Feynman 路径积分思想

前十章我们只用过一种语言讲量子力学：波函数满足薛定谔方程， $\ii\hbar\partial_t\Psi=\hat H\Psi$，给定初态就解出未来。这套语言很成功， 但它把「粒子从哪里走到哪里」这个最朴素的问题藏了起来——波函数弥漫在整个空间， 你说不出粒子「走了哪条路」。

Feynman 在 1948 年给出了第二种语言。它的出发点正是我们在 1.6 节留下的那个刺眼的事实： 双缝实验里，单个电子的落点分布同时「知道」两条缝的存在。 当时我们说「电子的波同时穿过两条缝」。Feynman 把这句话推到了逻辑的尽头。

从两条缝到无穷多条缝

回忆双缝的规则：到达屏上某点的总振幅，是两条路径各自振幅的和，

$$A_{\text{总}}=A_{\text{缝}1}+A_{\text{缝}2}\tag{11.1.1}$$

概率是 $|A_{\text{总}}|^2$，交叉项就是干涉条纹。

现在做一个思想实验，分三步升级：

第一步：加缝。 在挡板上开三条缝、四条缝……$N$ 条缝。规则不变： 总振幅是 $N$ 条路径的振幅之和。

第二步：加屏。 在源和屏之间再插一块挡板，也开上许多缝。 一条「路径」现在要指定粒子依次穿过第一块板的哪条缝、第二块板的哪条缝—— 路径数变成了乘积。总振幅仍然是所有这些折线路径的振幅之和。

第三步：拆板。 让每块挡板上的缝越开越多，直到整块板都是缝—— 也就是把板拆掉；再让挡板越插越密，直到空间里处处是「板」。 这时「依次穿过哪些缝」的折线，就变成了从源到屏的任意连续路径。

挡板全拆掉之后剩下什么？剩下真空。但求和规则没有理由在拆掉最后一块板的瞬间失效。 于是我们被逼到一个惊人的结论：

每条路径贡献什么？

规则的前一半（对路径求和）来自双缝的逼迫，后一半要回答：单条路径的振幅 $A[x(t)]$ 是多少？

Feynman 的答案短得出奇：每条路径的振幅大小都一样，只有相位不同，相位由这条路径的 作用量决定：

$$A[x(t)]=\text{（常数）}\times\ee^{\ii S[x(t)]/\hbar}\tag{11.1.3}$$

作用量是经典力学里的老朋友：沿着一条给定路径，把「动能减势能」（拉格朗日量 $L$）对时间累加起来，

$$S[x(t)]=\int_{t_a}^{t_b}L\,\dd t=\int_{t_a}^{t_b}\left[\frac{m\dot x^2}{2}-V(x)\right]\dd t\tag{11.1.4}$$

用大白话说：$S$ 是给每条路径打的一个「分数」，走得快动能大加分，待在势能高处扣分。 经典力学的最小作用量原理说：真实路径是让 $S$ 取驻值（通常是极小）的那条—— 牛顿方程正是 $\delta S=0$ 的数学表达。

$S$ 的量纲是能量×时间，和 $\hbar$ 相同，所以 $S/\hbar$ 是个纯数，可以当相位角。 这不是巧合——马上会看到，正是 $S$ 与 $\hbar$ 的比值决定了一个系统「有多量子」。

经典世界去哪儿了：驻相

如果电子真的什么路都走，为什么棒球看起来只走一条抛物线？答案藏在相位的抵消里。

驻相论证：为什么 ħ→0 时只剩牛顿路径基础~7 min展开

考察两类路径的贡献。

第一类：远离经典路径的路径。 取某条路径 $x(t)$，$\delta S\neq0$， 即把它稍微变形一点，作用量就有一阶变化。设变形量为 $\eta$， 相位变化约为 $\delta S[\eta]/\hbar$。

关键在分母的 $\hbar$。宏观情形下 $S$ 的典型值远大于 $\hbar$（下面马上估算）， 所以哪怕 $\eta$ 小到测不出来，相位变化也是巨大的：相邻路径的小箭头方向疯狂旋转， 指向所有可能的角度。把它们加起来——近乎完全抵消。

这和积分 $\int\ee^{\ii\lambda f(u)}\dd u$ 在 $\lambda\to\infty$ 时趋于零是同一件事 （快速振荡的正负部分互相消掉）。

第二类：经典路径附近的路径。 在 $x_{\text{cl}}$ 处 $\delta S=0$， 作用量对变形只有二阶响应：

$$S[x_{\text{cl}}+\eta]=S[x_{\text{cl}}]+O(\eta^2)\tag{11.1.7}$$

于是存在一整片路径，它们的相位几乎相同，小箭头方向一致，相加时互相增强。 这片「相干带」的宽度由 $O(\eta^2)$ 项的相位达到 $\sim\pi$ 决定： 对自由粒子可以估出 $\eta\sim\sqrt{\hbar T/m}$（$T$ 是飞行时间）。

结论。 总振幅几乎完全来自经典路径附近宽约 $\sqrt{\hbar T/m}$ 的一束路径。 $\hbar\to0$（或 $S\gg\hbar$）时这束路径缩成一条线——粒子「走牛顿路径」。

数量级检验。 一颗棒球（$m=0.145$ kg）以 40 m/s 飞行 0.5 s， $S\sim E_k T\approx116\times0.5\approx58$ J·s，于是

$$\frac{S}{\hbar}\approx\frac{58}{1.05\times10^{-34}}\approx5\times10^{35}\tag{11.1.8}$$

偏离经典路径哪怕 $10^{-17}$ m，相位就转过好多圈。棒球别无选择。 而双缝里的电子，两条路径的作用量差正好是 $\hbar$ 的量级——所以它「两条都走」。

∎本节关键公式

• 路径求和

  $$K(b,a)=\int\mathcal{D}x(t)\,\ee^{\ii S[x(t)]/\hbar}$$

  所有连接 a、b 的路径都贡献，振幅同大小、只差相位

• 作用量

  $$S[x(t)]=\int_{t_a}^{t_b}\Bigl[\frac{m\dot x^2}{2}-V(x)\Bigr]\dd t$$

  经典力学的打分函数；量纲与 ħ 相同

• 经典路径

  $$\delta S[x_{\text{cl}}]=0$$

  驻相条件 = 牛顿方程；相干带宽度约 √(ħT/m)

• 经典极限判据

  $$S/\hbar\gg1$$

  棒球约 10³⁶，双缝电子约 1——这就是分界线

?自测共 4 题

1. 1.

   路径积分中，一条路径的振幅由什么决定？

   • 大小对所有路径相同，相位等于该路径的作用量除以 ħ
   • 大小正比于路径长度的倒数，越短的路径贡献越大
   • 只有满足牛顿方程的路径振幅不为零
   • 大小由路径经过处的势能决定

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2. 2.

   为什么 ħ→0（或 S≫ħ）时只剩下经典路径的贡献？（多选）

   多选题

   • 偏离经典路径时作用量有一阶变化，相位快速旋转，贡献互相抵消
   • 经典路径附近 δS=0，一整束路径相位几乎相同，相干叠加
   • 非经典路径的振幅大小随偏离量指数衰减
   • 经典路径附近相干带的宽度约为 √(ħT/m)，ħ→0 时缩为一条线

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3. 3.

   双缝实验在路径积分语言里的地位是：

   • 所有路径求和在「挡板只留两条通路」时的特殊情形
   • 路径积分失效、必须回到波函数语言的例子
   • 只有两条路径存在的证明
   • 经典极限的演示实验

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4. 4.

   棒球 m=0.145 kg 以 40 m/s 匀速飞行 0.5 s，取 S≈动能×时间。求 log₁₀(S/ħ)。（ħ=1.05×10⁻³⁴ J·s）

   允许 50% 相对误差

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接下来

「对所有路径求和」目前还只是一句纲领。要让它能算出数来， 得先把 $\int\mathcal{D}x(t)$ 定义清楚，然后在最简单的体系——自由粒子——上 把这个无穷维积分完整算一遍。算出来的东西叫传播子， 它会和第 2 章的波包扩散严丝合缝地对上。