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3.1

从波函数到态矢量

ψ(x) 并不是态本身，它只是态在某一组基下的一列分量。认出这一点，整章的其余部分都会变得顺理成章。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明 Ψ(x) 与 φ(k) 为何是同一个态的两组分量
  • 把「函数」类比成无穷维矢量，并说清这个类比在哪一步成立
  • 区分「态」与「表象」，并指出表象的选择为什么是自由的

第 2 章结尾留了三个没交代的问题：为什么可观测量对应算符？测量到底发生了什么？∣cn∣2|c_n|^2 凭什么是概率？

回答它们需要换一套语言。这一节先说明为什么非换不可。

一条已经出现过的线索

2.10 节里我们用两个函数描述同一个自由粒子：

Ψ(x)与ϕ(k)=12π∫Ψ(x)e−ikxdx(3.1.1)\Psi(x)\quad\text{与}\quad \phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\Psi(x)\ee^{-\ii kx}\dd x\tag{3.1.1}

两者携带完全相同的信息：知道其一就能算出另一个，归一化在两边都成立（Parseval 定理）。

有限维的类比

先退到一个你已经熟悉的情形。

物理图像

三维空间里的一个箭头。 在直角坐标系里它是 (3,4,0)(3,4,0)，把坐标系绕 zz 轴转 53°53°，同一个箭头变成 (5,0,0)(5,0,0)。

三个数变了，箭头没变。长度 ∣v⃗∣=5|\vec v|=5 也没变。

「(3,4,0)(3,4,0)」不是矢量，它是矢量在某组基下的分量。矢量本身是那个几何对象。

数学形式

v⃗=∑i=13vi e^i,vi=e^i⋅v⃗(3.1.2)\vec v=\sum_{i=1}^{3}v_i\,\hat e_i,\qquad v_i=\hat e_i\cdot\vec v\tag{3.1.2}

换一组基 {e^i′}\{\hat e_i'\}，分量变成 vi′=e^i′⋅v⃗v_i'=\hat e_i'\cdot\vec v，但

v⃗=∑ivie^i=∑ivi′e^i′(3.1.3)\vec v=\sum_i v_i\hat e_i=\sum_i v_i'\hat e_i'\tag{3.1.3}

同一个 v⃗\vec v，两套账。

现在把这幅图搬到量子力学上：

Ψ(x)⏟位置基下的分量ϕ(k)⏟动量基下的分量cn⏟能量基下的分量(3.1.4)\underbrace{\Psi(x)}_{\text{位置基下的分量}} \qquad \underbrace{\phi(k)}_{\text{动量基下的分量}} \qquad \underbrace{c_n}_{\text{能量基下的分量}}\tag{3.1.4}

三组数，同一个态。

能量基：分量变成一列数

位置基和动量基都是连续的，指标取遍实轴。但束缚态问题里有一组更方便的基。

2.7 节里我们把任意初态展开成本征态：

Ψ(x)=∑n=1∞cnψn(x),cn=∫ψn∗(x)Ψ(x) dx(3.1.8)\Psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x),\qquad c_n=\int\psi_n^*(x)\Psi(x)\,\dd x\tag{3.1.8}

对照矢量的展开式 v⃗=∑ivie^i\vec v=\sum_i v_i\hat e_i、vi=e^i⋅v⃗v_i=\hat e_i\cdot\vec v——形式完全一样。

所以在能量基下，同一个态的分量是一列数 (c1,c2,c3,… )(c_1,c_2,c_3,\dots)。

物理图像

三套分量，一个态

基分量指标
位置 {∣x⟩}\{\ket{x}\}Ψ(x)\Psi(x)连续
动量 {∣p⟩}\{\ket{p}\}ϕ(k)\phi(k)连续
能量 {∣n⟩}\{\ket{n}\}cnc_n离散

哪一套都不比另一套更「真实」。选哪个只看当前问题里哪个算起来省事：解束缚态用能量基，算自由传播用动量基，画概率分布用位置基。

数学形式

归一化在三套账里长得一样

∫∣Ψ(x)∣2dx=∫∣ϕ(k)∣2dk=∑n∣cn∣2=1(3.1.9)\int|\Psi(x)|^2\dd x=\int|\phi(k)|^2\dd k=\sum_n|c_n|^2=1\tag{3.1.9}

这不是巧合：它们都是同一句话——态矢量的长度是 1——在不同基下的写法。

矢量的长度与坐标系无关，所以三个式子必然同时成立。

本节关键公式

  • 分量 ↔ 函数值

    vi ⟷ Ψ(x)v_i\ \longleftrightarrow\ \Psi(x)

    把 x 读成连续指标

  • 求和 ↔ 积分

    ∑i ⟷ ∫dx\sum_i\ \longleftrightarrow\ \int\dd x

    第 2 章的积分全部是内积

  • 内积

    u⃗⋅v⃗=∑iui∗vi ⟷ ∫Φ∗Ψ dx\vec u\cdot\vec v=\sum_i u_i^*v_i\ \longleftrightarrow\ \int\Phi^*\Psi\,\dd x

    归一化 = 长度为 1

  • 同一个态的三套分量

    ∫∣Ψ∣2dx=∫∣ϕ∣2dk=∑n∣cn∣2=1\int|\Psi|^2\dd x=\int|\phi|^2\dd k=\sum_n|c_n|^2=1

    长度与基的选择无关

自测共 3 题

  1. 1.

    Ψ(x) 与 φ(k) 的关系，最准确的说法是：

  2. 2.

    把函数看成无穷维矢量时，下列哪组对应是正确的？（多选）

    多选题

  3. 3.

    为什么说「选哪个表象是自由的」？

接下来

既然要长期使用「矢量、基、分量、内积」这套说法，就需要一套配套的记号——最好写起来比 ∫Φ∗(x)Ψ(x)dx\int\Phi^*(x)\Psi(x)\dd x 短得多。

狄拉克设计的那套记号，是物理学里最成功的记号发明之一。

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