量子力学阶梯

第 02 章

波函数与薛定谔方程

量子力学的第一套可计算工具：波函数、本征值问题与一维精确解。

小节: 11
已定稿: 11/11
交互模拟: 7
预计用时: 4 小时
建议先读: 第 01 章

从 2.1 波函数的概率诠释开始 →

公式速查

基本方程

含时薛定谔方程出处
$\ii\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat H\,\Psi(x,t)$
量子力学的运动方程，一阶时间导数
定态薛定谔方程出处
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}+V(x)\psi=E\psi$
本征值问题；解出 E 与 ψ
哈密顿算符出处
$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x),\qquad \hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
定态的时间演化出处
$\Psi(x,t)=\psi(x)\,\ee^{-\ii Et/\hbar}$
只多一个整体相位，|Ψ|² 不随时间变

概率与期望值

Born 规则出处
$P(a\le x\le b)=\int_a^b|\Psi(x,t)|^2\,\dd x$
归一化条件出处
$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x=1$
概率流密度出处
$j=\frac{\hbar}{2m\ii}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right)$
满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
期望值出处
$\langle \hat A\rangle=\int \Psi^*\hat A\,\Psi\,\dd x$
不确定性原理出处
$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$
Ehrenfest 定理出处
$\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\frac{\langle p\rangle}{m},\qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
期望值遵守牛顿方程

一维精确解

无限深势阱出处
$\psi_n=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$
谐振子能级出处
$E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots$
谐振子基态出处
$\psi_0=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$
升降算符出处
$\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp \ii\hat p+m\omega\hat x),\qquad [\hat a_-,\hat a_+]=1$
高斯波包出处
$\Psi(x,0)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}\ee^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}\ee^{\ii k_0x}$
自由粒子色散关系出处
$\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{\dd\omega}{\dd k}=\frac{\hbar k}{m}$
群速度是相速度的两倍
矩形势垒透射率（E < V₀）出处
$T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
厚垒近似出处
$T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\ee^{-2\kappa a}$
κa ≫ 1 时用；指数因子是主导项

常数与换算

约化普朗克常数
$\hbar=1.054\,571\times10^{-34}\ \text{J·s}=6.582\times10^{-16}\ \text{eV·s}$
电子质量
$m_e=9.109\times10^{-31}\ \text{kg}=511\ \text{keV}/c^2$
玻尔半径
$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=0.529\ \text{Å}$
氢原子基态能
$E_1=-13.606\ \text{eV}$
精细结构常数
$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}$
常用换算
$\hbar c=197.3\ \text{eV·nm},\qquad k_BT\big|_{300\text{K}}=25.9\ \text{meV}$