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9.1

量子比特与 Bloch 球

把自旋 1/2 改名叫 qubit：一个二能级系统的全部纯态恰好铺满一个球面，此后整章的门、纠缠与算法都在这张地图上进行。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用两个实参数（θ, φ）写出任意 qubit 纯态，并说清为什么只需要两个
  • 在 Bloch 球上定位 ∣0⟩、∣1⟩、∣±⟩、∣±i⟩ 六个标准态
  • 把 Bloch 矢量与 Pauli 算符期望值对上号：r = ⟨σ⟩
  • 解释「正交态在球上是对径点而不是垂直方向」这件反直觉的事

第 5 章我们花了大力气研究自旋 1/2：一个只有两个基本状态的系统， 态空间是二维复向量空间，测量由 Pauli 算符描述。 当时它是「最小的角动量」。从本章开始，它换一个身份登场—— 信息的最小量子载体。

一个具体的问题：两能级系统里到底装了多少信息？

经典比特只有两个状态：0 或 1。一枚硬币、一个开关、一个电平。 现在把它换成一个量子二能级系统——比如一个自旋 1/2 粒子， 约定

∣0⟩≡∣↑⟩,∣1⟩≡∣↓⟩(9.1.1)\ket{0}\equiv\ket{\uparrow},\qquad \ket{1}\equiv\ket{\downarrow}\tag{9.1.1}

按第 3 章的叠加原理，合法的状态远不止这两个：

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩,α,β∈C,∣α∣2+∣β∣2=1(9.1.2)\ket{\psi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1},\qquad \alpha,\beta\in\mathbb{C},\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1\tag{9.1.2}

这样的系统叫量子比特（qubit）。问题来了：α,β\alpha,\beta 是两个复数， 四个实参数——难道一个 qubit 装着「无穷多信息」？ 经典的「0 或 1」图像在这里彻底失效，我们需要一张新地图， 把所有合法状态一次画全。

旧工具的缺口

第 3 章告诉我们两条约束：归一化吃掉一个实参数， 整体相位不可观测再吃掉一个。剩下两个实参数—— 所以 qubit 纯态的集合是个二维曲面。是什么曲面？

从 (α, β) 到球面坐标 (θ, φ)基础~6 min

第一步：用模与辐角改写。 令 α=r0eiγ0\alpha=r_0\ee^{\ii\gamma_0}、β=r1eiγ1\beta=r_1\ee^{\ii\gamma_1}， 归一化要求 r02+r12=1r_0^2+r_1^2=1，于是可以设

r0=cos⁡θ2,r1=sin⁡θ2,θ∈[0,π](9.1.3)r_0=\cos\frac{\theta}{2},\qquad r_1=\sin\frac{\theta}{2},\qquad \theta\in[0,\pi]\tag{9.1.3}

（为什么是 θ/2\theta/2 而不是 θ\theta？先按下不表，第三步见分晓。）

第二步：扔掉整体相位。 提出公共因子 eiγ0\ee^{\ii\gamma_0}：

∣ψ⟩=eiγ0(cos⁡θ2∣0⟩+eiφsin⁡θ2∣1⟩),φ≡γ1−γ0(9.1.4)\ket{\psi}=\ee^{\ii\gamma_0}\left(\cos\frac{\theta}{2}\ket{0} +\ee^{\ii\varphi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}\right), \qquad \varphi\equiv\gamma_1-\gamma_0\tag{9.1.4}

整体相位没有任何可测后果（所有概率、所有期望值都不变），删去。剩下

∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiφsin⁡θ2∣1⟩,θ∈[0,π], φ∈[0,2π)(9.1.5)\ket{\psi}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{0}+\ee^{\ii\varphi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}, \qquad \theta\in[0,\pi],\ \varphi\in[0,2\pi)\tag{9.1.5}

(θ,φ)(\theta,\varphi) 正是球面坐标：qubit 的纯态集合是一个单位球面，称为 Bloch 球。

第三步：验证 θ/2 的合理性——算 Pauli 期望值。 回忆第 5 章的 σz∣0⟩=∣0⟩\sigma_z\ket{0}=\ket{0}、σz∣1⟩=−∣1⟩\sigma_z\ket{1}=-\ket{1}，以及 σx,σy\sigma_x,\sigma_y 的矩阵。逐个计算：

⟨ψ|σz∣ψ⟩=cos⁡2θ2−sin⁡2θ2=cos⁡θ(9.1.6)\braket{\psi}{\sigma_z|\psi}=\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}=\cos\theta\tag{9.1.6}⟨ψ|σx∣ψ⟩=2cos⁡θ2sin⁡θ2cos⁡φ=sin⁡θcos⁡φ(9.1.7)\braket{\psi}{\sigma_x|\psi}=2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\cos\varphi=\sin\theta\cos\varphi\tag{9.1.7}⟨ψ|σy∣ψ⟩=sin⁡θsin⁡φ(9.1.8)\braket{\psi}{\sigma_y|\psi}=\sin\theta\sin\varphi\tag{9.1.8}

三个期望值拼起来正是单位矢量的直角坐标：

r⃗≡(⟨σx⟩,⟨σy⟩,⟨σz⟩)=(sin⁡θcos⁡φ, sin⁡θsin⁡φ, cos⁡θ)(9.1.9)\vec r\equiv(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle,\langle\sigma_z\rangle) =(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta)\tag{9.1.9}

如果第一步写的是 cos⁡θ\cos\theta 而不是 cos⁡(θ/2)\cos(\theta/2)，这里就会得到 cos⁡2θ\cos 2\theta， 坐标对不上。半角是复二维空间到实三维球面映射的固有代价—— 它正是第 5 章「自旋转 360° 波函数变号、转 720° 才复原」的同一件事。

物理图像

一张态的地图。 北极是 ∣0⟩\ket{0}，南极是 ∣1⟩\ket{1}， 赤道上是两者的等权叠加，纬度决定权重、经度决定相对相位。 六个最常用的态占据三条坐标轴的端点：

  • zz 轴：∣0⟩\ket{0}（北极）、∣1⟩\ket{1}（南极）
  • xx 轴：∣±⟩=12(∣0⟩±∣1⟩)\ket{\pm}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{0}\pm\ket{1})
  • yy 轴：∣±i⟩=12(∣0⟩±i∣1⟩)\ket{\pm\ii}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{0}\pm\ii\ket{1})

测量也有了几何语言：沿 n^\hat n 方向测自旋， 得「+」的概率只取决于态矢量与 n^\hat n 的夹角。

数学形式

∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiφsin⁡θ2∣1⟩(9.1.10)\ket{\psi}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{0}+\ee^{\ii\varphi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}\tag{9.1.10}

沿 n^\hat n 方向测量（算符 n^⋅σ⃗\hat n\cdot\vec\sigma），结果 ±1\pm1 的概率：

P±=1±n^⋅r⃗2(9.1.11)P_\pm=\frac{1\pm\hat n\cdot\vec r}{2}\tag{9.1.11}

夹角为 Θ\Theta 时 P+=cos⁡2(Θ/2)P_+=\cos^2(\Theta/2)。特例：r⃗\vec r 与 n^\hat n 同向必得 +1+1， 反向必得 −1-1，垂直则五五开。

与自旋 1/2 逐条对号

qubit 不是新物理，它就是第 5 章的自旋 1/2 换了记号。对照表：

自旋 1/2（第 5 章）qubit（本章）
∣↑⟩,∣↓⟩\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}（SzS_z 本征态）计算基 ∣0⟩,∣1⟩\ket{0},\ket{1}
Sx,Sy,Sz=ℏ2σx,y,zS_x,S_y,S_z=\frac{\hbar}{2}\sigma_{x,y,z}Pauli 门 X,Y,ZX,Y,Z（下一节）
磁场中的进动 e−iωtσz/2\ee^{-\ii\omega t\sigma_z/2}相位门 / 单比特旋转
Stern–Gerlach 沿 n^\hat n 测量沿 n^\hat n 的投影测量
转 720° 才回到自身半角 θ/2\theta/2

实际的 qubit 未必真是自旋：超导电路取最低两个能级， 离子阱取两条超精细能级，光子取两个偏振方向。 只要是「二维复空间 + 幺正演化 + 投影测量」，数学上就与自旋 1/2 一模一样—— 这正是第 3 章形式体系的威力：物理载体不同，Hilbert 空间同构。

想亲手转一转这个球，可以去实验室模块 05：自旋与 Bloch 球， 拖动球面上的点，读数里的 ∣ψ⟩\ket{\psi} 会同步变化，还能看进动与测量塌缩。

混合态住在球内部

纯态铺满球面，那球的内部是什么？是第 3 章 3.10 节引入的混合态。任何 qubit 密度算符都能写成

ρ=12(I+r⃗⋅σ⃗),∣r⃗∣≤1(9.1.12)\rho=\frac{1}{2}\left(I+\vec r\cdot\vec\sigma\right),\qquad |\vec r|\le 1\tag{9.1.12}

∣r⃗∣=1|\vec r|=1 是纯态（球面），∣r⃗∣<1|\vec r|<1 是混合态（球内）， 球心 r⃗=0\vec r=0 是最大混合态 ρ=I/2\rho=I/2——沿任何轴测都五五开，一无所知。 这个图像在 9.3 节（约化密度矩阵度量纠缠）和第 10 章（退相干把球面「缩」进球心） 会反复出现，先记住：越靠近球心，态越「不纯」。

本节关键公式

  • qubit 纯态

    ∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiφsin⁡θ2∣1⟩\ket{\psi}=\cos\frac{\theta}{2}\ket{0}+\ee^{\ii\varphi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1}

    θ∈[0,π] 纬度，φ∈[0,2π) 经度；整体相位已删去

  • Bloch 矢量

    r⃗=(⟨σx⟩,⟨σy⟩,⟨σz⟩)\vec r=(\langle\sigma_x\rangle,\langle\sigma_y\rangle,\langle\sigma_z\rangle)

    纯态 |r| = 1；正交态是对径点

  • 测量概率

    P±=1±n^⋅r⃗2P_\pm=\frac{1\pm\hat n\cdot\vec r}{2}

    沿 n̂ 测 n̂·σ 得 ±1 的概率；夹角 Θ 时 P₊=cos²(Θ/2)

  • 密度算符

    ρ=12(I+r⃗⋅σ⃗),∣r⃗∣≤1\rho=\frac{1}{2}(I+\vec r\cdot\vec\sigma),\quad |\vec r|\le 1

    球面=纯态，球内=混合态，球心=I/2

自测共 4 题

  1. 1.

    态 ∣ψ⟩ = (∣0⟩ + i∣1⟩)/√2 的 Bloch 矢量指向哪里？

  2. 2.

    关于 Bloch 球，下列哪些说法正确？（多选）

    多选题

  3. 3.

    qubit 处于 ∣0⟩，沿与 z 轴成 60° 的方向 n̂ 测量 n̂·σ。求得到 +1 的概率。

    允许 2% 相对误差
  4. 4.

    一次测量最多能从一个未知 qubit 态里读出多少经典信息？

接下来

地图有了，该学怎么在地图上移动了。经典计算机用与、或、非门加工比特； 量子计算机用什么加工 qubit？答案藏在第 3 章的时间演化公设里： 一切操作都必须是幺正的——在 Bloch 球上，这意味着转动。 下一节我们把最常用的几种转动列成一张「门」的清单， 并回答一个更深的问题：要多少种门，才够拼出所有可能的操作？

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