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3.7

量子力学基本公设

把前面所有内容压缩成五条。这一节的价值在于分清：哪些必须假设，哪些可以推出来。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 完整复述五条公设及其数学表述
  • 分清哪些结论是公设、哪些是推论
  • 说出每条公设背后的实验依据

到这里，工具都齐了。这一节做一件整理工作：把整套理论压成最少的几条假设。

值得先说清楚为什么要做这件事。学到这里，你手上有一堆事实：Born 规则、薛定谔方程、算符、本征值、坍缩……它们地位并不相同——有些是必须承认的出发点，有些是从出发点推出来的。分不清这一点，就会把可推导的东西当成神秘的规定去背。

五条公设

哪些是推论，不是公设

这份清单和公设本身同样重要。

物理图像

这些都是推出来的：

  • 本征值是实数 ← 公设二的厄米性（3.5 节）
  • 不同本征值的本征矢正交 ← 同上
  • 本征矢构成完备基 ← 谱定理
  • ∑n∣cn∣2=1\sum_n|c_n|^2=1 ← 完备性 + 归一化
  • 不确定性原理 ← 公设一、二 + 对易关系（3.6 节）
  • 定态的期望值不随时间变 ← 公设四
  • 概率守恒 / 连续性方程 ← 公设四 + H^\hat H 厄米
  • Ehrenfest 定理 ← 公设三、四

数学形式

这些是真正的假设：

  • 态是 Hilbert 空间中的矢量（为什么是复数？）
  • 可观测量是厄米算符
  • ∣⟨an|ψ⟩∣2|\braket{a_n}{\psi}|^2 是概率（为什么是模平方？）
  • 演化由 H^\hat H 生成
  • 全同粒子只有两种交换对称性

括号里那两个「为什么」至今没有从更基本的原理推出来的公认答案。有一些漂亮的部分结果——Gleason 定理证明了在维数 ≥3\ge3 的空间里，任何满足基本一致性要求的概率赋值必然是 Born 规则的形式——但它假设了 Hilbert 空间结构本身。

本节关键公式

  • 公设一：态

    ∣ψ⟩∈H,⟨ψ|ψ⟩=1\ket{\psi}\in\mathcal H,\quad\braket{\psi}{\psi}=1

    整体相位无物理意义；「完全描述」排除了隐变量

  • 公设二：可观测量

    A^†=A^,测量值∈{an}\hat A^\dagger=\hat A,\quad\text{测量值}\in\{a_n\}

    实数性与正交性是推论，不是额外假设

  • 公设三：Born 规则

    P(an)=∣⟨an|ψ⟩∣2P(a_n)=|\braket{a_n}{\psi}|^2

    为什么是模平方——至今没有公认的更深理由

  • 公设三：投影

    ∣ψ⟩→P^n∣ψ⟩/∥P^n∣ψ⟩∥\ket{\psi}\to\hat P_n\ket{\psi}/\|\hat P_n\ket{\psi}\|

    非线性、非幺正、不可逆

  • 公设四：演化

    iℏddt∣ψ⟩=H^∣ψ⟩\ii\hbar\frac{\dd}{\dd t}\ket{\psi}=\hat H\ket{\psi}

    线性、幺正、可逆、确定

  • 公设五：全同性

    P^12∣ψ⟩=±∣ψ⟩\hat P_{12}\ket{\psi}=\pm\ket{\psi}

    玻色子取 +，费米子取 −

自测共 3 题

  1. 1.

    下列哪些是从公设推出来的结论，而不是公设本身？（多选）

    多选题

  2. 2.

    公设三（测量）与公设四（演化）之间的张力表现在：（多选）

    多选题

  3. 3.

    为什么五条公设里没有出现波函数？

接下来

五条公设里最不安分的是第三条。下一节把它单独拿出来，看清楚投影公设到底说了什么、没说什么，以及为什么它引出了七十年的争论。

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