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模块 01

波粒二象性与双缝

亲眼看着粒子一个一个打在屏上，累积出一道谁也没预先画好的干涉条纹。

你将看见什么

  • 屏上前几十个亮点毫无规律，几百个之后条纹自己浮现出来
  • 只开一条缝时有粒子到达的位置，开两条缝之后反而空了
  • 在缝口放上路径探测器，条纹当场消失；撤掉它，条纹回来

前置知识

  • 波的叠加与干涉（高中物理程度即可）
  • 概率与频率的关系

费曼说双缝实验「包含了量子力学的全部奥秘」。这话听起来像修辞，其实是字面意思：把这一个实验真的看懂，后面所有的怪事都只是它的变奏。

所以先别急着读公式。打开下面的场景，按播放，盯着屏看三十秒。

双缝：一个一个打上去的粒子，怎么会长出条纹

屏上每一个亮点都是一次独立的探测。看着它们一颗颗落下，条纹是自己浮现出来的——没有任何一个粒子「知道」条纹在哪。

3D 场景加载中…

实验模式
开着的缝
参数
0.090
0.70
0.18
9.0

改变 L 只改变条纹的疏密，不改变干涉本身

条纹间距 Δy = λL/d ≈ 1.16

发射
0 个
速度
显示
屏上分布

细线是理论强度 I(y)，填充是实测落点直方图。粒子数越多，两者越贴合。

I(y)=∣ψ1+ψ2∣2=∣ψ1∣2+∣ψ2∣2+2 Re(ψ1∗ψ2)I(y) = |\psi_1 + \psi_2|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\,\mathrm{Re}(\psi_1^*\psi_2)
Δy = λL/d = 1.157已探测 0 个可见度 高
  • 波场强度 / 理论 I(y)
  • 单个粒子的落点
  • 挡板与屏

观察指南

  • 先什么都别动，盯着屏看 10 秒：前几十个点看上去毫无规律，几百个之后条纹开始浮现。这就是「概率」两个字的实际含义。
  • 切到「只开左」：条纹消失，只剩一个宽包络（单缝衍射）。再切回双缝——注意双缝的暗纹位置，恰恰是单缝时有粒子到达的地方。「多开一条缝反而让某些地方没有粒子」，经典粒子图像在这里彻底失效。
  • 打开「在缝口安放探测器」：条纹当场消失，分布变成两条缝各自贡献的简单叠加。关掉它，条纹回来。获取路径信息与看到干涉，二者不可兼得。
  • 拖动波长 λ 与缝距 d，验证 Δy = λL/d：λ 变大条纹变疏，d 变大条纹变密。
  • 切到「经典波」并用俯视视角：看缝后的波场如何从两个点源扩散、交叠、形成放射状的亮暗扇形。屏上的条纹只是这个扇形与屏的交线。

✕ “粒子分裂了，一半走一条缝”

不会。每次探测到的都是一个完整的粒子，从不是半个。干涉的是概率幅，不是粒子本身。

✕ “粒子之间互相干涉”

把发射速率降到每秒一个、粒子在装置里绝不相遇，条纹照样出现。干涉发生在单个粒子的两条可能路径之间。

✕ “探测器把粒子撞歪了，所以条纹没了”

这个解释在某些具体装置里成立，但不是本质。即使用不交换动量的方式获取路径信息，条纹同样消失。真正的原因是路径信息被环境记录后，两条路径不再相干。

想一想

  1. 把 λ 调到最小、d 调到最大，条纹密到几乎看不见。宏观物体（比如一颗子弹）的德布罗意波长约 10⁻³⁴ m，估算一下它的条纹间距，说明为什么我们从未在日常生活中见过干涉。
  2. 若在两条缝后各放一个可以事后擦除的路径标记（量子擦除），条纹能否恢复？这对「测量在什么时刻发生」意味着什么？
  3. 单缝包络的宽度由 a 决定，条纹间距由 d 决定。为什么这两个长度控制的是完全不同的两件事？

你刚才看到的三件事

第一，每一次探测都是一个完整的粒子。 屏上出现的永远是一个点，从来不是半个点、也不是一道抹开的光斑。在这个意义上它就是「粒子」。

第二，落点的位置无法预测。 同样的装置、同样的发射条件，下一个点落在哪里，没有任何办法算出来。能算的只有概率。

第三，概率分布带着干涉条纹。 这就是「波」的那一面。但要注意：干涉的不是粒子，是概率幅。

条纹间距：一个可以用滑块验证的公式

在远场近似下（L≫dL \gg d），两条缝到屏上同一点的光程差是 Δ=dsin⁡θ≈d y/L\Delta = d\sin\theta \approx d\,y/L。相长干涉要求 Δ=mλ\Delta = m\lambda，于是相邻亮纹的间距为

Δy=λLd.\Delta y = \frac{\lambda L}{d}.

场景里的读数会实时显示这个数值。拖动 λ\lambda、dd、LL 三个滑块，每一次都用眼睛量一下条纹间距，验证它确实按这个式子变。

为什么还有一层更宽的包络进阶

上面只把每条缝当成一个点源。真实的缝有宽度 aa，缝内每一点都是子波源，它们之间也会干涉。对缝宽积分得到单缝衍射因子：

I(y)∝cos⁡2 ⁣(πdyλL)⏟双缝干涉⋅sinc2 ⁣(πayλL)⏟单缝包络.I(y) \propto \underbrace{\cos^2\!\left(\frac{\pi d y}{\lambda L}\right)}_{\text{双缝干涉}} \cdot \underbrace{\mathrm{sinc}^2\!\left(\frac{\pi a y}{\lambda L}\right)}_{\text{单缝包络}}.

所以画面上有两个尺度：细密的条纹由缝距 dd 决定，整体的明暗包络由缝宽 aa 决定。把 aa 调大，包络收窄，边缘的条纹先暗下去。

顺带一提：本场景并没有用这个解析式，而是直接对每条缝上的 11 个子波源求和算真实光程。好处是把 LL 拖到很小时（近场），画面会如实地显示条纹弯曲与包络畸变，而解析式在那里已经失效了。

「知道走了哪条缝」的代价

场景里那个开关是整个模块的重点。

打开它，两条缝口出现探测器，条纹立刻消失，分布退化成两条缝各自贡献的简单相加。关掉它，条纹回来。

尺度：为什么日常世界里看不到

德布罗意关系把动量与波长联系起来：

λ=hp.\lambda = \frac{h}{p}.
  • 电子（100 eV）：λ≈0.12 nm\lambda \approx 0.12\ \mathrm{nm} —— 用晶体做「缝」就能看到衍射，1927 年戴维孙-革末做到了。
  • 一颗 10 g 的子弹，速度 500 m/s：λ≈1.3×10−34 m\lambda \approx 1.3\times10^{-34}\ \mathrm{m}。

第二个数字比原子核还小 19 个数量级。要让它的条纹间距达到可分辨的 0.1 mm，缝距得小于 10−3010^{-30} m。这就是为什么你从没见过子弹的干涉条纹——不是因为宏观物体「不是量子的」，而是因为它的波长小到没有任何缝能与之匹配。

本节关键公式

  • 德布罗意关系

    λ=h/p\lambda = h/p

    一切物质都有波长，只是宏观物体的小得没法测

  • 干涉强度

    P=∣ψ1+ψ2∣2P = |\psi_1 + \psi_2|^2

    先加振幅，再取模方——顺序不能换

  • 条纹间距

    Δy=λL/d\Delta y = \lambda L / d

    场景里可以直接量出来

  • 单缝包络

    I∝sinc2(πay/λL)I \propto \mathrm{sinc}^2(\pi a y/\lambda L)

    由缝宽决定的第二个尺度

想一想

  1. 把发射速率降到「一分钟一个粒子」，装置里永远只有一个粒子在飞。条纹还会出现吗？（会。这个实验真做过。）那么这个粒子是在和谁干涉？
  2. 只开左缝时屏上某点 y0y_0 有粒子到达；开两条缝之后 y0y_0 变成暗纹。多开一条路，反而让粒子到不了那里——用经典概率论的语言说说这为什么不可能。
  3. 场景里没有画任何一条从源到屏的轨迹。这是一个刻意的设计决定。如果画上去，会误导你相信什么？

深入阅读 · 教材对应小节

3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块