量子力学阶梯

3D 实验室

16 个模块、12 个 3D 场景。每个场景都在你的浏览器里实时求解—— 波函数、能级、透射率、Bell 关联都是当场算出来的，拖动参数立刻重算，不是预渲染的动画。

第一次来？先看模块 00：如何使用这个平台，两分钟。

00无场景核心
如何使用这个平台
三分钟学会操作 3D 场景，并理解为什么这里要求你「先看、再算」。
◆ 每一个模块的骨架：一句话目标 → 3D 场景 → 观察指南 → 常见误解 → 思考题
011 ◆核心
波粒二象性与双缝
亲眼看着粒子一个一个打在屏上，累积出一道谁也没预先画好的干涉条纹。
◆ 屏上前几十个亮点毫无规律，几百个之后条纹自己浮现出来
021 ◆扩展
波函数与概率诠释
让「ψ 是复数、|ψ|² 才是概率密度」这句话从一句口诀变成一幅你能转着看的画面。
◆ ψ 是一条在复平面里扭动的曲线，实部和虚部只是它在两个方向上的影子
031 ◆核心
一维束缚态：势阱与谐振子
看懂「能级」是从哪冒出来的，以及为什么定态明明在转、却被称为「静止」。
◆ 蓝色的 ψ 管随时间在复平面里转动，而紫色的 |ψ|² 幕布纹丝不动
041 ◆核心
隧道效应与散射
看着一个波包撞上它「翻不过去」的墙，然后有一部分出现在了另一侧。
◆ 经典小球原路弹回，量子波包却分成反射与透射两部分
052 ◆核心
自旋与 Bloch 球
把「自旋态」从一堆复数变成一个可以用手拖动、可以看见它进动与塌缩的几何对象。
◆ 一个球面，上面每一个点都是一个纯态；拖动它，读数里的 |ψ⟩ 同步改变
061 ◆核心
角动量与氢原子轨道
真正看见 1s、2p、3d 长什么样，并搞清楚 n、l、m 各自控制画面里的哪一部分。
◆ 概率云一点一点显影出来——每个点都是一次位置测量的可能结果
072 ◆扩展
测量、叠加与坍缩的直觉
把「叠加」和「不知道是哪个」这两件根本不同的事，一次分清楚。
◆ 同一个态，换一个测量基，确定的结果变成五五开——「叠加」是相对于基说的
081 ◆扩展
纠缠与 Bell 非定域性
亲手把「测量前结果就已经定好了」这个假设，用实验数据推翻。
◆ 两个粒子各自看都是完全随机的，合起来看却严格相关
091 ◆扩展
时间演化与能量本征态
弄清一件事：本征态什么都不发生，叠加态才会动，而它动的频率就是能级差。
◆ 单个本征态：管子在转，概率密度一动不动
101 ◆补充
全同粒子与交换对称性
看见「交换两个粒子」这个纯粹的形式操作，如何把两个粒子推开或者拉到一起。
◆ 交换两个全同粒子的位置，波函数要么原样返回（玻色子）要么变号（费米子）
11无场景补充
近似方法的物理图像
搞清楚微扰、变分、WKB 三种手法各自在「改动什么」，以及它们什么时候会失效。
◆ 微扰前后的能级与波函数对比：小改动如何逐阶累积
121 ◆扩展
开放系统与退相干
回答一个具体的问题：为什么宏观世界看起来是经典的。
◆ Bloch 矢量从球面往球心缩——纯态变成混合态的全过程
131 ◆补充
路径积分的直观认识
建立「所有路径都在贡献」的图像，并看着经典路径从干涉中自己浮现出来。
◆ 成百上千条歪歪扭扭的路径同时连接起点与终点，每条带一个相位
14无场景补充
前沿选讲
给出几条从这里继续往前走的路，以及它们各自需要先补什么。
◆ 每个方向的一句话核心图像，以及它在本平台哪些模块之上
99无场景补充
附录：数学工具与符号约定
把全站用到的记号、单位与数学工具集中在一处，随用随查。
◆ 全站统一的符号表与单位约定

想要完整的推导与习题？

3D 模块负责建立物理图像，教材部分负责把它算清楚。每个模块页面底部都有对应章节的直达链接，也可以直接从侧栏的「教材」进入。

公式速查

基本方程

含时薛定谔方程出处
$\ii\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat H\,\Psi(x,t)$
量子力学的运动方程，一阶时间导数
定态薛定谔方程出处
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}+V(x)\psi=E\psi$
本征值问题；解出 E 与 ψ
哈密顿算符出处
$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x),\qquad \hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
定态的时间演化出处
$\Psi(x,t)=\psi(x)\,\ee^{-\ii Et/\hbar}$
只多一个整体相位，|Ψ|² 不随时间变

概率与期望值

Born 规则出处
$P(a\le x\le b)=\int_a^b|\Psi(x,t)|^2\,\dd x$
归一化条件出处
$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x=1$
概率流密度出处
$j=\frac{\hbar}{2m\ii}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right)$
满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
期望值出处
$\langle \hat A\rangle=\int \Psi^*\hat A\,\Psi\,\dd x$
不确定性原理出处
$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$
Ehrenfest 定理出处
$\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\frac{\langle p\rangle}{m},\qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
期望值遵守牛顿方程

一维精确解

无限深势阱出处
$\psi_n=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$
谐振子能级出处
$E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots$
谐振子基态出处
$\psi_0=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$
升降算符出处
$\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp \ii\hat p+m\omega\hat x),\qquad [\hat a_-,\hat a_+]=1$
高斯波包出处
$\Psi(x,0)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}\ee^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}\ee^{\ii k_0x}$
自由粒子色散关系出处
$\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{\dd\omega}{\dd k}=\frac{\hbar k}{m}$
群速度是相速度的两倍
矩形势垒透射率（E < V₀）出处
$T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
厚垒近似出处
$T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\ee^{-2\kappa a}$
κa ≫ 1 时用；指数因子是主导项

常数与换算

约化普朗克常数
$\hbar=1.054\,571\times10^{-34}\ \text{J·s}=6.582\times10^{-16}\ \text{eV·s}$
电子质量
$m_e=9.109\times10^{-31}\ \text{kg}=511\ \text{keV}/c^2$
玻尔半径
$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=0.529\ \text{Å}$
氢原子基态能
$E_1=-13.606\ \text{eV}$
精细结构常数
$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}$
常用换算
$\hbar c=197.3\ \text{eV·nm},\qquad k_BT\big|_{300\text{K}}=25.9\ \text{meV}$