A.3 常用特殊函数 · 量子力学阶梯

「特殊函数」这个名字听起来吓人，其实它们只是几个常见微分方程的解，被前人算好、编号、列成了表。薛定谔方程在几种规则势场里分离变量后，剩下的常微分方程翻来覆去就那么几个——每个都对应一族特殊函数。本节按族整理：解什么方程、怎么定义、递推关系、前几个长什么样、正文哪一章用。

先给一张总索引：

函数族	物理场景	出场章节
Hermite $H_n$	谐振子本征态	2.9
Legendre $P_\ell$ 与球谐 $Y_\ell^m$	角动量、任何中心力场的角向部分	5.1、5.2
Laguerre $L_n^k$	氢原子径向波函数	6.3
球 Bessel $j_\ell,n_\ell$	自由粒子的径向解、三维散射	6.1、6.2

Hermite 多项式

解决的问题：谐振子的定态方程。代入无量纲变量 $\xi=\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$ 并剥离高斯衰减因子 $\psi=h(\xi)\,\ee^{-\xi^2/2}$ 后， $h$ 满足 Hermite 方程

h''-2\xi h'+2n h=0\tag{A.3.1}

只有 $n$ 取非负整数时解才是多项式（否则级数不截断、 $\psi$ 发散）—— 这正是谐振子能级 $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ 量子化的来源。

定义（Rodrigues 公式，一条式子生成全家）：

H_n(\xi)=(-1)^n\,\ee^{\xi^2}\frac{\dd^n}{\dd\xi^n}\ee^{-\xi^2}\tag{A.3.2}

递推与求导（数值和手算都靠这两条，不用背显式表达式）：

H_{n+1}=2\xi H_n-2nH_{n-1},\qquad H_n'=2nH_{n-1}\tag{A.3.3}

前几个：

$n$	$H_n(\xi)$
0	$1$
1	$2\xi$
2	$4\xi^2-2$
3	$8\xi^3-12\xi$
4	$16\xi^4-48\xi^2+12$

正交性（权函数是高斯）：

\int_{-\infty}^{\infty}H_m H_n\,\ee^{-\xi^2}\dd\xi=2^n n!\sqrt{\pi}\,\delta_{mn}\tag{A.3.4}

由此得到归一化的谐振子本征态 $\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}H_n(\xi)\,\ee^{-\xi^2/2}$ 。 $H_n$ 是 $n$ 次多项式、宇称为 $(-1)^n$ 、有 $n$ 个实零点—— 对应 $\psi_n$ 有 $n$ 个节点。

Legendre 多项式与球谐函数

解决的问题：任何中心力场 $V(r)$ 中分离变量后的角向方程—— 它与 $V$ 无关，所以角向解是通用的。 $\theta$ 方向的方程（令 $u=\cos\theta$ ）是 Legendre 方程

\frac{\dd}{\dd u}\!\left[(1-u^2)\frac{\dd P}{\dd u}\right]+\ell(\ell+1)P=0\tag{A.3.5}

在两极 $u=\pm1$ 处解要保持有限，逼出 $\ell=0,1,2,\dots$ ——角动量量子化的来源。

定义与递推：

P_\ell(u)=\frac{1}{2^\ell \ell!}\frac{\dd^\ell}{\dd u^\ell}(u^2-1)^\ell, \qquad (\ell+1)P_{\ell+1}=(2\ell+1)\,u\,P_\ell-\ell P_{\ell-1}\tag{A.3.6}

前几个： $P_0=1$ ， $P_1=u$ ， $P_2=\tfrac12(3u^2-1)$ ， $P_3=\tfrac12(5u^3-3u)$ 。

带上 $m$ 的连带 Legendre 函数 $P_\ell^m(u)=(1-u^2)^{|m|/2}\,\dd^{|m|}P_\ell/\dd u^{|m|}$ ，再配上 $\varphi$ 方向的 $\ee^{\ii m\varphi}$ 和归一化系数，就是球谐函数—— 角动量算符 $\hat L^2,\hat L_z$ 的公共本征函数：

\hat L^2Y_\ell^m=\ell(\ell+1)\hbar^2\,Y_\ell^m, \qquad \hat L_zY_\ell^m=m\hbar\,Y_\ell^m, \qquad m=-\ell,\dots,\ell\tag{A.3.7}

最常用的几个（正文 5.2 节有三维图像）：

$Y_\ell^m$	表达式
$Y_0^0$	$\sqrt{1/4\pi}$
$Y_1^0$	$\sqrt{3/4\pi}\,\cos\theta$
$Y_1^{\pm1}$	$\mp\sqrt{3/8\pi}\,\sin\theta\,\ee^{\pm \ii\varphi}$
$Y_2^0$	$\sqrt{5/16\pi}\,(3\cos^2\theta-1)$

正交归一（在整个球面上积分）：

\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}Y_{\ell'}^{m'*}\,Y_\ell^m\,\sin\theta\,\dd\theta\,\dd\varphi=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}\tag{A.3.8}

化学里的 $p_x,p_y,p_z$ 轨道就是 $Y_1^{\pm1},Y_1^0$ 的实线性组合。

Laguerre 多项式

解决的问题：氢原子径向方程。剥离长程衰减 $\ee^{-r/na}$ 与短程行为 $r^\ell$ 之后，剩下的多项式部分满足连带 Laguerre 方程。级数截断条件给出主量子数 $n$ ，这就是氢原子能级 $E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2$ 的来源（完整推导见 6.3 节）。

定义（Rodrigues 公式； $L_q^k$ 是 $q$ 次多项式）：

L_q(x)=\frac{\ee^{x}}{q!}\frac{\dd^q}{\dd x^q}\!\left(x^q\ee^{-x}\right), \qquad L_q^{k}(x)=(-1)^k\frac{\dd^k}{\dd x^k}L_{q+k}(x)\tag{A.3.9}

前几个： $L_0=1$ ， $L_1=1-x$ ， $L_2=1-2x+\tfrac{x^2}{2}$ ； $L_0^1=1$ ， $L_1^1=2-x$ 。

氢原子径向波函数的组装方式（ $a$ 为 Bohr 半径）：

R_{n\ell}(r)\;\propto\;\left(\frac{2r}{na}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\!\left(\frac{2r}{na}\right)\ee^{-r/na}\tag{A.3.10}

多项式部分有 $n-\ell-1$ 个零点，正是径向节点数。

球 Bessel 函数

解决的问题：势能为零（或常数）区域的径向方程。令 $u=rR$ 之后径向方程变成 $R''+\frac{2}{r}R'+\left[k^2-\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]R=0$ ，解是球 Bessel 函数 $j_\ell(kr)$ （原点处规则）与球 Neumann 函数 $n_\ell(kr)$ （原点处发散）。

低阶显式表达式（都是三角函数除以幂次，可以手算）：

$\ell$	$j_\ell(x)$	$n_\ell(x)$
0	$\dfrac{\sin x}{x}$	$-\dfrac{\cos x}{x}$
1	$\dfrac{\sin x}{x^2}-\dfrac{\cos x}{x}$	$-\dfrac{\cos x}{x^2}-\dfrac{\sin x}{x}$

递推（ $f_\ell$ 代表 $j_\ell$ 或 $n_\ell$ ，同一条递推）：

f_{\ell+1}(x)=\frac{2\ell+1}{x}f_\ell(x)-f_{\ell-1}(x)\tag{A.3.11}

两端行为（判断解的取舍全靠这两条）：

j_\ell(x)\xrightarrow{x\to0}\frac{x^\ell}{(2\ell+1)!!},\qquad j_\ell(x)\xrightarrow{x\to\infty}\frac{\sin(x-\ell\pi/2)}{x}\tag{A.3.12}

$n_\ell$ 在原点发散如 $x^{-\ell-1}$ ，所以包含原点的区域只能用 $j_\ell$ ；远处的正弦振荡（相位平移 $\ell\pi/2$ ）是三维散射分波法里「相移」概念的参照零点。

本节关键公式

Hermite 递推
$H_{n+1}=2\xi H_n-2nH_{n-1},\qquad H_0=1,\ H_1=2\xi$
谐振子；ψₙ 有 n 个节点，宇称 (−1)ⁿ
Legendre 递推
$(\ell+1)P_{\ell+1}=(2\ell+1)uP_\ell-\ell P_{\ell-1}$
中心力场角向方程；两极有限 ⇒ ℓ 取整数
球谐本征方程
$\hat L^2Y_\ell^m=\ell(\ell+1)\hbar^2Y_\ell^m,\quad \hat L_zY_\ell^m=m\hbar Y_\ell^m$
所有中心势共用的角向解
氢原子径向解
$R_{n\ell}\propto(2r/na)^{\ell}\,L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(2r/na)\,\ee^{-r/na}$
径向节点数 = n − ℓ − 1
球 Bessel 渐近
$j_\ell\xrightarrow{x\to0}\frac{x^\ell}{(2\ell+1)!!},\qquad j_\ell\xrightarrow{x\to\infty}\frac{\sin(x-\ell\pi/2)}{x}$
含原点区域舍弃 nℓ；远端相位是分波相移的零点

常用特殊函数

建议先掌握

学完本节你应该能

Hermite 多项式

Legendre 多项式与球谐函数

Laguerre 多项式

球 Bessel 函数

本节关键公式

自测共 3 题

Hermite 多项式

Legendre 多项式与球谐函数

Laguerre 多项式

球 Bessel 函数

∎本节关键公式

本节关键公式