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12.5

自旋与相对论的必然联系

把 Dirac 方程放进电磁场、取低速极限：g=2 自己掉出来；再展开一阶，精细结构三件套——相对论修正、自旋轨道耦合（带 Thomas 1/2）、Darwin 项——全部自动到齐。自旋是相对论送给量子力学的礼物。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 从电磁场中的 Dirac 方程取非相对论极限，推导 Pauli 方程与 g=2
  • 说明再展开一阶后，6.6 节手工添加的精细结构三项如何全部自动出现（含 Thomas 1/2）
  • 解释 g−2 的微小偏差为什么是通往量子场论的路标
  • 说明自旋统计定理的相对论根源，回收第 8 章的公设

第 5 章我们被实验按着头接受了两件事：电子有自旋 ℏ/2\hbar/2； 它的磁矩带一个古怪的因子 g≈2g\approx2——同样的角动量， 自旋产生的磁矩是轨道的两倍（5.4 节）。 第 6 章我们又往氢原子里手工塞了三块「相对论补丁」拼出精细结构 （6.6 节）。 每一次都能算对数，每一次都说不出为什么。

这一节一次性清账：以上所有「手工添加」的东西， 全部是 Dirac 方程的自动推论。方法只有一个——把方程放进电磁场， 按 v/cv/c 的幂次逐阶展开。

第零阶惊喜：g = 2

电磁场的接入方式与经典力学、薛定谔理论完全相同（最小耦合）： p⃗^→π⃗^=p⃗^−qA⃗\hat{\vec p}\to\hat{\vec\pi}=\hat{\vec p}-q\vec A，再加上标势能量 qφq\varphi：

iℏ∂ψ∂t=[c α⃗⋅π⃗^+βmc2+qφ]ψ(12.5.1)\ii\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\bigl[c\,\vec\alpha\cdot\hat{\vec\pi}+\beta mc^2+q\varphi\bigr]\psi\tag{12.5.1}

注意：这里没有放进任何磁矩——耦合方式对自旋只字未提。

从 Dirac 方程到 Pauli 方程：g=2 的诞生进阶~12 min

第一步：拆成上下两半。 按 12.3 节的分块结构把四分量旋量写成两个二分量旋量 ψ=(χη)\psi=\begin{pmatrix}\chi\\ \eta\end{pmatrix}，并把主导的静能相位剥掉： ψ→e−imc2t/ℏψ\psi\to\ee^{-\ii mc^2t/\hbar}\psi。代入方程、用 αk,β\alpha_k,\beta 的分块形式， 得到耦合方程组：

iℏ ∂tχ=c σ⃗⋅π⃗^ η+qφ χ(12.5.2)\ii\hbar\,\partial_t\chi=c\,\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi}\,\eta+q\varphi\,\chi\tag{12.5.2}iℏ ∂tη=c σ⃗⋅π⃗^ χ+qφ η−2mc2η(12.5.3)\ii\hbar\,\partial_t\eta=c\,\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi}\,\chi+q\varphi\,\eta-2mc^2\eta\tag{12.5.3}

第二步：认出大小分量。 第二式里 −2mc2η-2mc^2\eta 一家独大：低速时 iℏ∂tη\ii\hbar\partial_t\eta 与 qφηq\varphi\eta（量级 ∼mv2\sim mv^2 的能量乘 η\eta） 都远小于它，于是

η≈σ⃗⋅π⃗^2mc χ  ∼  v2c χ(12.5.4)\eta\approx\frac{\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi}}{2mc}\,\chi \;\sim\;\frac{v}{2c}\,\chi\tag{12.5.4}

η\eta 比 χ\chi 小一个 v/cv/c 因子——称 χ\chi 为大分量（非相对论电子的 Pauli 二分量波函数）、η\eta 为小分量。

第三步：回代。 把 η\eta 代回第一式：

iℏ ∂tχ=[(σ⃗⋅π⃗^)22m+qφ]χ(12.5.5)\ii\hbar\,\partial_t\chi =\left[\frac{(\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi})^2}{2m}+q\varphi\right]\chi\tag{12.5.5}

第四步：全剧最关键的一步代数。 用 Pauli 矩阵恒等式 (σ⃗⋅a⃗)(σ⃗⋅b⃗)=a⃗⋅b⃗+iσ⃗⋅(a⃗×b⃗)(\vec\sigma\cdot\vec a)(\vec\sigma\cdot\vec b)=\vec a\cdot\vec b+\ii\vec\sigma\cdot(\vec a\times\vec b)：

(σ⃗⋅π⃗^)2=π^2+i σ⃗⋅(π⃗^×π⃗^)(12.5.6)(\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi})^2=\hat\pi^2+\ii\,\vec\sigma\cdot(\hat{\vec\pi}\times\hat{\vec\pi})\tag{12.5.6}

普通向量自己叉乘自己是零，但 π⃗^\hat{\vec\pi} 的分量互不对易（p⃗^\hat{\vec p} 与 A⃗(x⃗)\vec A(\vec x) 不对易）！逐分量计算：

(π⃗^×π⃗^)z=π^xπ^y−π^yπ^x=−q([p^x,Ay]+[Ax,p^y])=iℏq(∂Ay∂x−∂Ax∂y)=iℏq Bz(12.5.7)(\hat{\vec\pi}\times\hat{\vec\pi})_z=\hat\pi_x\hat\pi_y-\hat\pi_y\hat\pi_x =-q\bigl([\hat p_x,A_y]+[A_x,\hat p_y]\bigr) =\ii\hbar q\Bigl(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) =\ii\hbar q\,B_z\tag{12.5.7}

三个分量合起来：π⃗^×π⃗^=iℏqB⃗\hat{\vec\pi}\times\hat{\vec\pi}=\ii\hbar q\vec B。代回去：

(σ⃗⋅π⃗^)2=π^2−qℏ σ⃗⋅B⃗(12.5.8)(\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi})^2=\hat\pi^2-q\hbar\,\vec\sigma\cdot\vec B\tag{12.5.8}

第五步：读出 Pauli 方程与 g 因子。

iℏ ∂tχ=[π^22m+qφ−qℏ2m σ⃗⋅B⃗]χ(12.5.9)\ii\hbar\,\partial_t\chi =\left[\frac{\hat\pi^2}{2m}+q\varphi -\frac{q\hbar}{2m}\,\vec\sigma\cdot\vec B\right]\chi\tag{12.5.9}

最后一项是磁矩能 −μ⃗⋅B⃗-\vec\mu\cdot\vec B，其中（用 S⃗^=ℏ2σ⃗\hat{\vec S}=\frac\hbar2\vec\sigma）

μ⃗=qℏ2mσ⃗=2⏟g⋅q2mS⃗^(12.5.10)\vec\mu=\frac{q\hbar}{2m}\vec\sigma=\underbrace{2}_{g}\cdot\frac{q}{2m}\hat{\vec S}\tag{12.5.10}

对比轨道磁矩 μ⃗L=q2mL⃗^\vec\mu_L=\frac{q}{2m}\hat{\vec L}（系数是 q2m\frac{q}{2m}、没有 2）： **自旋磁矩的 g 因子恰好等于 2。**没有任何一步把磁矩放进理论—— 它从 (σ⃗⋅π⃗^)2(\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi})^2 的代数里自己长了出来， 数值与 Stern-Gerlach 和反常塞曼效应的测量一致。 1928 年之前 g=2g=2 是一个纯粹的经验数字；1928 年之后它是一道推导题。

第一阶：精细结构三件套自动到齐

把上面的近似再往前推一阶（对 η\eta 的方程保留 1/c21/c^2 修正， 这套系统展开称为 Foldy-Wouthuysen 变换，代数繁琐但没有新思想）， 氢原子（qφ=V(r)q\varphi=V(r) 为库仑势）的有效哈密顿量多出三项：

H^1/c2=−p^48m3c2⏟相对论动能修正+12m2c21rdVdr S⃗^⋅L⃗^⏟自旋轨道耦合+ℏ28m2c2∇2V⏟Darwin 项(12.5.11)\hat H_{1/c^2} =\underbrace{-\frac{\hat p^4}{8m^3c^2}}_{\text{相对论动能修正}} +\underbrace{\frac{1}{2m^2c^2}\frac1r\frac{\dd V}{\dd r}\,\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}}_{\text{自旋轨道耦合}} +\underbrace{\frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2V}_{\text{Darwin 项}}\tag{12.5.11}

逐项对账，每一项都是 6.6 节的老熟人：

物理图像

当年怎么来的（6.6 节）：

  1. 动能修正：把 p2c2+m2c4\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} 展开到下一阶，手工加进去。
  2. 自旋轨道耦合：电子参考系里核绕电子转、产生磁场作用于自旋磁矩—— 但这样算出的系数大了一倍，还得再手工乘上说不清道不明的 「Thomas 进动因子 1/2」才对上实验。
  3. Darwin 项：当年根本讲不出半经典来源，只能承认「反正得加上」， 解释是电子位置的「颤动」（Zitterbewegung）抹平了它感受到的势。

三块补丁，三种来历，各自为政。

数学形式

现在怎么来的（本节）：

三项从同一个 Dirac 方程的同一次展开中一起出现——

  1. 动能修正：来自能量根号的展开，自动带对系数。
  2. 自旋轨道项：系数天生就带着 Thomas 的 1/2， 因为展开同时包含了磁相互作用与参考系进动两种效应。
  3. Darwin 项：来自大小分量耦合的非局域性，只作用于 ∇2V≠0\nabla^2V\neq0 处——库仑势下即原点，所以只影响 ss 态， 与光谱数据严丝合缝。

合并后的能级只依赖 nn 与总角动量 jj：

Enj=−13.6 eVn2[1+α2n2(nj+1/2−34)](12.5.12)E_{nj}=-\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2} \left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\Bigl(\frac{n}{j+1/2}-\frac34\Bigr)\right]\tag{12.5.12}

与 6.6 节拼出来的公式逐项全同。

本节关键公式

  • Pauli 方程（自动导出）

    iℏ ∂tχ=[(p⃗^−qA⃗)22m+qφ−qℏ2mσ⃗⋅B⃗]χ\ii\hbar\,\partial_t\chi=\Bigl[\frac{(\hat{\vec p}-q\vec A)^2}{2m}+q\varphi-\frac{q\hbar}{2m}\vec\sigma\cdot\vec B\Bigr]\chi

    大分量的非相对论极限；磁矩项无须手加

  • 关键代数

    (σ⃗⋅π⃗^)2=π^2−qℏ σ⃗⋅B⃗(\vec\sigma\cdot\hat{\vec\pi})^2=\hat\pi^2-q\hbar\,\vec\sigma\cdot\vec B

    源于 π×π=iħqB（分量不对易）；g=2 由此而来

  • 精细结构（自动到齐）

    H^1/c2=−p^48m3c2+12m2c21rdVdrS⃗^⋅L⃗^+ℏ28m2c2∇2V\hat H_{1/c^2}=-\frac{\hat p^4}{8m^3c^2}+\frac{1}{2m^2c^2}\frac1r\frac{\dd V}{\dd r}\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}+\frac{\hbar^2}{8m^2c^2}\nabla^2V

    Thomas 1/2 天生带对；Darwin 项只碰 s 态

  • 氢原子能级

    Enj=−13.6 eVn2[1+α2n2(nj+1/2−34)]E_{nj}=-\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}\Bigl[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\Bigl(\frac{n}{j+1/2}-\frac34\Bigr)\Bigr]

    只依赖 n 与 j，与 6.6 节公式全同

自测共 4 题

  1. 1.

    推导中 g=2 的直接来源是哪一步代数？

  2. 2.

    与 6.6 节的手工做法相比，从 Dirac 方程展开得到精细结构的优势是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    实验测得 g=2.00232 而非严格的 2。这个偏差说明：

  4. 4.

    氢原子 n=2 能级中，2p₃/₂ 与 2p₁/₂ 的精细结构劈裂为 ΔE=13.6 eV×α²/16。取 α=1/137.0，求 ΔE（单位 10⁻⁵ eV）。

    ×10⁻⁵ eV允许 20% 相对误差

接下来

数一数这一章欠下的「借条」：KG 的负概率要靠场的电荷解释兑现（12.2）； Dirac 海的无穷背景要靠场的真空重铸抹平（12.4）；g−2g-2 的小尾巴要靠 虚光子涨落计算（本节）；自旋统计定理的证明整个生活在场论里。 每一条线索都指向同一个方向：把「一个粒子的波函数」升级为 「每个时空点都在振动的量子场」，粒子只是场的激发。 **场论的大门已经推开一条缝。**下一章我们不再逐行推导， 而是带着这套完整的量子力学素养，去看一看门缝后面的前沿风景—— 从拓扑物态到黑洞信息，那里的每一个问题，都在使用你已经学会的语言。

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