量子力学阶梯

模块 99

附录：数学工具与符号约定

把全站用到的记号、单位与数学工具集中在一处，随用随查。

你将看见什么

全站统一的符号表与单位约定
每个 3D 场景背后的数值方法与它们的误差来源

符号约定

记号	含义
$\ket{\psi}$ 、 $\bra{\psi}$	态矢量与其对偶
$\braket{\phi}{\psi}$	内积（左边取复共轭）
$\hat A$	算符（戴帽）
$\vec r$	Bloch 矢量
$\rho$	密度矩阵
$\psi_{n\ell m}$	氢原子波函数，下标依次为主、角、磁量子数
$a_0$	玻尔半径

单位约定

3D 场景里为了让数值好看，一律采用自然单位：

一维问题： $\hbar = m = 1$ 。能量与长度都是无量纲的，只有比值有意义。
氢原子： $\hbar = m_e = e = 1$ （原子单位）。长度单位是玻尔半径 $a_0 = 0.529$ Å，能量单位是 Hartree $= 27.211$ eV。
自旋： $\hbar/2$ 为单位，泡利矩阵的本征值取 $\pm1$ 。

场景里显示的数字都在这套单位下。要换回国际单位，乘上相应的常数即可。

每个场景背后的数值方法

场景	方法	主要误差来源
Bloch 球	罗德里格斯有限转动	无（模长严格守恒）
氢原子轨道	径向逆 CDF + 角向拒绝采样	蒙特卡洛统计涨落 $\sim 1/\sqrt N$
一维势阱	三点差分 + QL 求本征值 + 反迭代求本征矢	网格离散 $O(\dd x^2)$ ；有限窗口对弱束缚态的挤压
双缝	惠更斯子波直接求和（非远场近似）	子波源数目有限（每缝 11 个）
隧道效应	split-operator，对称分裂	时间步 $O(\dd t^3)$ ；边缘吸收层
路径积分	路径蒙特卡洛采样	采样数；离散时间步

数值方法的完整推导见附录 C。

常用数学工具

线性代数：厄米算符、本征分解、张量积 → 附录 A.1
傅里叶变换：位置-动量对偶、不确定性关系的数学来源 → 附录 A.2
特殊函数：Hermite（谐振子）、Laguerre（氢原子径向）、Legendre 与球谐（角向）→ 附录 A.3

常数速查

常数	值
$\hbar$	$1.0546\times10^{-34}$ J·s $= 6.582\times10^{-16}$ eV·s
$m_e$	$9.109\times10^{-31}$ kg $= 511$ keV/ $c^2$
$a_0$	$5.292\times10^{-11}$ m
Hartree	$27.211$ eV
Rydberg	$13.606$ eV
$k_B$	$8.617\times10^{-5}$ eV/K

完整表格见附录 B，或按快捷键 f 呼出全站公式速查面板。

深入阅读 · 教材对应小节

3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块

公式速查

基本方程

含时薛定谔方程出处
$\ii\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat H\,\Psi(x,t)$
量子力学的运动方程，一阶时间导数
定态薛定谔方程出处
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}+V(x)\psi=E\psi$
本征值问题；解出 E 与 ψ
哈密顿算符出处
$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x),\qquad \hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
定态的时间演化出处
$\Psi(x,t)=\psi(x)\,\ee^{-\ii Et/\hbar}$
只多一个整体相位，|Ψ|² 不随时间变

概率与期望值

Born 规则出处
$P(a\le x\le b)=\int_a^b|\Psi(x,t)|^2\,\dd x$
归一化条件出处
$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x=1$
概率流密度出处
$j=\frac{\hbar}{2m\ii}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\right)$
满足连续性方程 ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0
期望值出处
$\langle \hat A\rangle=\int \Psi^*\hat A\,\Psi\,\dd x$
不确定性原理出处
$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$
Ehrenfest 定理出处
$\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\frac{\langle p\rangle}{m},\qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
期望值遵守牛顿方程

一维精确解

无限深势阱出处
$\psi_n=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$
谐振子能级出处
$E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots$
谐振子基态出处
$\psi_0=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$
升降算符出处
$\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp \ii\hat p+m\omega\hat x),\qquad [\hat a_-,\hat a_+]=1$
高斯波包出处
$\Psi(x,0)=(2\pi\sigma^2)^{-1/4}\ee^{-(x-x_0)^2/4\sigma^2}\ee^{\ii k_0x}$
自由粒子色散关系出处
$\omega(k)=\frac{\hbar k^2}{2m},\qquad v_g=\frac{\dd\omega}{\dd k}=\frac{\hbar k}{m}$
群速度是相速度的两倍
矩形势垒透射率（E < V₀）出处
$T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$
厚垒近似出处
$T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\ee^{-2\kappa a}$
κa ≫ 1 时用；指数因子是主导项

常数与换算

约化普朗克常数
$\hbar=1.054\,571\times10^{-34}\ \text{J·s}=6.582\times10^{-16}\ \text{eV·s}$
电子质量
$m_e=9.109\times10^{-31}\ \text{kg}=511\ \text{keV}/c^2$
玻尔半径
$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=0.529\ \text{Å}$
氢原子基态能
$E_1=-13.606\ \text{eV}$
精细结构常数
$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}$
常用换算
$\hbar c=197.3\ \text{eV·nm},\qquad k_BT\big|_{300\text{K}}=25.9\ \text{meV}$