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1.5

de Broglie 波粒二象性

一篇被导师看不懂的博士论文，一个只有一行的公式。它把玻尔那条凭空的规定变成了一句几乎显然的话。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 由 λ = h/p 计算电子、原子与宏观物体的德布罗意波长
  • 用驻波条件重新导出玻尔的角动量量子化
  • 说明戴维孙-革末实验如何证实了电子的波动性
  • 解释为什么宏观物体的波动性观测不到

上一节结束在一个未解的问题上：玻尔的 L=nℏL=n\hbar 凭什么？

1923 年，31 岁的德布罗意在博士论文里给了一个答案。这篇论文只有几十页，核心是一行公式。

一次对称性的推想

德布罗意的出发点是一个观察上的不对称。

物理图像

光：过去两百年一直被当成波（干涉、衍射摆在那里）。1905 年爱因斯坦说它同时是粒子。

那么，过去两百年一直被当成粒子的电子，会不会同时也是波？

这个推想在当时几乎没有任何实验依据。德布罗意后来说，他是被光的双重身份「刺激」到的：如果自然界喜欢对称，那这件事不该只发生在光身上。

数学形式

对光子，把爱因斯坦的 E=hνE=h\nu 与相对论的 E=pcE=pc 合起来：

p=Ec=hνc=hλ(1.5.1)p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\tag{1.5.1}

德布罗意的一步是：把这个关系反过来用在有质量的粒子上。

 λ=hp (1.5.2)\boxed{\ \lambda=\frac{h}{p}\ }\tag{1.5.2}

任何动量为 pp 的粒子都伴随一个波长为 h/ph/p 的波。

玻尔的规定变成了驻波条件

这才是德布罗意这一行公式的第一次真正兑现。

2πr=nλ=nhp=nhmv(1.5.3)2\pi r=n\lambda=n\frac{h}{p}=n\frac{h}{mv}\tag{1.5.3}

整理一下：

mvr=nh2π=nℏ(1.5.4)mvr=\frac{nh}{2\pi}=n\hbar\tag{1.5.4}

这正是玻尔的角动量量子化条件。

那为什么我们看不见电子的波？

因为 hh 太小了。这一节最值得亲手算的就是下面这几个数。

算一算：三个物体的德布罗意波长基础~6 min

用 λ=h/p\lambda=h/p，h=6.626×10−34 J⋅sh=6.626\times10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}。

1. 一个 100 eV 的电子（电子显微镜里的典型能量）

非相对论下 p=2mEp=\sqrt{2mE}，用 pc=2mc2Epc=\sqrt{2mc^2E} 算更方便：

pc=2×511000×100 eV=1.01×104 eV(1.5.5)pc=\sqrt{2\times511000\times100}\ \text{eV}=1.01\times10^4\ \text{eV}\tag{1.5.5}λ=hcpc=1240 eV⋅nm1.01×104 eV=0.123 nm=1.23 A˚(1.5.6)\lambda=\frac{hc}{pc}=\frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{1.01\times10^4\ \text{eV}}=0.123\ \text{nm}=1.23\ \text{Å}\tag{1.5.6}

这个尺度正好是晶体里的原子间距。 所以电子打到晶体上会像 X 射线一样发生衍射——这不是巧合，而是下面那个实验能成功的原因。

2. 室温下的氦原子（m=4×1.66×10−27m=4\times1.66\times10^{-27} kg，T=300T=300 K）

热运动动量 p≈3mkBTp\approx\sqrt{3mk_BT}，算得 λ≈0.7 A˚\lambda\approx0.7\ \text{Å}。同样在原子尺度——所以冷原子实验里能做出物质波干涉。

3. 一个走路的人（m=70m=70 kg，v=1v=1 m/s）

λ=6.626×10−3470×1≈9×10−36 m(1.5.7)\lambda=\frac{6.626\times10^{-34}}{70\times1}\approx9\times10^{-36}\ \text{m}\tag{1.5.7}

对比一下：质子的半径是 10−1510^{-15} m，比这个大二十个数量级。

结论：波动性并没有在宏观物体上消失，它只是波长小到没有任何东西能拿来做衍射光栅。你要观察一个人的衍射，需要一道宽度为 10−3510^{-35} 米的门缝。

实验验证：一次实验事故

核对：戴维孙-革末的那个峰在哪进阶~5 min

实验条件：加速电压 54 V，镍晶面间距 d=0.091d=0.091 nm，观测到强峰在散射角 50°50°。

先算波长：

pc=2×511000×54 eV=7430 eV⟹λ=12407430=0.167 nm(1.5.8)pc=\sqrt{2\times511000\times54}\ \text{eV}=7430\ \text{eV} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1240}{7430}=0.167\ \text{nm}\tag{1.5.8}

再看衍射条件。对表面原子列的掠射衍射，加强条件是

Dsin⁡θ=nλ(1.5.9)D\sin\theta=n\lambda\tag{1.5.9}

其中 D=0.215D=0.215 nm 是镍表面的原子列间距，θ=50°\theta=50°：

Dsin⁡θ=0.215×0.766=0.165 nm(1.5.10)D\sin\theta=0.215\times0.766=0.165\ \text{nm}\tag{1.5.10}

与 λ=0.167\lambda=0.167 nm 相差约 1%。

一个从纯粹理论推想写下的公式，在一次实验事故里被确认到 1%。

本节关键公式

  • 德布罗意关系

    λ=hp\lambda=\frac{h}{p}

    对任何粒子都成立；p 大则波长短

  • 非相对论电子波长

    λ=hc2mc2E=1.226 nmE/eV\lambda=\frac{hc}{\sqrt{2mc^2E}}=\frac{1.226\ \text{nm}}{\sqrt{E/\text{eV}}}

    100 eV 电子约 0.12 nm，正好是原子间距

  • 驻波条件 → 玻尔量子化

    2πr=nλ ⟹ mvr=nℏ2\pi r=n\lambda\ \Longrightarrow\ mvr=n\hbar

    把一条凭空的规定变成了「波要接上自己」

  • 布拉格衍射条件

    Dsin⁡θ=nλD\sin\theta=n\lambda

    戴维孙-革末据此验证了电子波长

自测共 4 题

  1. 1.

    德布罗意关系如何解释玻尔的角动量量子化条件？

  2. 2.

    为什么我们在日常生活中观察不到宏观物体的波动性？

  3. 3.

    戴维孙-革末实验中，那个决定性的尖锐衍射峰是怎么出现的？

  4. 4.

    一个被 150 V 电压加速的电子，德布罗意波长是多少 nm？（用 λ = 1.226 nm/√(E/eV)）

    nm允许 10% 相对误差

接下来

现在两边的证据都齐了：光会一个一个地打出电子，电子会像波一样衍射。

有一个实验能把这两件事同时摆在同一张图上，逼你直面它们之间的张力。费曼说它「包含了量子力学的唯一奥秘」。

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