绝热定理与 Berry 相位

上一节的光场每秒振荡 $10^{15}$ 次，属于「极快」的扰动。这一节把旋钮拧到另一头： 哈密顿量变化得极慢，会发生什么？

先看一个手边的实验。把一个自旋 1/2 粒子放进磁场，它的两个能级是 沿磁场的「顺」态和「逆」态（5.3 节）。 现在缓缓地改变磁场方向——比如让磁场方向沿一个圆锥面转一整圈，几秒钟转完。 处在「顺」态的自旋会怎样？

直觉说：磁场转得比自旋进动慢得多，自旋应该像被牵着走的狗， 始终贴着磁场方向，转完一圈物归原位。这个直觉基本正确——这就是绝热定理。 但 1984 年 Michael Berry 发现，「物归原位」漏了一个细节： 转完一圈后，波函数上多出一个相位，而这个相位既不是能量积累的动力学相位， 也不能靠重新定义相位约定消掉。它只依赖磁场方向在球面上扫过的立体角—— 一个纯几何量，与转得多慢、能级多高统统无关。

一个「只是相位」的东西为什么值得大惊小怪？因为相位会干涉。 这个几何相位后来被发现早已藏在化学（分子波函数的符号疑难）、 光学（光纤中的偏振旋转）和 Aharonov–Bohm 效应里， 今天它的推广（Berry 曲率、陈数）是整个拓扑物态领域的语法。

绝热定理

陈述：若哈密顿量 $\hat H(t)$ 随时间足够缓慢地变化，且体系初始处于 某个瞬时本征态 $\ket{n(0)}$（$\hat H(t)\ket{n(t)}=E_n(t)\ket{n(t)}$， 且该能级始终不与别的能级交叉），则体系将始终跟随瞬时本征态 $\ket{n(t)}$， 跃迁到其他能级的概率趋于零。

「足够慢」是和谁比？和能隙比。定量条件是

$$\frac{\hbar\,\bigl|\bra{m}\partial_t\hat H\ket{n}\bigr|}{(E_n-E_m)^2}\ll1 \qquad\text{对所有 } m\neq n\tag{7.7.1}$$

分子是哈密顿量的变化速率（换算成能量每秒），分母是能隙的平方。 读法：体系有一个内禀节拍 $\hbar/(E_n-E_m)$（相邻能级的量子拍周期）； 哈密顿量在一个节拍内的变化只要远小于能隙，体系就「感觉不到」变化在发生， 来得及随时调整自己。类比：端一碗水缓缓转身，水面始终水平—— 只要转身周期远长于水的晃动周期。

跟着走，还带着两个相位

绝热定理说「体系跟着 $\ket{n(t)}$ 走」，但量子态可以差一个相位。跟到底带什么相位？

绝热演化中的相位：动力学 + 几何进阶~12 min展开

设哈密顿量通过一组外参数 $\vec R(t)$（磁场方向、核间距……）依赖时间： $\hat H(t)=\hat H(\vec R(t))$。把态按瞬时本征态展开，并预先剥掉能量相位：

$$\ket{\Psi(t)}=\sum_n c_n(t)\, \exp\!\left[-\frac{\ii}{\hbar}\int_0^tE_n(t')\,\dd t'\right]\ket{n(t)}\tag{7.7.2}$$

指数因子是动力学相位 $\theta_n=-\frac1\hbar\int E_n\dd t$—— 定态相位 $-E_nt/\hbar$ 在能量缓变时的自然推广，没有新东西。新东西在 $c_n$ 里。

第一步：代入薛定谔方程。

与 7.5 节的操作完全平行，能量项逐项相消，但现在基矢自己也在动， $\partial_t\ket{n(t)}$ 贡献新项。投影到 $\bra{m}$：

$$\dot c_m=-c_m\braket{m}{\dot m} -\sum_{n\neq m}c_n\,\frac{\bra{m}\partial_t\hat H\ket{n}}{E_n-E_m}\, \ee^{\ii(\theta_n-\theta_m)}\tag{7.7.3}$$

（第二行用了对 $\hat H\ket{n}=E_n\ket{n}$ 求导得到的恒等式 $\bra{m}\dot n\rangle=\bra{m}\partial_t\hat H\ket{n}/(E_n-E_m)$。）

第二步：绝热极限。

求和项的分子是缓变量、还乘着快速振荡的相位差 $\ee^{\ii(\theta_n-\theta_m)}$—— 慢包络乘快振荡，积分近似为零（这正是上面绝热条件的来源）。丢掉它：

$$\dot c_n=-c_n\braket{n}{\dot n} \quad\Longrightarrow\quad c_n(t)=c_n(0)\,\ee^{\ii\gamma_n(t)}, \qquad \gamma_n(t)=\ii\int_0^t\braket{n}{\dot n}\,\dd t'\tag{7.7.4}$$

（$\braket{n}{\dot n}$ 是纯虚数——对 $\braket{n}{n}=1$ 求导即证——所以 $\gamma_n$ 是实数， $|c_n|$ 不变：体系确实留在第 $n$ 条能级上，绝热定理得证。）

第三步：看出它是几何的。

用链式法则把时间导数换成参数导数：$\ket{\dot n}=\dot{\vec R}\cdot\nabla_{\vec R}\ket{n}$，

$$\gamma_n=\ii\int_{\vec R(0)}^{\vec R(t)} \braket{n}{\nabla_{\vec R}\,n}\cdot\dd\vec R\tag{7.7.5}$$

时间不见了。 积分只沿参数空间里的路径进行：走这条路花一秒还是一年， $\gamma_n$ 分毫不差。它是路径的属性，不是过程的属性——所以叫几何相位。

第四步：为什么此前被忽视了半个世纪。

瞬时本征态的相位本来就是我们随意约定的：换一套约定 $\ket{n}\to\ee^{\ii\chi(\vec R)}\ket{n}$，$\gamma_n$ 就改变 $\chi(\vec R(0))-\chi(\vec R(t))$。 对开路径，总可以挑约定把 $\gamma_n$ 整个吸收掉——它「不物理」， 教科书因此把它丢弃了五十年。但对闭合回路（$\vec R(T)=\vec R(0)$）， 改约定带来的首尾修正相消，留下的

$$\gamma_n(C)=\ii\oint_C\braket{n}{\nabla_{\vec R}\,n}\cdot\dd\vec R\tag{7.7.6}$$

与相位约定无关，是可测量的物理量。这就是 Berry 相位。 Berry 的贡献不在积分本身，而在看出「闭环上它躲不掉」。

算一个：慢转磁场中的自旋 1/2

参数空间就是磁场方向所在的球面。自旋 1/2 在磁场 $\vec B=B\hat n$ 中， 「顺」态 $\ket{+;\hat n}$ 的 Berry 联络可以从 5.3 节的自旋态显式算出 （把 $\ket{+;\hat n}$ 用球坐标 $\theta,\varphi$ 写出来，对参数求梯度、做环路积分）。 结果异常干净：

$$\gamma_\pm(C)=\mp\frac{\Omega_C}{2}\tag{7.7.9}$$

$\Omega_C$ 是磁场方向绕行回路 $C$ 在方向球面上包围的立体角。 等价的曲率语言：自旋的 Berry 曲率是从球心（$B=0$，能级简并点！） 向外辐射的「磁单极场」，$\vec\Omega_\pm=\mp\hat R/2R^2$—— 简并点是参数空间里的磁单极，Berry 相位是它的磁通。

代个数：磁场沿半顶角 $60^\circ$ 的圆锥转一圈。锥面包围的立体角

$$\Omega=2\pi(1-\cos60^\circ)=\pi\tag{7.7.10}$$

于是「顺」态收获 $\gamma_+=-\pi/2$。想测它：把自旋制备成顺、逆的叠加态， 两支收获的几何相位相差 $\Omega=\pi$，转完一圈后叠加态的干涉条纹整体移动半个周期—— 核磁共振实验在 1987 年就看到了这个移动，与转速无关，只认立体角。

一个著名推论：让磁场方向扫过整个大圆（半顶角 $90^\circ$），$\Omega=2\pi$， $\gamma=-\pi$：自旋波函数变号。旋转 $360^\circ$ 变号——这正是 5.3 节里「自旋 1/2 要转 720° 才回到自己」的几何相位版本。

Aharonov–Bohm：早到了二十五年的 Berry 相位

1959 年 Aharonov 与 Bohm 指出一个怪事：让电子束分成两支， 从一根细长螺线管的两侧绕过再会合。螺线管外部磁场严格为零， 电子全程走在 $\vec B=0$ 的区域里——经典力学看来螺线管不存在。 但两支波函数会合时带着相位差

$$\Delta\phi=\frac{q}{\hbar}\oint\vec A\cdot\dd\vec l=\frac{q\Phi}{\hbar}\tag{7.7.11}$$

$\Phi$ 是管内的磁通。干涉条纹随 $\Phi$ 移动——尽管电子从未碰到磁场。 1986 年外村彰用超导环把磁通完全屏蔽起来做实验，条纹移动分毫不差。

用本节的眼光看：电子的位置是参数，矢势 $q\vec A/\hbar$ 恰好扮演 Berry 联络， 磁通就是包围的「Berry 曲率通量」。AB 相位是几何相位在电磁学里的特例—— 它告诉我们矢势不只是数学脚手架：局部场为零的地方，几何（拓扑）仍在做功。

∎本节关键公式

• 绝热条件

  $$\frac{\hbar\,|\bra{m}\partial_t\hat H\ket{n}|}{(E_n-E_m)^2}\ll1$$

  能隙平方定价；隙闭合处绝热必失效（Landau-Zener）

• 两个相位

  $$\ket{\Psi(t)}=\ee^{\ii\gamma_n}\,\ee^{-\frac{\ii}{\hbar}\int E_n\dd t}\,\ket{n(t)}$$

  动力学相位记录能量×时间；γₙ 只记录路径

• Berry 相位

  $$\gamma_n(C)=\ii\oint_C\braket{n}{\nabla_{\vec R}\,n}\cdot\dd\vec R$$

  闭环上规范无关、可测；开路径上可被约定吸收

• 自旋 1/2

  $$\gamma_\pm=\mp\frac{\Omega_C}{2}$$

  Ω 为磁场方向扫过的立体角；简并点 = 参数空间的磁单极

• AB 相位

  $$\Delta\phi=\frac{q\Phi}{\hbar}$$

  局部 B=0 处的几何相位；矢势的环路积分可测

?自测共 4 题

1. 1.

   绝热定理的「足够慢」，是相对什么而言的？

   • 相对能隙对应的内禀节拍：哈密顿量在时间 ħ/ΔE 内的变化须远小于能隙
   • 相对光速
   • 相对测量仪器的响应时间
   • 存在一个普适的绝对慢速标准

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2. 2.

   Berry 相位与动力学相位的本质区别是：

   • Berry 相位只依赖参数空间中的路径，与走完路径花的时间无关
   • Berry 相位更小
   • 动力学相位不可测量
   • Berry 相位只存在于磁场问题中

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3. 3.

   为什么开路径上的几何相位「不算数」，闭合回路上的却是物理量？

   • 本征态相位约定可任意改变：开路径的 γ 可被约定整个吸收，闭环上首尾修正相消、γ 规范无关
   • 开路径上体系没有回到原点，波函数没有意义
   • 闭合回路上动力学相位为零
   • 这是实验精度的限制

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4. 4.

   磁场方向沿半顶角 θ = 60° 的圆锥缓慢转一整圈，自旋处于「顺」态。求它获得的 Berry 相位的大小 |γ|，以 π 为单位。（γ = Ω/2，Ω = 2π(1−cosθ)）

   π允许 5% 相对误差

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接下来

绝热近似占住了「无限慢」这一端。天平的另一端——哈密顿量瞬间切换—— 反而更简单：变化快到波函数根本来不及做出任何反应，旧波函数被原封不动地 「冻结」进新哈密顿量里。下一节用这个「突然近似」处理一个漂亮的真实问题： 氚核 β 衰变的瞬间，核电荷从 1 跳到 2，它的电子会落在哪里？ 那也是本章的最后一节——此后我们将正面迎战一个全章都在回避的事实： 氦原子的两个电子不是「电子 1」和「电子 2」，它们是不可区分的全同粒子。