常用公式与常数表

这一页是全书的公式速查面板：按章组织，每条公式注明它在正文中的出处， 点链接可以回到推导现场。每章开头用一两句话点明这一章公式的主线。 末尾附常用对易子恒等式、物理常数与做题时最好用的单位换算。

三种打开方式：

• 做题时：按章跳到对应表格，顺链接回正文看推导与适用条件；
• 复习时：只看每章开头的「主线」句子，能否自己把表里的公式默写出一半；
• 查符号时：直接看下面的符号约定表。

先把撑起全书的骨架单独列出——如果只允许背十条，就是这十条：

∎本节关键公式

• 薛定谔方程

  $$\ii\hbar\,\partial_t\Psi=\hat H\Psi$$

  全书唯一的运动方程

• Born 规则

  $$P=|\braket{a}{\psi}|^2$$

  理论与实验之间唯一的桥

• 正则对易关系

  $$[\hat x,\hat p]=\ii\hbar$$

  量子性的代数源头

• 不确定性原理

  $$\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$$

  上一条的直接推论

• 定态展开

  $$\Psi(t)=\sum_n c_n\,\ee^{-\ii E_nt/\hbar}\ket{n}$$

  解任何演化问题的标准流程

• 角动量谱

  $$\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2,\qquad \hat J_z:\ m\hbar$$

  纯代数推出，轨道与自旋通用

• 氢原子能级

  $$E_n=-13.6\ \text{eV}/n^2$$

  第一个被完整解释的原子

• 交换对称性

  $$\Psi(1,2)=\pm\Psi(2,1)$$

  玻色子 +，费米子 −；元素周期表由此而来

• 变分原理

  $$E_{\text{gs}}\le\braket{\psi_T}{\hat H\psi_T}$$

  解不出来时的救命稻草

• 密度算符演化

  $$\ii\hbar\,\dot{\hat\rho}=[\hat H,\hat\rho]$$

  孤立系统版；开放系统加 Lindblad 项

符号约定

全书统一使用的记号，供跨章阅读时对照：

符号	含义	备注
$\Psi(x,t)$ / $\psi(x)$	含时波函数 / 定态（空间部分）波函数	大写含时、小写不含时
$\ket{\psi}$，$\bra{\phi}$，$\braket{\phi}{\psi}$	态矢、对偶矢、内积	Dirac 记号，见 3.2
$\hat A$，$\hat A^\dagger$	算符及其厄米共轭	戴帽子的都是算符
$[\hat A,\hat B]$，$\{\hat A,\hat B\}$	对易子 $\hat A\hat B-\hat B\hat A$、反对易子 $\hat A\hat B+\hat B\hat A$	花括号偶尔也表示集合，看上下文
$\sigma_A$	可观测量 $A$ 的标准差（不确定度）	$\sigma_A^2=\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2$
$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$	Pauli 矩阵	与不确定度的 σ 无关，习惯如此
$\hbar=h/2\pi$	约化 Planck 常数	公式里几乎只出现 $\hbar$
$\ii$，$\ee$，$\dd$	虚数单位、自然常数、微分号	正体排版，区别于变量 $i,e,d$
$\delta_{mn}$，$\delta(x)$	Kronecker 符号、Dirac δ 函数	离散用下标版、连续用函数版，见 A.2
$\hat\rho$	密度算符	与概率密度 $\rho(x)$ 靠帽子区分

第 1 章 · 旧量子论

主线：一批「经典物理解释不了」的实验，各自逼出一个含 $h$ 的公式—— 它们还不是理论，但已经把普朗克常数钉进了物理学。

公式	说明	出处
$E=h\nu=\hbar\omega$	Planck 能量子；一份光的能量	1.2
$\hbar\omega=W+\frac{1}{2}mv_{\max}^2$	光电效应方程，$W$ 为逸出功	1.3
$E_n=-\dfrac{13.6\ \text{eV}}{n^2}$	Bohr 氢原子能级	1.4
$L=n\hbar$	Bohr 角动量量子化条件	1.4
$\dfrac{1}{\lambda}=R\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$	氢光谱的 Rydberg 公式，Bohr 模型的胜利	1.4
$\lambda=\dfrac{h}{p}$	de Broglie 物质波波长	1.5
$\sigma_x\sigma_p\gtrsim\hbar$	不确定性关系的启发式版本	1.7

第 2 章 · 波函数

主线：一条方程（薛定谔方程）加一条解释规则（Born 规则）， 再在四五个标准势场里把它们完整解一遍。

公式	说明	出处
$P(x,t)=\lvert\Psi(x,t)\rvert^2$	Born 规则：模平方是概率密度	2.1
$j=\dfrac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\Psi^*\partial_x\Psi)$	概率流；配合 $\partial_t\lvert\Psi\rvert^2+\partial_x j=0$	2.2
$\ii\hbar\,\partial_t\Psi=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\Psi+V\Psi$	含时薛定谔方程	2.4
$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$	定态（不含时）薛定谔方程	2.3
$\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,\ee^{-\ii E_nt/\hbar}$	定态解只挂一个相位	2.5
$\langle A\rangle=\displaystyle\int\Psi^*\hat A\,\Psi\,\dd x$	期望值	2.6
$\sigma_x\sigma_p\ge\dfrac{\hbar}{2}$	不确定性原理（精确版）	2.6
$E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$，$\psi_n=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\dfrac{n\pi x}{L}$	无限深势阱，$n\ge1$	2.7
偶宇称：$k\tan\dfrac{kL}{2}=\kappa$；奇宇称：$-k\cot\dfrac{kL}{2}=\kappa$	有限深势阱的能级条件（超越方程，图解或数值求根）	2.8
$E_n=\left(n+\dfrac12\right)\hbar\omega$	谐振子能级，$n\ge0$	2.9
$\psi_0(x)=\left(\dfrac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$	谐振子基态：最小不确定度的高斯	2.9
$\hat a^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}$，$\hat a\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}$	升降算符	2.9
$\hat x=\sqrt{\dfrac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a+\hat a^\dagger)$，$\hat p=\ii\sqrt{\dfrac{m\hbar\omega}{2}}(\hat a^\dagger-\hat a)$	用升降算符算任何矩阵元的入口	2.9
$v_g=\dfrac{\dd\omega}{\dd k}=\dfrac{\hbar k}{m}$	波包群速度 = 粒子速度	2.10
$\sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\dfrac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}$	自由高斯波包的扩散：越窄的包散得越快	2.10
$T\approx\ee^{-2\gamma}$，$\gamma=\dfrac{1}{\hbar}\displaystyle\int\sqrt{2m(V-E)}\,\dd x$	隧穿概率（Gamow 因子）	2.11

第 3 章 · 形式理论

主线：把第 2 章的具体计算升级成一套抽象语法——态是向量、 可观测量是厄米算符、测量按谱分解投影、演化是幺正变换。

公式	说明	出处
$\displaystyle\sum_n\ket{n}\bra{n}=\hat{\mathbb{1}}$	完备性关系（插基神器）	3.2
$\braket{x}{p}=\dfrac{\ee^{\ii px/\hbar}}{\sqrt{2\pi\hbar}}$	位置—动量表象变换核	3.3
$[\hat x,\hat p]=\ii\hbar$	正则对易关系	3.6
$\sigma_A\sigma_B\ge\dfrac{1}{2}\left\lvert\langle[\hat A,\hat B]\rangle\right\rvert$	广义不确定性关系	3.6
$\Delta E\,\Delta t\gtrsim\dfrac{\hbar}{2}$	能量—时间不确定性：$\Delta t$ 是可观测量显著变化所需的时间	3.9
$\hat A=\hat A^\dagger\ \Rightarrow$ 本征值实、本征态正交完备	可观测量为什么必须厄米	3.5
$p(a_n)=\lvert\braket{a_n}{\psi}\rvert^2$	测量得 $a_n$ 的概率；测后态坍缩为 $\ket{a_n}$	3.8
$\ket{\psi}\mapsto\dfrac{\hat P_n\ket{\psi}}{\lVert\hat P_n\ket{\psi}\rVert}$，$\hat P_n=\ket{a_n}\bra{a_n}$	投影公设（简并时 $\hat P_n$ 为子空间投影）	3.8
$\hat U(t)=\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}$	时间演化算符（$\hat H$ 不含时）	3.9
$\dfrac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t}=\dfrac{1}{\ii\hbar}\langle[\hat A,\hat H]\rangle+\left\langle\partial_t\hat A\right\rangle$	Ehrenfest 定理	3.9
$\hat\rho=\displaystyle\sum_i p_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$，$\langle\hat A\rangle=\operatorname{tr}(\hat\rho\hat A)$	密度算符与期望值	3.10

第 4 章 · 一维问题进阶

主线：对称性帮你少算一半，散射问题用透射/反射系数与转移矩阵系统化。

公式	说明	出处
$\hat\Pi\psi(x)=\psi(-x)$，本征值 $\pm1$	宇称算符：$\hat\Pi^2=\hat{\mathbb{1}}$ 逼出的仅有两个本征值	4.1
$[\hat H,\hat\Pi]=0\ \Rightarrow\$ 本征态可取确定宇称	对称势的宇称定理	4.1
$T+R=1$	透射率加反射率守恒	4.2
$M_{\text{total}}=M_N\cdots M_2M_1$	转移矩阵按区域连乘	4.3
$\psi''\approx\dfrac{\psi_{j+1}-2\psi_j+\psi_{j-1}}{h^2}$	三点有限差分（数值解的起点）	4.4、C.1

第 5 章 · 角动量与自旋

主线：一套对易关系 $[\hat L_i,\hat L_j]=\ii\hbar\,\epsilon_{ijk}\hat L_k$ 就决定了全部谱结构——轨道、自旋、以及它们的相加都只是这套代数的不同表示。

公式	说明	出处
$[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z$（轮换）	角动量代数	5.1
$\hat L^2\ket{\ell,m}=\ell(\ell+1)\hbar^2\ket{\ell,m}$，$\hat L_z\ket{\ell,m}=m\hbar\ket{\ell,m}$	本征值谱，$m=-\ell,\dots,\ell$	5.1
$\hat L_\pm\ket{\ell,m}=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)-m(m\pm1)}\ket{\ell,m\pm1}$	升降算符	5.1
$\hat S_i=\dfrac{\hbar}{2}\sigma_i$	自旋 1/2 与 Pauli 矩阵	5.3
$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}\hat{\mathbb{1}}+\ii\epsilon_{ijk}\sigma_k$	Pauli 矩阵乘法一条顶十条	5.3
$\hat R_{\vec n}(\theta)=\ee^{-\ii\theta\,\vec n\cdot\vec\sigma/2}=\cos\dfrac{\theta}{2}\,\hat{\mathbb{1}}-\ii\sin\dfrac{\theta}{2}\,\vec n\cdot\vec\sigma$	自旋 1/2 的转动算符；转 $2\pi$ 差个负号	5.3
$\omega_L=\dfrac{g q B}{2m}$	磁场中自旋进动（Larmor）频率	5.5
单态 $\dfrac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2}$；三态 $\ket{\uparrow\uparrow},\ \dfrac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2},\ \ket{\downarrow\downarrow}$	两个自旋 1/2 的相加：$1\oplus0$	5.6
$\lvert j_1-j_2\rvert\le j\le j_1+j_2$	角动量相加的取值范围	5.6
$\hat{\vec L}\cdot\hat{\vec S}=\dfrac{1}{2}\left(\hat J^2-\hat L^2-\hat S^2\right)$	自旋轨道耦合的标准处理	5.7

第 6 章 · 氢原子

主线：中心力场分离变量，角向部分通用（球谐）， 径向方程给出能级——三个量子数 $n,\ell,m$ 各司其职。

公式	说明	出处
$u''+\left[\dfrac{2m}{\hbar^2}(E-V)-\dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u=0$，$u=rR$	径向方程（含离心势垒）	6.2
$E_n=-\dfrac{me^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\dfrac{1}{n^2}=-\dfrac{13.6\ \text{eV}}{n^2}$	氢原子能级	6.4
$a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}\approx0.529\ \text{Å}$	Bohr 半径	6.3
$\psi_{100}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,\ee^{-r/a_0}$	氢原子基态波函数	6.3
简并度 $=n^2$（含自旋 $2n^2$）	$\ell=0,\dots,n-1$；$m=-\ell,\dots,\ell$	6.4
$\langle T\rangle=-E_n$，$\langle V\rangle=2E_n$	位力定理（库仑势 $\propto1/r$ 情形）	6.4
$\Delta E_{\text{fs}}\sim\alpha^2 E_n$，$\alpha\approx\dfrac{1}{137}$	精细结构的量级	6.6
$\Delta E_Z=g_J\,\mu_B\,B\,m_J$	（弱场）Zeeman 分裂	6.7

第 7 章 · 近似方法

主线：解不出来的问题占绝大多数——微扰、变分、WKB 三板斧 各有适用范围，含时微扰则通向「跃迁速率」这个可测量。

公式	说明	出处
$E_n^{(1)}=\braket{n^{(0)}}{\hat H'\,n^{(0)}}$	一阶能量修正 = 微扰在无微扰态里的平均	7.1
$E_n^{(2)}=\displaystyle\sum_{m\ne n}\frac{\lvert\bra{m^{(0)}}\hat H'\ket{n^{(0)}}\rvert^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}$	二阶能量修正；基态永远被压低	7.1
简并空间内先对角化 $\hat H'$	简并微扰的核心操作	7.2
$E_{\text{gs}}\le\dfrac{\bra{\psi_T}\hat H\ket{\psi_T}}{\braket{\psi_T}{\psi_T}}$	变分原理：任何试探态给出基态能上界	7.3
$\ket{n^{(1)}}=\displaystyle\sum_{m\ne n}\frac{\bra{m^{(0)}}\hat H'\ket{n^{(0)}}}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}\ket{m^{(0)}}$	一阶波函数修正	7.1
$\psi\sim\dfrac{1}{\sqrt{p(x)}}\exp\left(\pm\dfrac{\ii}{\hbar}\displaystyle\int p\,\dd x\right)$	WKB 波函数	7.4
$\displaystyle\oint p\,\dd x=\left(n+\tfrac12\right)2\pi\hbar$	WKB 量子化条件（两个软转折点）	7.4
共振时二能级完全翻转：$P_{i\to f}(t)=\sin^2\dfrac{\omega_1 t}{2}$	Rabi 振荡（$\omega_1$ 正比于驱动强度）	7.5
$\Gamma_{i\to f}=\dfrac{2\pi}{\hbar}\lvert\bra{f}\hat H'\ket{i}\rvert^2\rho(E_f)$	Fermi 黄金规则	7.6
骤变近似：$P_{i\to f}=\lvert\braket{f_{\text{new}}}{i_{\text{old}}}\rvert^2$	哈密顿量突变时态来不及动，直接投影	7.8
$\gamma_n=\ii\displaystyle\oint\braket{n}{\nabla_{\!R}\,n}\cdot\dd\vec R$	Berry 相位	7.7

第 8 章 · 全同粒子

主线：全同粒子交换只允许两种结局——对称（玻色子）或反对称（费米子）， 一切「交换效应」都从这条二选一里长出来。

公式	说明	出处
$\Psi(1,2)=\pm\Psi(2,1)$	玻色子取 $+$、费米子取 $-$	8.2
$\Psi=\dfrac{1}{\sqrt{N!}}\det[\psi_i(x_j)]$	Slater 行列式；两行相同即为零 ⇒ Pauli 不相容	8.3
$[\hat a_i,\hat a_j^\dagger]=\delta_{ij}$（玻色）；$\{\hat c_i,\hat c_j^\dagger\}=\delta_{ij}$（费米）	二次量子化基本（反）对易关系	8.5
$E_{\text{singlet/triplet}}=E_0\pm J$	交换积分 $J$ 劈裂自旋单态/三态	8.4
平均场自洽：每个电子在其余电子的平均势里解单粒子方程，迭代到收敛	Hartree–Fock 方法的一句话版本	8.6

第 9 章 · 量子信息

主线：把「二能级系统 + 幺正演化 + 测量」当成计算资源， 纠缠是其中最关键的新资源。

公式	说明	出处
$\ket{\psi}=\cos\dfrac{\theta}{2}\ket{0}+\ee^{\ii\varphi}\sin\dfrac{\theta}{2}\ket{1}$	量子比特的 Bloch 球参数化	9.1
$X,Y,Z=\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$；$H=\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$	单比特门就是 Pauli 矩阵一家；$H$ 制备等权叠加	9.2
不可克隆定理：不存在 $\hat U\ket{\psi}\ket{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$（对任意 $\ket{\psi}$）	线性性的直接推论；量子密码的根基	9.2
$S(\hat\rho_A)=-\operatorname{tr}(\hat\rho_A\log_2\hat\rho_A)$	纠缠熵（纯态二分纠缠的度量）	9.3
$\lvert\langle\text{CHSH}\rangle\rvert\le2$（经典）vs $2\sqrt2$（量子）	Bell 不等式与 Tsirelson 上限	9.4
1 个 Bell 对 + 2 比特经典信息 ⇒ 传 1 个量子比特	量子隐形传态的资源账本	9.5
1 次查询判定「常函数还是平衡函数」（经典最坏要 $2^{n-1}+1$ 次）	Deutsch–Jozsa：量子并行的第一个干净示范	9.7
$O(\sqrt N)$ 次查询	Grover 搜索的平方加速	9.8

第 10 章 · 开放系统

主线：系统与环境纠缠后，只看系统就必须用密度矩阵； 它的演化不再幺正，由 Lindblad 方程描述。

公式	说明	出处
$\hat\rho_A=\operatorname{tr}_B\,\hat\rho_{AB}$	偏迹：只看子系统时的唯一正确操作	10.1
$\operatorname{tr}\hat\rho=1$，$\hat\rho^\dagger=\hat\rho$，$\hat\rho\ge0$	密度矩阵三条件	10.2
$\operatorname{tr}\hat\rho^2\le1$，取等号仅当纯态	纯度：区分纯态与混态	10.2
$\hat\rho\mapsto\displaystyle\sum_k\hat K_k\hat\rho\hat K_k^\dagger$，$\sum_k\hat K_k^\dagger\hat K_k=\hat{\mathbb{1}}$	Kraus 表示（CPTP 映射）	10.3
$\dot{\hat\rho}=-\dfrac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat\rho]+\displaystyle\sum_k\left(\hat L_k\hat\rho\hat L_k^\dagger-\dfrac12\{\hat L_k^\dagger\hat L_k,\hat\rho\}\right)$	Lindblad 主方程	10.4
相干项衰减：$\rho_{01}(t)=\rho_{01}(0)\,\ee^{-t/T_2}$	退相干杀的是非对角元；$T_2$ 是相干时间	10.5

第 11 章 · 路径积分

主线：传播子 = 对所有路径求和，每条路径按经典作用量挂相位—— 经典力学是相位驻定的极限。

公式	说明	出处
$K(b,a)=\displaystyle\sum_{\text{所有路径}}\ee^{\ii S[x(t)]/\hbar}$	路径积分的核心思想	11.1
$K_0=\sqrt{\dfrac{m}{2\pi\ii\hbar t}}\,\exp\left[\dfrac{\ii m(x_b-x_a)^2}{2\hbar t}\right]$	自由粒子传播子	11.2
$\delta S=0\ \Rightarrow$ 经典路径主导	驻定相位 ⇒ 最小作用量原理	11.3

第 12 章 · 相对论量子力学

主线：把 $E^2=p^2c^2+m^2c^4$ 塞进量子力学， 代价与回报都是新自由度——负能解、自旋、反粒子。

公式	说明	出处
$E^2=p^2c^2+m^2c^4$	相对论能量动量关系：一切的出发点	12.1
$\left(\dfrac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0$	Klein–Gordon 方程	12.2
$\ii\hbar\,\partial_t\psi=\left(c\,\vec\alpha\cdot\hat{\vec p}+\beta mc^2\right)\psi$	Dirac 方程	12.3
$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}$	γ 矩阵代数	12.3
四分量旋量 = （粒子 / 反粒子）×（自旋上 / 下）	负能解的重新解释：反粒子	12.4
$g=2$	Dirac 方程自动给出的电子 g 因子	12.5

第 13 章是前沿综述，以概念地图为主、可背公式很少，故不入表； 各节自带的 KeyFormulas 块仍可用站内搜索直达。

常用对易子与算符恒等式

散落在各章、但每章都在用的「代数弹药库」。$\hat A,\hat B,\hat C$ 为任意算符。

恒等式	说明
$[\hat A,\hat B\hat C]=[\hat A,\hat B]\hat C+\hat B[\hat A,\hat C]$	乘积展开（类莱布尼茨规则），拆长对易子全靠它
$[\hat x,f(\hat p)]=\ii\hbar\,f'(\hat p)$，$[\hat p,g(\hat x)]=-\ii\hbar\,g'(\hat x)$	由 $[\hat x,\hat p]=\ii\hbar$ 逐阶推出
$[\hat a,\hat a^\dagger]=1$，$\hat N=\hat a^\dagger\hat a$	谐振子/二次量子化的全部代数起点
$[\hat J_i,\hat J_j]=\ii\hbar\,\epsilon_{ijk}\hat J_k$，$[\hat J^2,\hat J_i]=0$	任何角动量（轨道、自旋、总）通用
$\ee^{\hat A}\hat B\,\ee^{-\hat A}=\hat B+[\hat A,\hat B]+\dfrac{1}{2!}[\hat A,[\hat A,\hat B]]+\cdots$	Hadamard 引理：算符「换到旋转参考系」的展开式
$\ee^{\hat A}\ee^{\hat B}=\ee^{\hat A+\hat B+\frac12[\hat A,\hat B]}$（当 $[\hat A,\hat B]$ 与两者都对易）	BCH 公式的可用特例；相干态、平移算符、C.2 分步法都靠它
$\operatorname{tr}(\hat A\hat B\hat C)=\operatorname{tr}(\hat B\hat C\hat A)$	迹的轮换不变性；密度矩阵计算的日常工具
$(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$	取厄米共轭要反序

物理常数与单位换算

做题强烈推荐用「eV 制」组合常数——避免 $10^{-34}$ 量级的数值相乘：

常数	数值	用法提示
$\hbar$	$1.055\times10^{-34}\ \text{J·s}=6.582\times10^{-16}\ \text{eV·s}$	频率 ↔ 能量
$\hbar c$	$197.3\ \text{eV·nm}=197.3\ \text{MeV·fm}$	长度 ↔ 能量，最常用的组合
$m_ec^2$	$0.511\ \text{MeV}$	电子静能；动能公式里配 $\hbar c$ 用
$m_pc^2$	$938.3\ \text{MeV}$	质子静能
$\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}$	$\approx\dfrac{1}{137.04}$	精细结构常数，电磁作用强度
$a_0$	$0.0529\ \text{nm}$	Bohr 半径 $=\hbar c/(\alpha\, m_ec^2)$
$E_{\text{Ry}}$	$13.606\ \text{eV}$	Rydberg 能量 $=\tfrac12\alpha^2m_ec^2$
$\mu_B$	$5.788\times10^{-5}\ \text{eV/T}$	Bohr 磁子，Zeeman 分裂用
$k_BT$（300 K）	$\approx0.0259\ \text{eV}$	「室温 ≈ 26 meV」判断热效应是否重要
$hc$	$1240\ \text{eV·nm}$	光子能量 ↔ 波长：$E=1240/\lambda(\text{nm})$ eV
$1\ \text{eV}$	$1.602\times10^{-19}\ \text{J}$	与 SI 制互换时才需要；能不换就不换
$1\ \text{Å}$	$0.1\ \text{nm}=10^{-10}\ \text{m}$	原子尺度的自然标尺（$a_0\approx0.53$ Å）