2.9 谐振子 · 量子力学阶梯

V(x)=\frac12 m\omega^2x^2\tag{2.9.1}

为什么是抛物线

任何势 $V(x)$ 在其极小值 $x_0$ 附近展开：

V(x)=V(x_0)+\underbrace{V'(x_0)}_{=0}(x-x_0)+\frac12V''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\tag{2.9.2}

一次项在极小值处为零，常数项可以把能量零点吸收掉。 剩下的领头项永远是二次的。 令 $m\omega^2\equiv V''(x_0)$ 就得到谐振子。

所以只要研究「小振动」，你就在做谐振子：双原子分子的振动谱、晶格中的声子、电磁场的每个模式、LC 电路、超导量子比特的近似…… 名单可以一直列下去。

升降算符法

硬解微分方程（级数法 + Hermite 多项式）当然可行，但代数方法更快也更有启发性。

推导：从对易关系到全部能级进阶~12 min

第一步：因式分解哈密顿量。

\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac12m\omega^2\hat x^2\tag{2.9.3}

如果 $\hat p$ 和 $\hat x$ 是普通数，我们可以写 $p^2+(m\omega x)^2=(m\omega x-\ii p)(m\omega x+\ii p)$ 。算符不对易，这个分解会差一点——差的正是对易子。定义

\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\mp\ii\hat p+m\omega\hat x\right)\tag{2.9.4}

第二步：算对易子。 用 $[\hat x,\hat p]=\ii\hbar$ ：

\hat a_-\hat a_+=\frac{1}{2\hbar m\omega}\left(\hat p^2+(m\omega\hat x)^2-\ii m\omega[\hat x,\hat p]\right) =\frac{\hat H}{\hbar\omega}+\frac12\tag{2.9.5}

同理 $\hat a_+\hat a_-=\frac{\hat H}{\hbar\omega}-\frac12$ 。两式相减：

[\hat a_-,\hat a_+]=1\tag{2.9.6}

而且

\hat H=\hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\frac12\right)\tag{2.9.7}

第三步：证明它们升降能量。 设 $\hat H\psi=E\psi$ 。考察 $\hat a_+\psi$ ：

\hat H(\hat a_+\psi)=\hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\tfrac12\right)\hat a_+\psi\tag{2.9.8}

用 $\hat a_-\hat a_+=\hat a_+\hat a_-+1$ 把 $\hat a_+$ 挪到最左边：

=\hbar\omega\,\hat a_+\left(\hat a_-\hat a_++\tfrac12\right)\psi =\hat a_+\left[\hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\tfrac12\right)+\hbar\omega\right]\psi =(E+\hbar\omega)(\hat a_+\psi)\tag{2.9.9}

所以 $\hat a_+\psi$ 也是本征态，能量高出 $\hbar\omega$ 。同理 $\hat a_-\psi$ 的能量低 $\hbar\omega$ 。 这就是「升降算符」的由来。

第四步：阶梯必须有底。 反复用 $\hat a_-$ 可以不断降低能量。但能量有下界：

E=\langle\hat H\rangle=\frac{\langle\hat p^2\rangle}{2m}+\frac12m\omega^2\langle\hat x^2\rangle>0\tag{2.9.10}

（两项都是非负算符的期望值，且不能同时为零。）矛盾的唯一出路是存在一个基态 $\psi_0$ 满足

\hat a_-\psi_0=0\tag{2.9.11}

第五步：解出基态。 这是一阶微分方程，比原来的二阶方程好解得多：

\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\hbar\frac{\dd}{\dd x}+m\omega x\right)\psi_0=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\dd\psi_0}{\psi_0}=-\frac{m\omega}{\hbar}x\,\dd x\tag{2.9.12}

\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}\tag{2.9.13}

（系数由归一化定出。）基态是高斯函数——这一点在下一节会再次变得重要。

第六步：基态能量。 由 $\hat H=\hbar\omega(\hat a_+\hat a_-+\frac12)$ 且 $\hat a_-\psi_0=0$ ：

E_0=\frac12\hbar\omega\tag{2.9.14}

第七步：全部能级。 从底往上爬：

\psi_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat a_+\right)^n\psi_0,\qquad E_n=\left(n+\frac12\right)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,\dots\tag{2.9.15}

整个求解过程只用了对易关系 $[\hat x,\hat p]=\ii\hbar$ ， 一次都没有真正解那个二阶微分方程。

物理图像

能级等间距。 这是谐振子独有的特征。无限深势阱的间距随 $n$ 增大，氢原子的间距随 $n$ 减小，只有谐振子恒为 $\hbar\omega$ 。

后果：谐振子的光谱是一条线（所有相邻跃迁频率相同）。真实分子的振动谱有多条线，正说明势阱不是严格的抛物线—— 非谐性（anharmonicity）是分子光谱学的重要信息来源。

零点能。 $E_0=\hbar\omega/2\ne0$ 。即使在绝对零度，振子也在「颤」。这不是理论上的装饰：液氦在常压下永不凝固，就是因为零点运动足够剧烈； Casimir 力也来自真空中电磁场模式的零点能。

数学形式

E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega\tag{2.9.16}

\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n(\xi)\,\ee^{-\xi^2/2}\tag{2.9.17}

其中 $\xi=\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$ ， $H_n$ 是 Hermite 多项式：

H_0=1,\quad H_1=2\xi,\quad H_2=4\xi^2-2,\quad H_3=8\xi^3-12\xi\tag{2.9.18}

递推关系 $H_{n+1}=2\xi H_n-2nH_{n-1}$ —— 本站模拟就是用它来求值的（见附录 C）。

看一眼

一维谐振子

等间距能级、零点能、渗进经典禁区的尾巴，以及唯一一种「像经典粒子」的量子态。单位取 ħ = m = 1。

Eₙ = (n+½)ħω: 0.500
能级间距 ħω: 1.00
经典转折点 ±A: ±1.00
零点能 E₀: 0.500

角频率 ω1.00

势阱变陡 → 能级间距 ħω 变大，波函数被压窄

量子数 n0

节点数 = n = 0

视图

显示 ψ

试试看

在「能级阶梯」下把 n 拉到 8：能级之间永远等距 ħω。这是谐振子独有的——回头看无限深势阱，那里的间距是越往上越大的。
把 ω 调小到 0.4，注意基态能 E₀ = ħω/2 变小但绝不为零。想让 E₀ = 0 就得让粒子精确停在 x = 0 且 p = 0，ΔxΔp ≥ ħ/2 不允许。
切到「单个本征态」+ 显示 ψ，看 n = 0 的曲线在两条虚线（经典转折点）之外并没有归零——粒子有确定的概率出现在经典能量禁止的区域。这就是隧道效应的同一个根源。
显示 |ψ|² 并打开「对照经典分布」，把 n 从 0 加到 20：量子概率密度的振荡包络越来越贴合经典曲线（两端概率大，因为经典粒子在转折点最慢）。
切到「相干态」播放：波包整体来回振荡、形状不变、周期恰好是经典周期 T = 2π/ω。这是薛定谔 1926 年就找出来的「最像经典粒子」的量子态，也是激光的理论描述。

这里是一个交互模拟（harmonic-oscillator），需要启用 JavaScript 才能运行。正文的推导与结论不依赖它，可以继续往下读。

三个视图各回答一个问题：

能级阶梯：能级间距是不是真的相等？（拖 $n$ ，看横线的间隔）
单个本征态：波函数在经典转折点之外还有多少？（看两条虚线外的尾巴）
相干态：有没有哪个量子态真的像经典粒子那样运动？（播放）

尾巴：渗入经典禁区

经典粒子在能量 $E_n$ 下只能到达转折点 $x_n=\sqrt{2E_n}/\omega\sqrt{m}$ 。量子波函数在那之外按 $\ee^{-\xi^2/2}$ 衰减，不为零。

算一下：基态跑到经典禁区的概率进阶~5 min

基态 $E_0=\hbar\omega/2$ ，转折点由 $\frac12m\omega^2x_0^2=\frac12\hbar\omega$ 给出：

x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\quad\Longleftrightarrow\quad \xi_0=1\tag{2.9.19}

（用无量纲坐标 $\xi=\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$ ，转折点正好在 $\xi=\pm1$ 。）

P_{\text{禁区}}=2\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt\pi}\ee^{-\xi^2}\dd\xi =1-\operatorname{erf}(1)=1-0.8427=0.157\tag{2.9.20}

约 15.7%。这可不是小数目——基态粒子有六分之一的机会被发现在经典上不可能到达的地方。

激发态呢？ $n$ 越大这个比例越小（ $n=10$ 时约 5%），因为经典允许区变宽而尾巴的衰减长度不变。又一次，量子效应随 $n$ 增大而相对减弱——对应原理。

「粒子借了能量跑出去」是错的说法

常见的解释是：粒子从真空「借」了能量 $\Delta E$ ，在 $\Delta t\sim\hbar/\Delta E$ 内跑出去再还回来。

这个说法用了「能时不确定关系」，但 $\Delta t$ 在量子力学里并不是一个算符对应的可观测量，这条关系的含义与 $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ 完全不同，不能这样类比。

更干净的说法是：在经典禁区里发现粒子这件事，本身无法与「测到它有确定的负动能」相区分。一旦你把粒子定位在 $\Delta x\lesssim1/\kappa$ 的禁区里，不确定性原理立刻给它 $\Delta p\gtrsim\hbar\kappa$ 的动量涨落，对应的动能足以补上势能差。换句话说，「测到负动能」这个矛盾场景根本无法被实验构造出来。

本节关键公式

升降算符
$\hat a_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\mp\ii\hat p+m\omega\hat x\right),\qquad[\hat a_-,\hat a_+]=1$
全部结构都藏在这条对易关系里
哈密顿量
$\hat H=\hbar\omega\left(\hat a_+\hat a_-+\tfrac12\right)$
â₊â₋ 是粒子数算符 n̂
能级
$E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\dots$
等间距；零点能 ħω/2 不可去除
基态
$\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\ee^{-m\omega x^2/2\hbar}$
高斯函数——同时也是最小不确定性态
一般本征态
$\psi_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat a_+)^n\psi_0\propto H_n(\xi)\,\ee^{-\xi^2/2}$
ξ = √(mω/ħ)·x，Hₙ 为 Hermite 多项式

自测共 4 题

接下来

到目前为止我们处理的都是束缚态：粒子被关住，能谱离散。下一节放开手——让粒子自由，看看会发生什么。答案有点出人意料。

谐振子

建议先掌握

学完本节你应该能

为什么是抛物线

升降算符法

物理图像

数学形式

看一眼

一维谐振子

尾巴：渗入经典禁区

本节关键公式

自测共 4 题

接下来

为什么是抛物线

升降算符法

◑物理图像

∑数学形式

看一眼

尾巴：渗入经典禁区

∎本节关键公式

接下来

物理图像

数学形式

本节关键公式