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13.3

腔量子电动力学与超导量子比特

一段铝膜刻成的 LC 电路，在 20 mK 下变成一个「人造原子」；把它和微波光子关进同一个盒子，量子光学的整套剧本在芯片上重演。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 解释 LC 电路为什么可以量子化、为什么必须降到 20 mK 才看得到量子性
  • 说出约瑟夫森结提供的非线性为什么是「人造原子」的关键
  • 用 Jaynes–Cummings 模型解释真空 Rabi 劈裂与色散读出的原理

在电路课上，LC 振荡电路是最无聊的元件之一：电荷在电容和电感之间来回荡， 频率 ω=1/LC\omega=1/\sqrt{LC}，讲完就翻页。

但把一段铝膜光刻成微米尺度的电路，放进稀释制冷机降到 20 mK—— 比星际空间还冷一百多倍——这段金属导线会开始表现得像一个原子： 它有分立的能级，能吸收和发射单个微波光子，能被制备到「激发态」， 能处在两个能级的叠加上，甚至会「自发辐射」。 实验者给它起的名字毫不掩饰：人造原子（artificial atom）。

天然原子是自然发牌：能级由氢原子那套物理定死。人造原子是自己发牌： 改一下光刻版图上电容的大小，「原子」的跃迁频率就变了。 这一节讲两件事：金属电路凭什么量子化，以及把人造原子和光子关进 同一个盒子后发生的物理——腔量子电动力学（cavity QED）， 它的电路版叫 circuit QED，是当前超导量子计算机的全部地基。

第一步：LC 电路是一个谐振子——字面意义上的

量子化一段电路，并算出它需要多冷基础~9 min

第一步：认出正则变量。

LC 电路的能量是

E=Q22C+Φ22L(13.3.1)E=\frac{Q^2}{2C}+\frac{\Phi^2}{2L}\tag{13.3.1}

QQ 是电容上的电荷，Φ\Phi 是电感里的磁通。对照谐振子 H=p22m+mω2x22H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{m\omega^2x^2}{2}： Φ\Phi 扮演位置，QQ 扮演动量，CC 扮演质量，1/L1/L 扮演弹簧劲度。 而且电路方程给出 Φ˙=Q/C\dot\Phi=Q/C、Q˙=−Φ/L\dot Q=-\Phi/L——正是哈密顿正则方程。

第二步：正则量子化。

既然结构完全相同，就照 2.9 节 的老办法升级为算符：

[Φ^,Q^]=iℏ⟹H^=ℏω(a^†a^+12),ω=1LC(13.3.2)[\hat\Phi,\hat Q]=\ii\hbar \qquad\Longrightarrow\qquad \hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\right),\quad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\tag{13.3.2}

能级等间距，间隔 ℏω\hbar\omega。注意这里被量子化的不是某个电子， 而是几十亿电子的集体振荡模式——一个宏观自由度。 超导在这里是刚需：电阻会耗散能量、抹掉相干性，必须为零。

第三步：算需要多冷。

典型参数 L∼10 nHL\sim10\ \text{nH}、C∼1 pFC\sim1\ \text{pF} 附近，设计频率取 ω/2π=5 GHz\omega/2\pi=5\ \text{GHz}。 想看到分立能级，热涨落必须远小于能级间隔，即 kBT≪ℏωk_BT\ll\hbar\omega。临界温度

T∗=ℏωkB=6.63×10−34×5×1091.38×10−23≈0.24 K(13.3.3)T^*=\frac{\hbar\omega}{k_B}=\frac{6.63\times10^{-34}\times5\times10^9}{1.38\times10^{-23}} \approx0.24\ \text{K}\tag{13.3.3}

稀释制冷机的 20 mK 比它低一个数量级，热激发概率 e−ℏω/kBT≈e−12∼10−6\ee^{-\hbar\omega/k_BT}\approx\ee^{-12}\sim10^{-6}—— 「盒子」干干净净地处在量子基态。这就是为什么超导量子计算机的照片里 总有一个金光闪闪的吊灯状制冷机：那不是计算机，那是让计算机安静下来的冰箱。

第二步：非线性——为什么需要约瑟夫森结

谐振子有个致命缺点：能级等间距。你想用最低两个能级 ∣0⟩,∣1⟩\ket{0},\ket{1} 当量子比特（9.1 节）， 但驱动 0→10\to1 跃迁的微波同样共振于 1→21\to2、2→32\to3……一驱动就爬梯子爬个没完， 根本圈不住一个二能级系统。

解药是约瑟夫森结：两片超导体夹一层纳米厚的绝缘膜，库珀对靠隧穿 （2.11 节）穿过去。它的能量不再是磁通的平方，而是

EJ(1−cos⁡φ)(13.3.4)E_J(1-\cos\varphi)\tag{13.3.4}

φ\varphi 是结两侧超导相位差（与磁通成正比的变量）。把电感换成约瑟夫森结，哈密顿量变成

H^=4ECn^2−EJcos⁡φ^(13.3.5)\hat H=4E_C\hat n^2-E_J\cos\hat\varphi\tag{13.3.5}

其中 n^\hat n 是穿过结的库珀对数目，EC=e2/2CE_C=e^2/2C 是充电能。 cos⁡φ\cos\varphi 势阱在底部近似抛物线，但越往上越平——能级间距逐级变小。 于是 0→10\to1 与 1→21\to2 的频率错开（典型差 200–300 MHz）， 微波脉冲可以只驱动最低的一对能级：一个真正的人造二能级原子。

这套设计在 EJ/EC∼50E_J/E_C\sim50 的参数区间叫 transmon（2007 年提出）—— 牺牲一点非线性，换取对电荷噪声的极度不敏感，是目前 Google、IBM 等 超导处理器的标准芯片单元。它的相干时间从 2000 年代初的纳秒量级 一路提升到今天的数百微秒：五个数量级的进步，几乎全靠材料与设计的笨功夫。

第三步：把原子和光子关进同一个盒子

腔 QED 的原始问题（Haroche 与 Wineland 因此获 2012 年诺贝尔奖）： 一个原子和单个光子能发生多强的相互作用？把光子关在两面镜子之间的驻波腔里， 让它反复扫过原子，答案是：强到足以让「原子 + 光子」变成不可拆分的整体。

电路版：transmon 旁边放一段微波谐振腔（还是 LC 振子），二者电容耦合。 在共振附近、每次只交换一个激发的近似下，得到量子光学的明星模型——Jaynes–Cummings 模型：

H^=ℏωra^†a^+ℏωq2σ^z+ℏg(a^†σ^−+a^ σ^+)(13.3.6)\hat H=\hbar\omega_r\hat a^\dagger\hat a +\frac{\hbar\omega_q}{2}\hat\sigma_z +\hbar g\left(\hat a^\dagger\hat\sigma_-+\hat a\,\hat\sigma_+\right)\tag{13.3.6}

三项分别是：腔的光子、人造原子、以及「原子放出一个光子/吃进一个光子」的交换项。

真空 Rabi 劈裂。 当 ωq=ωr\omega_q=\omega_r 共振时，∣激发原子,0 光子⟩\ket{\text{激发原子},0\ \text{光子}} 与 ∣基态原子,1 光子⟩\ket{\text{基态原子},1\ \text{光子}} 简并，交换项把它们混成对称/反对称组合， 能量劈开 2ℏg2\hbar g——和 7.2 节 的简并微扰完全同一套数学。实验上扫描探测频率会看到两个峰： 单个光子和单个（人造）原子已经杂化成半光半物质的新粒子（极化激元）。 2004 年 circuit QED 首次在芯片上看到这对峰，宣告电路进入了量子光学的领地。

色散读出。 把频率拉开（失谐 Δ=ωq−ωr≫g\Delta=\omega_q-\omega_r\gg g），二阶微扰给出

H^eff≈ℏ(ωr+χσ^z)a^†a^,χ=g2Δ(13.3.7)\hat H_{\text{eff}}\approx\hbar\left(\omega_r+\chi\hat\sigma_z\right)\hat a^\dagger\hat a, \qquad \chi=\frac{g^2}{\Delta}\tag{13.3.7}

读法：腔的频率随量子比特的状态移动 ±χ\pm\chi。朝腔里打一束微波、看反射相位， 就知道比特是 ∣0⟩\ket{0} 还是 ∣1⟩\ket{1}——全程不直接触碰比特本身。 这是 3.8 节 里「量子非破坏测量」思想的工程实现， 也是今天所有超导处理器读出比特的标准方式。

本节关键公式

  • LC 量子化

    H^=ℏω(a^†a^+12),ω=1LC\hat H=\hbar\omega\big(\hat a^\dagger\hat a+\tfrac12\big),\quad \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}

    磁通/电荷是共轭对；量子性要求 k_BT ≪ ħω，5 GHz 对应 0.24 K

  • transmon 哈密顿量

    H^=4ECn^2−EJcos⁡φ^\hat H=4E_C\hat n^2-E_J\cos\hat\varphi

    约瑟夫森 cos 势提供非线性，能级不等距才能圈出二能级比特

  • Jaynes–Cummings 模型

    H^=ℏωra^†a^+ℏωq2σ^z+ℏg(a^†σ^−+a^σ^+)\hat H=\hbar\omega_r\hat a^\dagger\hat a+\frac{\hbar\omega_q}{2}\hat\sigma_z+\hbar g(\hat a^\dagger\hat\sigma_-+\hat a\hat\sigma_+)

    共振时真空 Rabi 劈裂 2ħg——单光子与单原子杂化

  • 色散读出

    H^eff≈ℏ(ωr+χσ^z)a^†a^,χ=g2Δ\hat H_{\text{eff}}\approx\hbar(\omega_r+\chi\hat\sigma_z)\hat a^\dagger\hat a,\quad \chi=\frac{g^2}{\Delta}

    腔频随比特状态移动——测腔不碰比特

自测共 3 题

  1. 1.

    纯 LC 电路（无约瑟夫森结）为什么不能直接当量子比特用？

  2. 2.

    一个 5 GHz 的超导量子比特，热涨落与能级间隔相当的温度 T* = ħω/k_B 是多少开尔文？（h = 6.626×10⁻³⁴ J·s，k_B = 1.381×10⁻²³ J/K）

    K允许 3% 相对误差
  3. 3.

    共振（ω_q = ω_r）时实验观察到透射谱从一个峰劈裂成间隔 2g 的两个峰。这说明了什么？

接下来

我们已经有了两种「人造量子系统」：光晶格里的百万原子，芯片上的人造原子阵列。 造它们不只是为了造计算机——下一节回到 Feynman 在 1981 年提出的原始问题： 为什么模拟量子系统必须用量子系统？

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