2.8 一维有限深势阱 · 量子力学阶梯

V(x)=\begin{cases}-V_0,&-a<x<a\\ 0,&\lvert x\rvert>a\end{cases}\qquad (V_0>0)

我们把能量零点取在阱外，这样束缚态就是 $-V_0<E<0$ 的那些。

分区求解

完整求解：偶宇称束缚态进阶~10 min

势能对称， $V(-x)=V(x)$ ，所以本征态必有确定宇称（原因见 4.1 节；这里先用）。先做偶宇称。

分区。 记

k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}\ (\text{阱内}),\qquad \kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}\ (\text{阱外})\tag{2.8.1}

束缚态 $-V_0<E<0$ 保证 $k,\kappa$ 都是正实数。

阱内（ $|x|<a$ ）： $\psi''=-k^2\psi$ ，偶解取 $\psi=D\cos kx$
右侧（ $x>a$ ）： $\psi''=\kappa^2\psi$ ，可归一化要求只保留 $\psi=F\ee^{-\kappa x}$
左侧由偶宇称自动确定

连接条件。 $V$ 有限，所以 $\psi$ 与 $\psi'$ 都必须在 $x=a$ 连续：

D\cos ka=F\ee^{-\kappa a}\tag{2.8.2}

-Dk\sin ka=-\kappa F\ee^{-\kappa a}\tag{2.8.3}

消去常数。 第二式除以第一式（这一步把两个未知系数一次性干掉，是标准手法）：

k\tan ka=\kappa\tag{2.8.4}

这就是决定能级的条件。

无量纲化。 令

z\equiv ka,\qquad z_0\equiv\frac{a}{\hbar}\sqrt{2mV_0}\tag{2.8.5}

$z_0$ 是唯一的无量纲参数，它把阱的深度和宽度打包成一个数。由定义可验证

(ka)^2+(\kappa a)^2=\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}=z_0^2 \;\Longrightarrow\;\kappa a=\sqrt{z_0^2-z^2}\tag{2.8.6}

代入条件式，得到超越性方程

\tan z=\frac{\sqrt{z_0^2-z^2}}{z}\tag{2.8.7}

图解法：数出束缚态个数

把方程两边分别看成 $z$ 的函数，画在同一张图上：

$y_1=\tan z$ ：一族分支，在 $z=\pi/2,\ 3\pi/2,\ \dots$ 处发散
$y_2=\sqrt{z_0^2-z^2}/z$ ：从 $z\to0$ 的 $+\infty$ 单调下降，在 $z=z_0$ 处归零

交点的个数就是偶宇称束缚态的个数。

物理图像

$y_2$ 只在 $0<z<z_0$ 上有定义。 $\tan z$ 的第 $n$ 个上升分支起始于 $z=(n-1)\pi$ 。所以每当 $z_0$ 越过 $\pi$ 的整数倍，就多出一个偶宇称束缚态。

对奇宇称态（用 $\psi=D\sin kx$ 重做一遍），条件变成 $-k\cot ka=\kappa$ ，新束缚态出现在 $z_0$ 越过 $\pi/2$ 的奇数倍时。

合起来：束缚态总数为

N=\left\lceil \frac{2z_0}{\pi}\right\rceil\tag{2.8.8}

数学形式

关键极限

$z_0\to\infty$ （很深很宽）：交点趋近 $\tan z$ 的发散点 $z\to n\pi/2$ ，于是 $k\to n\pi/2a$ ——正是宽度 $2a$ 的无限深势阱结果。极限对上了。

$z_0\to0$ （很浅很窄）： $y_2$ 的曲线塌向原点，但 $\tan z$ 在 $z\to0$ 时也趋于 0，且 $\tan z\approx z$ 增长比 $y_2$ 的下降慢—— 永远至少有一个交点。

渗透深度

阱外 $\psi\propto\ee^{-\kappa|x|}$ ，特征衰减长度为

\delta=\frac{1}{\kappa}=\frac{\hbar}{\sqrt{2m\lvert E\rvert}}\tag{2.8.9}

束缚得越浅（ $|E|$ 越小），渗得越远。这个 $\delta$ 是理解隧道效应的关键量：如果势垒的厚度可以和 $\delta$ 相比，波函数就能从另一头冒出来 ——2.11 节会把这件事算清楚。

数值例：算一个具体的势阱进阶~6 min

取电子、 $a=0.5\ \text{nm}$ （阱宽 1 nm）、 $V_0=5\ \text{eV}$ 。

z_0=\frac{a\sqrt{2mV_0}}{\hbar}=\frac{a}{\hbar c}\sqrt{2(mc^2)V_0} =\frac{0.5}{197.3}\sqrt{2\times511000\times5}\tag{2.8.10}

=\frac{0.5}{197.3}\times2260=5.73\tag{2.8.11}

束缚态个数： $N=\lceil 2\times5.73/\pi\rceil=\lceil3.65\rceil=4$ 。

基态。 求解 $\tan z=\sqrt{5.73^2-z^2}/z$ 在 $(0,\pi/2)$ 内的根，数值上得 $z\approx1.31$ 。于是

E+V_0=\frac{\hbar^2z^2}{2ma^2}=\frac{(\hbar c)^2z^2}{2(mc^2)a^2} =\frac{197.3^2\times1.31^2}{2\times511000\times0.25}\ \text{eV}\approx0.26\ \text{eV}\tag{2.8.12}

E\approx-4.74\ \text{eV}\tag{2.8.13}

对照无限深阱（宽 $2a=1$ nm）： $E_1^{\infty}=0.376$ eV（见上一节的自测题），比这里的 0.26 eV 高。符合预期：波函数渗出阱外，有效宽度变大，能量降低。

渗透深度： $|E|=4.74$ eV，

\delta=\frac{\hbar c}{\sqrt{2(mc^2)\lvert E\rvert}}=\frac{197.3}{\sqrt{2\times511000\times4.74}}\approx0.09\ \text{nm}\tag{2.8.14}

约 0.9 Å，接近一个原子的尺度。所以如果把两个这样的阱放到 2 Å 以内，它们的波函数就会显著重叠——这正是化学键与能带形成的起点。

本节关键公式

偶宇称能级条件
$k\tan ka=\kappa,\qquad k=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar},\ \kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$
奇宇称对应 −k cot ka = κ
无量纲形式
$\tan z=\frac{\sqrt{z_0^2-z^2}}{z},\qquad z_0=\frac{a}{\hbar}\sqrt{2mV_0}$
z₀ 把深度与宽度打包成唯一参数
束缚态个数
$N=\left\lceil\frac{2z_0}{\pi}\right\rceil$
一维对称势阱无论多浅都至少有一个
渗透深度
$\delta=\frac{1}{\kappa}=\frac{\hbar}{\sqrt{2m\lvert E\rvert}}$
束缚得越浅渗得越远；隧穿的关键长度

自测共 3 题

接下来

下一个可以完整解出来的势是抛物线。它的重要性远超「又一个习题」：任何势的极小值附近都近似是抛物线，所以谐振子是物理学里复用次数最多的模型。

一维有限深势阱

建议先掌握

学完本节你应该能

分区求解

图解法：数出束缚态个数

物理图像

数学形式

渗透深度

本节关键公式

自测共 3 题

接下来

分区求解

图解法：数出束缚态个数

◑物理图像

∑数学形式

渗透深度

∎本节关键公式

接下来

物理图像

数学形式

本节关键公式