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A.1

线性代数速查

用量子力学自己的记号把向量空间、内积、本征值、对角化、张量积过一遍——查完直接回正文。

建议先掌握

  • 高中向量与复数运算

学完本节你应该能

  • 能把「态是向量、可观测量是厄米算符」翻译成具体的矩阵运算
  • 会求 2×2 厄米矩阵的本征值与本征向量，并完成对角化
  • 会算两个小系统的张量积，并读懂多体态的下标

这一节是速查表兼补课站。如果你在正文里被「本征值」「幺正」「张量积」这类词卡住了， 到这里找到对应小节，看完最小必要的解释和一个算例，就可以回去继续读。 全部记号都用量子力学的写法（∣ψ⟩\ket{\psi} 而不是列向量 v⃗\vec v）， 这样你查到的结论可以原样搬回正文。

正文哪里会用到： 第 3 章整章建立在这套语言上； 5.3 自旋 1/2 与 9.1 量子比特 是 2×2 矩阵的主战场； 8.1 全同粒子 和 9.3 纠缠 离不开张量积。

向量空间与内积

向量空间说白了就是一个「集合加两条规则」：集合里的元素（这里叫态矢 ∣ψ⟩\ket{\psi}） 可以相加，可以乘上一个复数，结果仍然在集合里。量子力学的叠加原理—— 两个允许的态叠加起来还是允许的态——本质上就是在说「态构成向量空间」。

内积是给每一对向量指定一个复数 ⟨ϕ|ψ⟩\braket{\phi}{\psi} 的规则， 它衡量两个态「有多像」。要求三条性质：

性质写出来大白话
共轭对称⟨ϕ|ψ⟩=⟨ψ|ϕ⟩∗\braket{\phi}{\psi}=\braket{\psi}{\phi}^*交换顺序要取复共轭
右侧线性⟨ϕ|aψ1+bψ2⟩=a⟨ϕ|ψ1⟩+b⟨ϕ|ψ2⟩\braket{\phi}{a\psi_1+b\psi_2}=a\braket{\phi}{\psi_1}+b\braket{\phi}{\psi_2}对右边那个是线性的
正定⟨ψ|ψ⟩≥0\braket{\psi}{\psi}\ge 0，取等号仅当 ∣ψ⟩=0\ket{\psi}=0自己和自己的内积是「长度平方」

注意第二条：物理的约定是对右边线性、对左边共轭线性 （⟨aϕ∣=a∗⟨ϕ∣\bra{a\phi}=a^*\bra{\phi}），和多数数学教材相反。

两个常用推论：

Cauchy–Schwarz:∣⟨ϕ|ψ⟩∣2≤⟨ϕ|ϕ⟩⟨ψ|ψ⟩(A.1.1)\text{Cauchy–Schwarz:}\quad |\braket{\phi}{\psi}|^2\le\braket{\phi}{\phi}\braket{\psi}{\psi}\tag{A.1.1}

这条不等式是不确定性原理的数学骨架。 归一化条件 ⟨ψ|ψ⟩=1\braket{\psi}{\psi}=1 则对应总概率为 1。

正交归一基：一组基 {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\} 满足 ⟨ei|ej⟩=δij\braket{e_i}{e_j}=\delta_{ij}。 任何态可展开为 ∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩\ket{\psi}=\sum_i c_i\ket{e_i}，且系数直接由内积读出： ci=⟨ei|ψ⟩c_i=\braket{e_i}{\psi}。把它抽象成一条恒等式就是完备性关系

∑i∣ei⟩⟨ei∣=1^(A.1.2)\sum_i \ket{e_i}\bra{e_i}=\hat{\mathbb{1}}\tag{A.1.2}

——「在任何地方插入一组完备基都不改变结果」，这是第 3 章里用得最频繁的一招。

本征值问题

矩阵 A^\hat A 作用在一般向量上会把它又转又拉。但每个矩阵都有一些「特殊方向」： 作用在这些方向上只做纯粹的伸缩，不改方向。这些方向叫本征向量， 伸缩倍数叫本征值：

A^∣a⟩=a∣a⟩(A.1.3)\hat A\ket{a}=a\ket{a}\tag{A.1.3}

求法分两步：

  1. 本征值：解特征方程 det⁡(A^−a1^)=0\det(\hat A-a\hat{\mathbb{1}})=0。nn 维矩阵给出 nn 次多项式，nn 个根。
  2. 本征向量：把每个 aa 代回 (A^−a1^)∣a⟩=0(\hat A-a\hat{\mathbb{1}})\ket{a}=0，解线性方程组。

对 2×2 矩阵有条好用的捷径：本征值之和等于迹（对角元之和），乘积等于行列式：

a++a−=tr⁡A^,a+a−=det⁡A^(A.1.4)a_+ + a_- = \operatorname{tr}\hat A,\qquad a_+ a_- = \det\hat A\tag{A.1.4}
算例：求 σ_x 的本征值与本征向量基础~5 min

Pauli 矩阵 σx=(0110)\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} 是自旋测量的核心角色。

本征值：tr⁡σx=0\operatorname{tr}\sigma_x=0，det⁡σx=−1\det\sigma_x=-1， 所以 a++a−=0a_++a_-=0、a+a−=−1a_+a_-=-1，立得 a±=±1a_\pm=\pm1。 （或者老老实实解 det⁡(−a11−a)=a2−1=0\det\begin{pmatrix}-a&1\\1&-a\end{pmatrix}=a^2-1=0。）

本征向量：a=+1a=+1 时方程 (−111−1)(αβ)=0\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=0 给出 α=β\alpha=\beta，归一化后

∣+x⟩=12(11)=∣0⟩+∣1⟩2(A.1.5)\ket{+_x}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} =\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt2}\tag{A.1.5}

同理 a=−1a=-1 给出 ∣−x⟩=(∣0⟩−∣1⟩)/2\ket{-_x}=(\ket{0}-\ket{1})/\sqrt2。 验证正交性：⟨+x|−x⟩=12(1−1)=0\braket{+_x}{-_x}=\frac12(1-1)=0。✓

这正是正文里反复出现的结论：沿 xx 方向测自旋，本征态是 ∣0⟩,∣1⟩\ket{0},\ket{1} 的等权叠加。

厄米矩阵与幺正矩阵

先定义厄米共轭（记号 †\dagger，读作 dagger）：把矩阵转置再逐元素取复共轭， (A^†)ij=A^ji∗(\hat A^\dagger)_{ij}=\hat A_{ji}^*。它满足 (A^B^)†=B^†A^†(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger——顺序会反过来。

类型定义物理角色关键性质
厄米A^†=A^\hat A^\dagger=\hat A可观测量本征值全是实数；不同本征值的本征向量互相正交
幺正U^†U^=1^\hat U^\dagger\hat U=\hat{\mathbb{1}}时间演化、变基、量子门保内积 ⟨Uϕ|Uψ⟩=⟨ϕ|ψ⟩\braket{U\phi}{U\psi}=\braket{\phi}{\psi}；本征值是模 1 复数 eiθ\ee^{\ii\theta}
投影P^2=P^=P^†\hat P^2=\hat P=\hat P^\dagger测量本征值只有 0 和 1

两者由指数映射相连：若 H^\hat H 厄米，则 e−iH^t/ℏ\ee^{-\ii\hat H t/\hbar} 幺正—— 这就是薛定谔方程的解为什么自动保概率。

厄米矩阵的两条核心定理（证明见 3.5 节）：

  1. 本征值必为实数——所以测量结果是实数。
  2. 谱定理：厄米矩阵总能找到一组正交归一的本征向量作为完备基。

对角化与谱分解

对角化就是换到本征向量组成的基底去看这个矩阵——在那个基底里它变成对角的， 所有信息一目了然。具体做法：把归一化本征向量按列排成矩阵 UU（厄米矩阵的 UU 自动幺正），则

U†A^ U=diag⁡(a1,a2,… )(A.1.6)U^\dagger \hat A\, U=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots)\tag{A.1.6}

等价的写法是谱分解——把矩阵拆成「本征值 × 对应投影算符」之和：

A^=∑iai∣ai⟩⟨ai∣(A.1.7)\hat A=\sum_i a_i\ket{a_i}\bra{a_i}\tag{A.1.7}

它的最大用处是定义矩阵函数：对本征值逐个作用即可，

f(A^)=∑if(ai)∣ai⟩⟨ai∣(A.1.8)f(\hat A)=\sum_i f(a_i)\ket{a_i}\bra{a_i}\tag{A.1.8}

比如 e−iH^t/ℏ=∑ne−iEnt/ℏ∣En⟩⟨En∣\ee^{-\ii\hat H t/\hbar}=\sum_n \ee^{-\ii E_n t/\hbar}\ket{E_n}\bra{E_n}—— 这一行就是「先展开到能量本征态、再逐项挂相位」这套标准流程的全部数学内容。

张量积

两个系统 A、B 合成一个大系统时，大系统的态空间不是「拼接」而是张量积 HA⊗HB\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B：维数相乘（2×2=42\times2=4）， 基底是所有配对 ∣i⟩A⊗∣j⟩B\ket{i}_A\otimes\ket{j}_B（常简写 ∣ij⟩\ket{ij}）。

矩阵的张量积（Kronecker 积）按「左边每个元素乘上整个右边矩阵」展开：

A^⊗B^=(A11B^A12B^A21B^A22B^)(A.1.9)\hat A\otimes \hat B=\begin{pmatrix}A_{11}\hat B & A_{12}\hat B\\ A_{21}\hat B & A_{22}\hat B\end{pmatrix}\tag{A.1.9}

运算规则一句话：各管各的—— (A^⊗B^)(∣ϕ⟩⊗∣χ⟩)=(A^∣ϕ⟩)⊗(B^∣χ⟩)(\hat A\otimes\hat B)(\ket{\phi}\otimes\ket{\chi})=(\hat A\ket{\phi})\otimes(\hat B\ket{\chi})。 「只对 A 系统操作」写成 A^⊗1^\hat A\otimes\hat{\mathbb{1}}。

算例：写出 Bell 态并说明它不能分解进阶~4 min

双量子比特基 {∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩}\{\ket{00},\ket{01},\ket{10},\ket{11}\} 下，取

∣Φ+⟩=∣00⟩+∣11⟩2=12(1001)(A.1.10)\ket{\Phi^+}=\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2} =\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\tag{A.1.10}

设它能写成乘积态 (α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(γ∣0⟩+δ∣1⟩)(\alpha\ket0+\beta\ket1)\otimes(\gamma\ket0+\delta\ket1)， 展开得四个分量 (αγ,αδ,βγ,βδ)(\alpha\gamma,\alpha\delta,\beta\gamma,\beta\delta)。 要求中间两个为零、两端非零：αδ=0\alpha\delta=0 迫使 α=0\alpha=0 或 δ=0\delta=0， 但 αγ≠0\alpha\gamma\neq0 又要求 α≠0\alpha\neq0，βδ≠0\beta\delta\neq0 要求 δ≠0\delta\neq0——矛盾。

所以 ∣Φ+⟩\ket{\Phi^+} 不是任何两个单粒子态的乘积：这就是纠缠态的定义， 详见 9.3 节。

本节关键公式

  • 完备性关系

    ∑i∣ei⟩⟨ei∣=1^\sum_i \ket{e_i}\bra{e_i}=\hat{\mathbb{1}}

    「插入一组完备基」的依据，第 3 章的万能工具

  • 本征值问题

    A^∣a⟩=a∣a⟩,det⁡(A^−a1^)=0\hat A\ket{a}=a\ket{a},\quad \det(\hat A-a\hat{\mathbb{1}})=0

    2×2 捷径：本征值之和 = 迹，乘积 = 行列式

  • 谱分解

    A^=∑iai∣ai⟩⟨ai∣,f(A^)=∑if(ai)∣ai⟩⟨ai∣\hat A=\sum_i a_i\ket{a_i}\bra{a_i},\quad f(\hat A)=\sum_i f(a_i)\ket{a_i}\bra{a_i}

    矩阵函数的定义方式；时间演化算符由此而来

  • 厄米与幺正

    A^†=A^ ⇒ ai∈R;U^†U^=1^\hat A^\dagger=\hat A\ \Rightarrow\ a_i\in\mathbb{R};\qquad \hat U^\dagger\hat U=\hat{\mathbb{1}}

    可观测量 / 演化与变基；e^{-iHt/ħ} 把两者连起来

  • 张量积

    (A^⊗B^)(∣ϕ⟩⊗∣χ⟩)=A^∣ϕ⟩⊗B^∣χ⟩(\hat A\otimes\hat B)(\ket{\phi}\otimes\ket{\chi})=\hat A\ket{\phi}\otimes\hat B\ket{\chi}

    维数相乘；不能写成乘积的态叫纠缠态

自测共 3 题

  1. 1.

    矩阵 A = [[3, 1], [1, 3]] 的两个本征值是？

  2. 2.

    关于幺正矩阵 U，下列哪条不成立？

  3. 3.

    三个自旋 1/2 粒子组成的系统，态空间维数是？

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