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9.4

Bell 不等式与 CHSH

把「结果早就定好了」的世界观写成一条不等式 S ≤ 2，量子力学算出 2√2 并被无漏洞实验证实——局域实在论出局。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用自己的话陈述局域实在论（局域隐变量模型）到底主张什么
  • 独立推出 CHSH 不等式 ∣S∣ ≤ 2，并指出推导用了哪两条假设
  • 计算单态的量子关联函数，并在最优角度下算出 S = 2√2
  • 说出探测漏洞与局域性漏洞各是什么、2015 年的实验如何同时关掉它们

上一节结尾悬着一个问题：Bell 态的完美关联， 会不会只是两个粒子分开前抄好了同一张答案纸？ 这一节是全章的思想高潮——我们将看到，这个看似无法检验的哲学问题 被 John Bell 在 1964 年变成了一道算术题， 又在此后六十年里被实验一票一票地否决。

EPR：一个非常讲道理的质疑

1935 年，Einstein、Podolsky、Rosen 盯着纠缠态提出如下论证。 取自旋单态（Bell 态 ∣Ψ−⟩\ket{\Psi^-}，两自旋总和为零）：

∣Ψ−⟩=∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2(9.4.1)\ket{\Psi^-}=\frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2}\tag{9.4.1}

把两个粒子送到相距很远的 Alice 和 Bob 手里。Alice 沿 zz 轴测得 ↑\uparrow， 她立刻确定 Bob 那边沿 zz 测必得 ↓\downarrow——百分之百，无一例外。 EPR 说：Bob 的粒子离 Alice 十万八千里，Alice 的测量不可能瞬间改变它 （局域性）；而一个不去碰它就能百分之百预言的量， 必定是它本来就带着的属性（实在性）。结论：测量结果在测量之前就已确定， 量子力学的「概率」只是我们没看到那些隐藏的决定因素——隐变量。

这个主张听起来无法检验：小抄藏在粒子兜里,谁能证明它不存在？ Bell 的天才在于发现：只要小抄存在，无论怎么写，都必须服从一条不等式。

局域隐变量到底承诺了什么

把主张写成数学。每对粒子出发时携带隐变量 λ\lambda（那张小抄，内容任意、 分布任意）。Alice 有两个可选测量方向 a,a′a, a'，Bob 有 b,b′b, b'，结果都记 ±1\pm1。 局域实在论承诺存在四个预先确定的函数：

A(a,λ), A(a′,λ), B(b,λ), B(b′,λ) ∈ {±1}(9.4.2)A(a,\lambda),\ A(a',\lambda),\ B(b,\lambda),\ B(b',\lambda)\ \in\ \{\pm1\}\tag{9.4.2}

关键有两点：AA 不依赖 Bob 选了什么（局域性）， 且四个值对每个 λ\lambda 同时存在（实在性——哪怕 Alice 这轮只测了 aa， 「如果测 a′a' 会得什么」也有确定答案）。关联函数就是对小抄的平均：

E(a,b)=∫dλ p(λ) A(a,λ)B(b,λ)(9.4.3)E(a,b)=\int \dd\lambda\,p(\lambda)\,A(a,\lambda)B(b,\lambda)\tag{9.4.3}
CHSH 不等式：∣S∣ ≤ 2基础~6 min

第一步：对固定的一张小抄 λ\lambda，考察组合

s(λ)=A(a,λ)[B(b,λ)−B(b′,λ)]+A(a′,λ)[B(b,λ)+B(b′,λ)](9.4.4)s(\lambda)=A(a,\lambda)\big[B(b,\lambda)-B(b',\lambda)\big] +A(a',\lambda)\big[B(b,\lambda)+B(b',\lambda)\big]\tag{9.4.4}

第二步：穷举。 B(b,λ)B(b,\lambda) 与 B(b′,λ)B(b',\lambda) 各为 ±1\pm1，只有两种情况：

  • 两者相等：第一个方括号为 0，第二个为 ±2\pm2，于是 s=±2s=\pm2；
  • 两者相反：第二个方括号为 0，第一个为 ±2\pm2，于是 s=±2s=\pm2。

无论小抄怎么写，永远 s(λ)=±2s(\lambda)=\pm2。

第三步：取平均。 定义

S≡E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)=∫dλ p(λ) s(λ)(9.4.5)S\equiv E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')=\int\dd\lambda\,p(\lambda)\,s(\lambda)\tag{9.4.5}

±2\pm2 的加权平均绝不会超出 [−2,2][-2,2]：

 ∣S∣≤2 (9.4.6)\boxed{\,|S|\le 2\,}\tag{9.4.6}

推导只用了两条假设：结果预先确定（四个值同时存在）、且不依赖对方的选择。 没有用到量子力学的任何内容——这是一切局域隐变量理论的天花板。

量子力学怎么说：先算关联函数

单态的关联函数 E(a, b) = −cos(θa − θb)进阶~8 min

设 Alice 沿方向 a^\hat a、Bob 沿 b^\hat b 测自旋（结果记 ±1\pm1，即测 a^⋅σ⃗\hat a\cdot\vec\sigma）。 量子关联函数是

E(a,b)=⟨Ψ−|(a^⋅σ⃗)⊗(b^⋅σ⃗) ∣Ψ−⟩(9.4.7)E(a,b)=\braket{\Psi^-}{(\hat a\cdot\vec\sigma)\otimes(\hat b\cdot\vec\sigma)\,|\Psi^-}\tag{9.4.7}

第一步：利用单态的旋转对称性。 ∣Ψ−⟩\ket{\Psi^-} 是总自旋为零的态， 对两粒子同时转动不变（第 5 章）。因此答案只能依赖 a^\hat a 与 b^\hat b 的夹角。 不妨都取在 xx–zz 平面内，夹角记 θab\theta_{ab}。

第二步：先算三个特例。 取 a^=b^=z^\hat a=\hat b=\hat z：

(σz⊗σz)∣Ψ−⟩=(+1)(−1)∣↑↓⟩−(−1)(+1)∣↓↑⟩2=−∣Ψ−⟩(9.4.8)(\sigma_z\otimes\sigma_z)\ket{\Psi^-} =\frac{(+1)(-1)\ket{\uparrow\downarrow}-(-1)(+1)\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2} =-\ket{\Psi^-}\tag{9.4.8}

所以 E=−1E=-1：同向测量完全反相关（总自旋为零的直接体现）。 同法可得 a^=z^,b^=x^\hat a=\hat z,\hat b=\hat x 时（用 σx\sigma_x 翻转基矢）交叉项配对相消，E=0E=0。

第三步：一般角度。 把 b^⋅σ⃗=cos⁡θab σ∥+sin⁡θab σ⊥\hat b\cdot\vec\sigma=\cos\theta_{ab}\,\sigma_{\parallel}+\sin\theta_{ab}\,\sigma_{\perp} 沿平行、垂直于 a^\hat a 的方向分解，利用上两个特例的结果线性拼装：

E(a,b)=−cos⁡θab(9.4.9)E(a,b)=-\cos\theta_{ab}\tag{9.4.9}

核对两端：θab=0\theta_{ab}=0 给 −1-1（完全反相关），90∘90^\circ 给 00（独立）， 180∘180^\circ 给 +1+1（完全正相关）。光滑的余弦——请与隐变量模型能给出的 「最像它的」折线（线性插值）比较：余弦在中段陡、两端平， 恰好是它能违反 CHSH 的几何原因。

现在挑角度让 ∣S∣|S| 最大。 取（都在同一平面内，单位：度）

a=0,a′=90,b=45,b′=135(9.4.10)a=0,\quad a'=90,\quad b=45,\quad b'=135\tag{9.4.10}

四个关联逐个代入 E=−cos⁡θabE=-\cos\theta_{ab}：

配对夹角EE
a,ba,b45°−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
a,b′a,b'135°+22+\tfrac{\sqrt2}{2}
a′,ba',b45°−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
a′,b′a',b'45°−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
S=E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)=−22×4=−22≈−2.83(9.4.11)S=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b') =-\frac{\sqrt2}{2}\times4=-2\sqrt2\approx-2.83\tag{9.4.11} ∣S∣=22>2(9.4.12)|S|=2\sqrt2>2\tag{9.4.12}

量子力学冲破了一切局域隐变量理论的天花板。而且 222\sqrt2 不是巧合的角度游戏： 可以证明量子力学在任何态、任何测量下都给不出更大的值（Tsirelson 界）， 222\sqrt2 是量子关联的极限。

物理图像

直觉：为什么余弦赢了折线。 隐变量模型也能做出「同向反相关、垂直无关联」—— 比如让每对粒子带一个随机方向 λ^\hat\lambda，各自按 a^⋅λ^\hat a\cdot\hat\lambda 的正负出结果。这个模型给出的关联是随夹角线性变化的折线。 CHSH 的四个角度专挑 45° 这种「中段」下手： 余弦在 45° 处的关联强度是 0.7070.707，比折线的 0.50.5 陡得多， 四项一累加，差距就被放大到 222\sqrt2 对 2。 纠缠赢在每一个测量轴上都关联得比经典允许的更狠—— 这正是上一节「双轴通吃」伏笔的兑现。

数学形式

隐变量玩具模型（随机轴 λ^\hat\lambda、按符号出结果）：

E折线(θ)=−1+2θπ,θ∈[0,π](9.4.13)E_{\text{折线}}(\theta)=-1+\frac{2\theta}{\pi},\qquad \theta\in[0,\pi]\tag{9.4.13}

在 CHSH 角度组合下：

S折线=−12×4=−2(9.4.14)S_{\text{折线}}=-\tfrac12\times4=-2\tag{9.4.14}

正好贴着天花板。量子：

SQM=−cos⁡45∘×4=−22(9.4.15)S_{\text{QM}}=-\cos45^\circ\times4=-2\sqrt2\tag{9.4.15}

Tsirelson 界：∣S∣QM≤22|S|_{\text{QM}}\le2\sqrt2，取等当且仅当态最大纠缠且角度如上。

实验审判：漏洞是怎么一个个关掉的

不等式可以违反在纸上，也必须违反在实验室里。从 1972 年 Freedman–Clauser 到 1982 年 Aspect 的光子实验，测得的 SS 一直站在量子一边。 但严谨的怀疑者指出两个漏洞——不等式推导的假设在实验里未必成立：

  1. 局域性漏洞：如果 Alice 选测量方向的信号来得及（以光速）传到 Bob 的粒子那里， 「BB 不依赖 aa」这条假设就没被强制。堵法：两站离得够远、 测量方向在粒子飞行途中才由快速随机数发生器现选， 让「通风报信」在相对论上来不及。Aspect 1982 年首次做了快速切换， 1998 年 Innsbruck 实验用严格类空间隔做实。
  2. 探测漏洞：光子探测效率低，若只有一小部分粒子被记录， 「被记录的样本」可能有偏——隐变量可以密谋只让「配合演出」的粒子被探测到 （需假设「公平采样」才能下结论）。堵法：把总探测效率提到约 83% 以上， 或改用探测效率接近 1 的物质 qubit。

麻烦在于早年实验各堵一个：光子实验距离够远但探测率低， 离子实验探测率高但距离太近。2015 年，三组实验同时关掉两个漏洞： Delft 用相距 1.3 km 的金刚石色心（探测效率约 100%，事件率极低但每个都算数）， Vienna 与 NIST 用高效率超导探测器的纠缠光子（数亿次事件，统计显著性高到 pp 值小于 10−3010^{-30} 量级）。三者都明确违反 Bell 不等式。 2022 年诺贝尔物理学奖授予 Clauser、Aspect、Zeilinger，正是为这条实验线盖章。

想亲手积累 CHSH 数据、看着 SS 爬过 2， 去实验室模块 08：纠缠与 Bell 非定域性。

本节关键公式

  • CHSH 组合

    S=E(a,b)−E(a,b′)+E(a′,b)+E(a′,b′)S=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')

    四组关联各测各的，事后拼装

  • 经典天花板

    ∣S∣≤2|S|\le 2

    一切局域隐变量理论；只用「预先确定 + 局域」两条假设

  • 单态关联

    E(a,b)=−cos⁡θabE(a,b)=-\cos\theta_{ab}

    同向全反相关，垂直无关联；余弦比折线陡

  • Tsirelson 界

    ∣S∣QM≤22≈2.83|S|_{\text{QM}}\le 2\sqrt2\approx 2.83

    量子力学的极限，最优角度 0°, 90°, 45°, 135° 达到

自测共 4 题

  1. 1.

    CHSH 不等式的推导用了哪些假设？（多选）

    多选题

  2. 2.

    在最优角度下，量子力学预言的 ∣S∣ 是多少？（保留三位小数）

    允许 1% 相对误差
  3. 3.

    「探测漏洞」指的是什么？

  4. 4.

    实验确认 ∣S∣ > 2 之后，下列哪个结论成立？

接下来

Bell 实验告诉我们：纠缠里的关联比任何经典机制都强，却又一个比特都传不了。 那这种「不能通信的超强关联」到底能拿来干什么？ 下一节给出第一个惊人的用途：把一个未知的量子态从 Alice 手里 「传」到 Bob 手里——不移动任何粒子，只打一通两比特的电话。

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