=1，我们对它掌握了全部信息），可它的每一个部分却处于最大混合态——对它们一无所知。

经典世界里这不可能：知道整体就知道部分。量子世界里，信息可以完全存放在关联之中，而不在任何一方身上。

这正是纠缠的定义性特征。9.3 节会用 ρ^A\hat\rho_A 的冯·诺依曼熵 S=−Tr⁡(ρln⁡ρ)S=-\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho) 把「纠缠了多少」变成一个数。

本节关键公式

  • 密度算符

    ρ^=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣\hat\rho=\sum_ip_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}

    纯态是只有一项的特例

  • 期望值

    ⟨A⟩=Tr⁡(ρ^A^)\langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)

    迹与表象无关，任何基下都能算

  • 三条性质

    ρ^†=ρ^,Tr⁡ρ^=1,ρ^≥0\hat\rho^\dagger=\hat\rho,\quad\operatorname{Tr}\hat\rho=1,\quad\hat\rho\ge0

    反过来也成立，可直接当定义

  • 纯度

    1d≤Tr⁡(ρ^2)≤1\frac1d\le\operatorname{Tr}(\hat\rho^2)\le1

    = 1 为纯态；= 1/d 为最大混合态

  • 约化密度算符

    ρ^A=Tr⁡Bρ^AB\hat\rho_A=\operatorname{Tr}_B\hat\rho_{AB}

    纠缠态的部分必然是混合态

  • 冯·诺依曼方程

    iℏdρ^dt=[H^,ρ^]\ii\hbar\frac{\dd\hat\rho}{\dd t}=[\hat H,\hat\rho]

    与海森堡方程差一个负号

自测共 4 题

  1. 1.

    叠加态 (|↑⟩+|↓⟩)/√2 与「50% |↑⟩、50% |↓⟩」的混合态，如何在实验上分辨？

  2. 2.

    关于 Tr(ρ²)，正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    对纠缠的单态求约化密度算符，得到 ρ_A = ½·1。这说明：

  4. 4.

    为什么同一个密度算符可以对应多种不同的「制备方式」？

接下来

第 3 章的工具到此备齐。最后一节做一次结算：把第 2 章那些花了大量篇幅的推导，用新语言重做一遍。

你会看到有些证明从半页缩到三行，有些则从「解偏微分方程」变成了「做代数」。

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