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1.7

不确定性思想的起源

海森堡用一个显微镜的思想实验说服了整整一代物理学家。那个论证给出了正确的公式，理由却是错的——把这件事弄清楚，比记住公式重要。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 复述海森堡 γ 射线显微镜的论证，并说出它的结论与前提
  • 指出「测量干扰」这个解释为何不足以支撑不确定性原理
  • 用双缝与傅里叶的语言说明「不确定」不确定的是什么
  • 说清矩阵力学与波动力学是同一套理论的两种写法

上一节的结论是：「电子走了哪条缝」在测量安排确定之前不是一个有答案的问题。

这一节把这个说法收紧成一条可以计算的关系，并且——同样重要——把历史上那个流传最广的错误理由挑出来。

海森堡的显微镜

1927 年，26 岁的海森堡在哥本哈根写下了那篇论文。他的论证是一个思想实验。

这个论证极有说服力，它把一条抽象的限制变成了一幅可以在脑子里演一遍的画面。它也确实给出了正确的数量级。

但这个理由是错的

那「不确定」到底不确定什么

正确的说法出人意料地朴素，而且我们在上一节已经见过它的影子。

物理图像

它是一条关于波的定理。

一列无限长的正弦波有完全确定的波长，但它铺满整个空间，你说不出它「在哪」。

反过来，一个极短的脉冲位置很明确，但你没法说它的波长是多少——要造出这么陡的脉冲，必须把大量不同波长的正弦波叠起来。

位置定得越死，需要的波长成分越杂。 这是傅里叶分析的定理，对声波、光脉冲、无线电信号一样成立。做音频的人早就知道：想要极短的鼓点，就得占用很宽的频带。

数学形式

傅里叶分析给出的关系是

σx σk≥12(1.7.4)\sigma_x\,\sigma_k\ge\frac12\tag{1.7.4}

纯数学，与量子力学无关。

量子力学只加了一句话：德布罗意关系

p=ℏk(1.7.5)p=\hbar k\tag{1.7.5}

代进去立刻得到

σx σp≥ℏ2(1.7.6)\sigma_x\,\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\tag{1.7.6}

不确定性原理 = 傅里叶分析的定理 + 德布罗意关系。 没有别的成分。

顺带说清楚：矩阵力学与波动力学

1925 年到 1926 年这两年，量子力学被独立地发明了两次。

物理图像

矩阵力学（海森堡，1925）

海森堡决定只用能观测的量（谱线频率与强度）来构造理论，彻底放弃「电子轨道」这类看不见的东西。

他得到的对象服从一种奇怪的乘法：AB≠BAAB\ne BA。他当时并不知道这就是矩阵——是玻恩认出来的。

关键关系：

x^p^−p^x^=iℏ(1.7.8)\hat x\hat p-\hat p\hat x=\ii\hbar\tag{1.7.8}

数学形式

波动力学（薛定谔，1926）

薛定谔从德布罗意的物质波出发，找一个物质波满足的方程。得到的是一个偏微分方程，数学上是当时物理学家熟悉的东西。

iℏ∂Ψ∂t=H^Ψ(1.7.9)\ii\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat H\Psi\tag{1.7.9}

接受度天差地别：物理学家会解偏微分方程，不会算矩阵。薛定谔的版本几乎立刻占了上风。

本节关键公式

  • 海森堡显微镜的估计

    Δx Δp∼h\Delta x\,\Delta p\sim h

    数量级正确，但「测量干扰」这个理由不成立

  • 傅里叶不等式

    σx σk≥12\sigma_x\,\sigma_k\ge\frac12

    纯数学，对一切波都成立

  • 不确定性原理

    σx σp≥ℏ2\sigma_x\,\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}

    = 傅里叶定理 + de Broglie 关系 p = ħk

  • 正则对易关系

    x^p^−p^x^=iℏ\hat x\hat p-\hat p\hat x=\ii\hbar

    矩阵力学的核心；第 3 章会由它严格导出上式

自测共 4 题

  1. 1.

    海森堡 γ 射线显微镜的论证问题出在哪？

  2. 2.

    不确定性原理的数学来源是什么？

  3. 3.

    关于矩阵力学与波动力学，正确的是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    关于能量-时间不确定关系 ΔEΔt ≥ ħ/2，正确的说法是：

本章结束

回头看这一章走过的路：

  1. 三个死结指向同一个假设——能量可以连续分割。
  2. 普朗克把它换成「一份一份」，紫外灾难和低温比热一起解决。
  3. 爱因斯坦把「一份一份」搬到光本身，光电效应的四个怪事一起解决。
  4. 玻尔把它搬到电子轨道，氢光谱被算准到四位有效数字。
  5. 德布罗意把因果反过来：量子化是驻波条件，因为粒子也是波。
  6. 双缝实验证明这个「波」是关于概率的，而非某种物质的振动。
  7. 不确定性原理其实是波的普遍性质，加上一条 p=ℏkp=\hbar k。

到这里，所有的现象都摆上了桌面，但我们手里还只有一堆彼此独立的规则：E=hνE=h\nu、λ=h/p\lambda=h/p、L=nℏL=n\hbar……它们各自管一小片，谁也算不了下一个新问题。

物理学需要的是一个方程：给定粒子所处的环境，它能把状态随时间怎么变一次算出来。薛定谔在 1926 年写下了它。

代价是引入一个新对象——一个复值函数 Ψ\Psi。而它到底代表什么，是接下来第一个要回答的问题。

第 2 章从这里开始。

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