传播子

上一节立了纲领：从 $a$ 到 $b$ 的振幅是所有路径的 $\ee^{\ii S/\hbar}$ 之和。 但「对所有路径求和」还只是一句话——路径有不可数无穷多条，怎么加？ 这一节我们把这个和真的算出来，对象是最简单的体系：自由粒子（$V=0$）。

先给这个「从 $a$ 到 $b$ 的振幅」起个正式名字。

传播子是什么

传播子 $K(x_b,t_b;x_a,t_a)$ 定义为：粒子 $t_a$ 时刻确定在 $x_a$ 处， $t_b$ 时刻在 $x_b$ 处被找到的概率振幅。用第 3 章的语言写就是演化算符的矩阵元：

$$K(x_b,t_b;x_a,t_a)=\bra{x_b}\ee^{-\ii\hat H(t_b-t_a)/\hbar}\ket{x_a}\tag{11.2.1}$$

它为什么值得单独起名？因为知道了 $K$ 就知道了一切演化。 任意初态 $\Psi(x_a,t_a)$ 是各位置本征态的叠加，每个成分独立传播，所以

$$\Psi(x_b,t_b)=\int K(x_b,t_b;x_a,t_a)\,\Psi(x_a,t_a)\,\dd x_a\tag{11.2.2}$$

传播子是薛定谔方程的「万能解」：解一次 $K$，任何初条件的解都是一次积分的事。 （数学上这正是格林函数的角色：$K$ 满足薛定谔方程，初条件是 $K\to\delta(x_b-x_a)$ 当 $t_b\to t_a$——一开始粒子就在 $x_a$，别处振幅为零。）

$K$ 还有一条「拼接」性质，直接继承自路径的可拼接性： 先从 $a$ 到中间点 $c$、再从 $c$ 到 $b$，对所有中间点求和，等于直接从 $a$ 到 $b$：

$$K(b,a)=\int K(b,c)\,K(c,a)\,\dd x_c\tag{11.2.3}$$

这条性质马上就要大显身手——它允许我们把长时间的传播切成许多小段。

把路径积分定义清楚：时间切片

自由粒子：把积分算到底

自由粒子传播子的完整推导进阶~12 min展开

$V=0$，要算的是一串嵌套的高斯型积分。全程只用一个工具——高斯积分公式 （对复参数 $\alpha$ 同样成立，理解为解析延拓）：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{\ii\alpha u^2}\dd u=\sqrt{\frac{\pi\ii}{\alpha}}\tag{11.2.7}$$

第一步：单步传播子。 一小段 $\varepsilon$ 内只有直线一条「路径」可言，振幅是

$$K_\varepsilon(x_{j+1},x_j)=\frac1A\exp\!\left[\frac{\ii m(x_{j+1}-x_j)^2}{2\hbar\varepsilon}\right]\tag{11.2.8}$$

第二步：拼接两步。 用拼接公式把两段 $\varepsilon$ 合成一段 $2\varepsilon$， 对中间点 $x_1$ 积分：

$$K_{2\varepsilon}(x_2,x_0)=\frac1{A^2}\int\dd x_1\, \exp\!\left[\frac{\ii m}{2\hbar\varepsilon}\bigl[(x_2-x_1)^2+(x_1-x_0)^2\bigr]\right]\tag{11.2.9}$$

把指数里的二次式对 $x_1$ 配方：

$$(x_2-x_1)^2+(x_1-x_0)^2=2\Bigl(x_1-\frac{x_0+x_2}{2}\Bigr)^2+\frac{(x_2-x_0)^2}{2}\tag{11.2.10}$$

第二项与 $x_1$ 无关，提出去；第一项用高斯公式积掉 （令 $u=x_1-\frac{x_0+x_2}2$，$\alpha=\frac{m}{\hbar\varepsilon}$）：

$$K_{2\varepsilon}(x_2,x_0)=\frac1{A^2}\sqrt{\frac{\pi\ii\hbar\varepsilon}{m}}\, \exp\!\left[\frac{\ii m(x_2-x_0)^2}{2\hbar(2\varepsilon)}\right]\tag{11.2.11}$$

关键观察：结果和单步传播子形状完全一样，只是 $\varepsilon\to2\varepsilon$。 若取 $A=\sqrt{2\pi\ii\hbar\varepsilon/m}$，系数恰好整理成 $\sqrt{m/2\pi\ii\hbar(2\varepsilon)}$——归一化常数就是这样被「自洽」定下来的。

第三步：归纳到 N 步。 每积掉一个中间点，传播子保持同一形状、时间加一段。 $N$ 步之后（$N\varepsilon=t$，记 $t=t_b-t_a$、$x=x_b-x_a$）：

$$\boxed{\;K(x_b,t_b;x_a,t_a)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\ii\hbar t}}\, \exp\!\left[\frac{\ii m(x_b-x_a)^2}{2\hbar t}\right]\;}\tag{11.2.12}$$

$N\to\infty$ 的极限是平庸的——形状根本不随 $N$ 变。

第四步：检验。

• $t\to0$ 时，指数振荡无限快、系数发散，这正是 $\delta(x_b-x_a)$ 的一种表示。初条件对。
• 代回薛定谔方程 $\ii\hbar\partial_t K=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{x_b}^2K$，两边逐项对得上（动手验一次，五行）。

和波包扩散对账

传播子要是算对了，就必须重现我们已经知道的物理。 2.10 节用动量叠加法算过： 初始宽度 $\sigma_0$ 的自由高斯波包会扩散，宽度随时间增长。现在用 $K$ 再算一遍。

取初态为中心在原点的高斯波包 $\Psi(x_a,0)\propto\ee^{-x_a^2/4\sigma_0^2}$，代入演化公式：

$$\Psi(x,t)=\int K(x,t;x_a,0)\,\Psi(x_a,0)\,\dd x_a \;\propto\;\int\dd x_a\exp\!\left[\frac{\ii m(x-x_a)^2}{2\hbar t}-\frac{x_a^2}{4\sigma_0^2}\right]\tag{11.2.14}$$

指数仍是 $x_a$ 的二次式——又是一个高斯积分，配方后积掉，整理得

$$|\Psi(x,t)|^2\propto\exp\!\left[-\frac{x^2}{2\sigma(t)^2}\right],\qquad \sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Bigr)^2}\tag{11.2.15}$$

与 2.10 节的结果一字不差：展宽时间 $\tau=2m\sigma_0^2/\hbar$，越窄的波包散得越快。 两种语言、同一个物理——这是等价性的第一次实物对账。

∎本节关键公式

• 传播子定义

  $$K(b,a)=\bra{x_b}\ee^{-\ii\hat H(t_b-t_a)/\hbar}\ket{x_a}$$

  演化算符的位置表象矩阵元；t_b→t_a 时趋于 δ(x_b−x_a)

• 演化万能公式

  $$\Psi(x_b,t_b)=\int K(b,a)\,\Psi(x_a,t_a)\,\dd x_a$$

  解一次 K，任何初条件都只剩一次积分

• 拼接性质

  $$K(b,a)=\int K(b,c)\,K(c,a)\,\dd x_c$$

  时间切片法的根据；也叫 Chapman-Kolmogorov 关系

• 自由粒子传播子

  $$K=\sqrt{\frac{m}{2\pi\ii\hbar t}}\,\ee^{\ii m(x_b-x_a)^2/2\hbar t}$$

  相位 = 经典作用量 m(Δx)²/2t；二次拉氏量的普遍特征

?自测共 4 题

1. 1.

   传播子 K(b,a) 的物理意义是：

   • 粒子 t_a 时刻位于 x_a 的条件下，t_b 时刻在 x_b 处被找到的概率振幅
   • 粒子从 x_a 走到 x_b 的概率
   • 粒子沿经典路径从 a 到 b 的振幅
   • 位置 x_a 与 x_b 处波函数的关联函数

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2. 2.

   自由粒子传播子 K ∝ e^{iS_cl/ħ}，相位恰好是经典作用量。这个「恰好」成立的条件是：

   • 拉格朗日量是坐标与速度的二次式
   • 任何势场下都精确成立
   • 只在 ħ→0 的极限下成立
   • 只对 V=0 成立

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3. 3.

   关于时间切片定义 ∫𝒟x(t)，正确的说法是：（多选）

   多选题

   • 一条离散路径由各切片时刻的位置 x₁,…,x_{N−1} 指定，对它们做 N−1 重积分
   • 归一化常数 A=√(2πiħε/m) 由拼接自洽性定出
   • 只有可导的光滑路径参与求和
   • 拼接性质 K(b,a)=∫K(b,c)K(c,a)dx_c 是切片法成立的根据

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4. 4.

   初始宽度 σ₀=1.0 nm 的电子高斯波包，展宽时间 τ=2mσ₀²/ħ 是多少飞秒？（m=9.11×10⁻³¹ kg，ħ=1.055×10⁻³⁴ J·s）

   fs允许 150% 相对误差

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接下来

我们已经从路径积分一侧算出了具体结果，并验证它满足薛定谔方程。 但「验证一个例子」不等于「证明两种表述等价」。下一节做一件更彻底的事： 从短时间切片出发，推导出薛定谔方程本身——让第 2 章的出发点变成路径积分的定理。