跳到正文
EN

10.4

Lindblad 主方程

把量子信道切成无穷小的时间薄片，得到开放体系的运动方程。用它完整解出阻尼二能级原子，读出 T₁、T₂ 和那条著名的不等式 T₂ ≤ 2T₁。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说出 Lindblad 方程每一项的物理含义，以及它与冯·诺依曼方程的关系
  • 用大白话解释 Born-Markov 近似假设了什么、什么时候失效
  • 完整解出阻尼二能级原子，从解中读出 T₁ 与 T₂
  • 解释 T₂ ≤ 2T₁ 的来源：丢能量必然连带丢相位，反之不然

上一节的量子信道回答了「一次演化能对 ρ^\hat\rho 做什么」。 但它是一张快照：进一个态、出一个态，时间被压扁在映射里。

实验室里的问题却是连续的。

现象开门：两个时间常数

拷问一个超导量子比特，标准流程是两个实验。

实验一：把它激发到 ∣1⟩\ket{1}，等时间 tt，测它还在不在 ∣1⟩\ket{1}。 结果是干净的指数衰减，P1(t)=e−t/T1P_1(t)=\ee^{-t/T_1}。这个 T1T_1 叫能量弛豫时间。

实验二：把它制备到叠加态 12(∣0⟩+∣1⟩)\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0}+\ket{1})，等时间 tt， 再测它的干涉条纹（Ramsey 实验）。条纹的对比度也指数衰减，时间常数记作 T2T_2， 叫相干时间。

两个实验、两个常数，而且实验上总是发现 T2≤2T1T_2\le2T_1——从没有例外。 第 3 章的冯·诺依曼方程 iℏ dρ^/dt=[H^,ρ^]\ii\hbar\,\dd\hat\rho/\dd t=[\hat H,\hat\rho] 解释不了任何一条： 它是幺正的，纯度不变，什么都不衰减。 上一节的信道能描述衰减，却是离散的一锤子买卖，给不出「每微秒发生什么」。

我们需要的是：一个微分方程，它的每一小步都是合法的量子信道。

从信道到方程：需要一个额外假设

把演化切成时间薄片：ρ^(t+dt)=Edt(ρ^(t))\hat\rho(t+\dd t)=\mathcal{E}_{\dd t}\big(\hat\rho(t)\big)。 想让这句话成为微分方程，藏着一个不小的假设—— Edt\mathcal{E}_{\dd t} 必须只依赖当前的 ρ^(t)\hat\rho(t)，不依赖历史。

这就是马尔可夫近似（Markov approximation）。用大白话说：环境失忆。 体系泄露给环境的信息（那个跑掉的光子、传走的声子）一去不返， 环境不会把它还回来，也不会记着旧账在之后报复。 成立的条件是环境「大而快」：自身的关联时间远短于体系的弛豫时间， 每个瞬间体系面对的都是一个「洗干净了的」环境。 再加上体系与环境耦合足够弱（可作微扰处理，即 Born 近似）， 合称 Born–Markov 近似——这是本节唯一的近似，也是唯一可能失效的地方。

在这两条假设下，问「保持密度矩阵三条性质的最一般马尔可夫方程长什么样」， 答案是一个定理（Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad，1976；我们陈述而不严格推导）：

  dρ^dt=−iℏ[H^,ρ^]+∑kγk(L^kρ^L^k†−12{L^k†L^k,ρ^})  (10.4.1)\boxed{\; \frac{\dd\hat\rho}{\dd t} =-\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat\rho] +\sum_k\gamma_k\Big(\hat L_k\hat\rho\hat L_k^\dagger -\tfrac12\big\{\hat L_k^\dagger\hat L_k,\hat\rho\big\}\Big) \;}\tag{10.4.1}

物理图像

逐项读

  • 第一项：老朋友，冯·诺依曼方程。关掉环境（γk=0\gamma_k=0）就退回孤立体系。
  • L^k\hat L_k：跳跃算符，环境对体系干的第 kk 种事（吸走一个光子、踢一下相位……），速率 γk≥0\gamma_k\ge0。
  • L^kρ^L^k†\hat L_k\hat\rho\hat L_k^\dagger：「跳跃真的发生了」的分支——认出来了吗？这就是上一节的 Kraus 三明治。
  • 花括号是反对易子 {A^,B^}=A^B^+B^A^\{\hat A,\hat B\}=\hat A\hat B+\hat B\hat A：「跳跃没发生」的分支对态的修正。没消息也是消息（上一节幅度阻尼的 E^0\hat E_0），这一项负责把总概率配平。

数学形式

结构上的检查

保迹：对耗散项取迹，用轮换不变性，

Tr⁡(L^ρ^L^†)=Tr⁡(L^†L^ρ^)(10.4.2)\operatorname{Tr}\big(\hat L\hat\rho\hat L^\dagger\big) =\operatorname{Tr}\big(\hat L^\dagger\hat L\hat\rho\big)\tag{10.4.2}

恰好与反对易子项的迹 Tr⁡(L^†L^ρ^)\operatorname{Tr}(\hat L^\dagger\hat L\hat\rho) 抵消—— 系数 12\tfrac12 和反对易子的形状正是为此设计的。

厄米性：逐项验证共轭后不变。半正定：每个薄片 ρ^→ρ^+dt (⋯ )\hat\rho\to\hat\rho+\dd t\,(\cdots) 都可写成 Kraus 形式 （E^0≈1^−iH^dt/ℏ−12∑kγkL^k†L^kdt\hat E_0\approx\hat 1-\ii\hat H\dd t/\hbar-\tfrac12\sum_k\gamma_k\hat L_k^\dagger\hat L_k\dd t， E^k=γkdt L^k\hat E_k=\sqrt{\gamma_k\dd t}\,\hat L_k），所以是合法信道。

完整算例：阻尼二能级原子

一个二能级原子（∣0⟩\ket{0} 基态、∣1⟩\ket{1} 激发态，能隙 ℏω0\hbar\omega_0） 泡在真空里，会自发辐射。环境干的事只有一件：把原子从 ∣1⟩\ket{1} 拽到 ∣0⟩\ket{0}。 跳跃算符就是降算符

L^=σ^−=∣0⟩⟨1∣,速率 γ(10.4.3)\hat L=\hat\sigma_-=\ket{0}\bra{1},\qquad \text{速率}\ \gamma\tag{10.4.3}
解阻尼原子：从方程到 T₁、T₂基础~9 min

第一步：写出矩阵元方程。 取 H^=ℏω0∣1⟩⟨1∣\hat H=\hbar\omega_0\ket{1}\bra{1}，逐项计算。

跳跃项：σ^−ρ^ σ^+=∣0⟩⟨1∣ρ^∣1⟩⟨0∣=ρ11∣0⟩⟨0∣\hat\sigma_-\hat\rho\,\hat\sigma_+=\ket{0}\bra{1}\hat\rho\ket{1}\bra{0}=\rho_{11}\ket{0}\bra{0} ——把激发态布居搬到基态。

反对易子项：σ^+σ^−=∣1⟩⟨1∣\hat\sigma_+\hat\sigma_-=\ket{1}\bra{1}，所以

12{∣1⟩⟨1∣,ρ^}=(012ρ0112ρ10ρ11)(10.4.4)\tfrac12\{\ket{1}\bra{1},\hat\rho\} =\begin{pmatrix}0&\tfrac12\rho_{01}\\ \tfrac12\rho_{10}&\rho_{11}\end{pmatrix}\tag{10.4.4}

哈密顿量项只给非对角元一个转动相位 +iω0ρ01+\ii\omega_0\rho_{01}。合起来，四个矩阵元的方程：

ρ˙11=−γρ11,ρ˙00=+γρ11,ρ˙01=(iω0−γ2)ρ01(10.4.5)\dot\rho_{11}=-\gamma\rho_{11},\qquad \dot\rho_{00}=+\gamma\rho_{11},\qquad \dot\rho_{01}=\Big(\ii\omega_0-\frac{\gamma}{2}\Big)\rho_{01}\tag{10.4.5}

（ρ10=ρ01∗\rho_{10}=\rho_{01}^* 不必单独解。）注意方程已经解耦——直接积分。

第二步：解读布居。

ρ11(t)=ρ11(0) e−γt⟹T1=1γ(10.4.6)\rho_{11}(t)=\rho_{11}(0)\,\ee^{-\gamma t} \qquad\Longrightarrow\qquad T_1=\frac{1}{\gamma}\tag{10.4.6}

激发态指数衰减，正是「实验一」看到的曲线。ρ00\rho_{00} 相应增长，总迹守恒。

第三步：解读相干项。

ρ01(t)=ρ01(0) eiω0t e−γt/2⟹T2=2γ=2T1(10.4.7)\rho_{01}(t)=\rho_{01}(0)\,\ee^{\ii\omega_0t}\,\ee^{-\gamma t/2} \qquad\Longrightarrow\qquad T_2=\frac{2}{\gamma}=2T_1\tag{10.4.7}

相干项一边以 ω0\omega_0 转动（Ramsey 条纹本身），一边以 γ/2\gamma/2 衰减（条纹对比度下降）。

为什么衰减率恰好是一半？ ρ11∝∣c1∣2\rho_{11}\propto|c_1|^2 是振幅的平方， 而 ρ01∝c0c1∗\rho_{01}\propto c_0c_1^* 只含振幅的一次方——振幅以 γ/2\gamma/2 衰减， 平方自然以 γ\gamma 衰减。上一节幅度阻尼里 1−γ1-\gamma 与 1−γ\sqrt{1-\gamma} 的关系， 在这里以微分形式重现。

第四步：加上纯退相位，得到一般关系。 真实环境除了吸能量，还会只踢相位： 低频噪声让 ω0\omega_0 随机抖动，能量一点不丢，相位记不住。这对应第二个跳跃算符 L^′=σ^z\hat L'=\hat\sigma_z、速率 γφ/2\gamma_\varphi/2。由 σ^z2=1^\hat\sigma_z^2=\hat 1， 这个耗散项化简为 γφ2(σ^zρ^σ^z−ρ^)\tfrac{\gamma_\varphi}{2}(\hat\sigma_z\hat\rho\hat\sigma_z-\hat\rho)： 对角元完全不动，非对角元多衰减一份 γφ\gamma_\varphi。于是

1T2=γ2+γφ=12T1+1Tφ(10.4.8)\frac{1}{T_2}=\frac{\gamma}{2}+\gamma_\varphi=\frac{1}{2T_1}+\frac{1}{T_\varphi}\tag{10.4.8}

Tφ≡1/γφT_\varphi\equiv1/\gamma_\varphi 叫纯退相位时间。由 γφ≥0\gamma_\varphi\ge0 立得

T2≤2T1(10.4.9)T_2\le 2T_1\tag{10.4.9}

丢能量必然连带丢相干（哪怕环境只干这一件事，T2T_2 也顶多 2T12T_1）， 而丢相干可以不丢任何能量。 相位是更娇贵的东西——这句话就是整个退相干故事的预告。

本节关键公式

  • Lindblad 方程

    dρ^dt=−iℏ[H^,ρ^]+∑kγk(L^kρ^L^k†−12{L^k†L^k,ρ^})\frac{\dd\hat\rho}{\dd t}=-\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat\rho]+\sum_k\gamma_k\Big(\hat L_k\hat\rho\hat L_k^\dagger-\tfrac12\{\hat L_k^\dagger\hat L_k,\hat\rho\}\Big)

    保持密度矩阵三条性质的最一般马尔可夫方程

  • 阻尼原子的解

    ρ11(t)=ρ11(0)e−γt,ρ01(t)=ρ01(0)eiω0t−γt/2\rho_{11}(t)=\rho_{11}(0)\ee^{-\gamma t},\quad \rho_{01}(t)=\rho_{01}(0)\ee^{\ii\omega_0 t-\gamma t/2}

    布居衰减率 γ，相干衰减率 γ/2——振幅与振幅平方之差

  • 两个时间常数

    T1=1γ,1T2=12T1+1TφT_1=\frac1\gamma,\qquad \frac{1}{T_2}=\frac{1}{2T_1}+\frac{1}{T_\varphi}

    T₁ 能量弛豫；T₂ 相干时间；T_φ 纯退相位

  • 著名不等式

    T2≤2T1T_2\le 2T_1

    丢能量必丢相干，丢相干可不丢能量；等号 = 无纯退相位

自测共 4 题

  1. 1.

    Lindblad 方程里反对易子项 −½{L†L, ρ} 的物理作用是：

  2. 2.

    阻尼原子只有自发辐射（跳跃算符 σ₋，速率 γ）时，为什么相干项的衰减率是布居的一半？

  3. 3.

    某量子比特 T₁ = 30 μs，纯退相位时间 T_φ = 60 μs。求 T₂（单位 μs）。

    μs允许 100% 相对误差
  4. 4.

    关于 T₂ ≤ 2T₁，正确的是：（多选）

    多选题

接下来

方程已经会解了，但最重要的物理问题还悬着：环境凭什么专挑相干项下手？ 为什么被抹掉的偏偏是 ∣0⟩+∣1⟩\ket{0}+\ket{1} 之间的相位，而不是别的什么？ 是谁规定了「优选」的基？

下一节回到最初的问题——薛定谔的猫为什么见不到——给退相干一个物理图像， 并且算出几个惊人的数字。

全站第 78 / 106 节 · 用 ← → 翻页