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3.8

测量与投影公设

一条公设，几十年争论。先把它说了什么、没说什么分清楚，再看争论究竟卡在哪。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用投影算符写出测量概率与测后态，包括简并的情形
  • 说明连续测量的可重复性，以及它为什么要求投影
  • 指出测量问题的确切位置，并区分几种诠释各自放弃了什么
  • 说明退相干解决了什么、没解决什么

上一节把测量公设摆了出来。这一节把它拆开看。

公设说了什么

设可观测量 A^\hat A 的谱分解为 A^=∑nanP^n\hat A=\sum_n a_n\hat P_n，其中 P^n\hat P_n 是到本征值 ana_n 对应本征子空间的投影算符。

物理图像

两件事，一次发生

（1）结果与概率

P(an)=⟨ψ∣P^n∣ψ⟩=∥P^n∣ψ⟩∥2(3.8.1)P(a_n)=\bra{\psi}\hat P_n\ket{\psi}=\big\|\hat P_n\ket{\psi}\big\|^2\tag{3.8.1}

非简并时 P^n=∣an⟩⟨an∣\hat P_n=\ket{a_n}\bra{a_n}，退回熟悉的 P=∣⟨an|ψ⟩∣2P=|\braket{a_n}{\psi}|^2。

（2）测后态

∣ψ′⟩=P^n∣ψ⟩∥P^n∣ψ⟩∥(3.8.2)\ket{\psi'}=\frac{\hat P_n\ket{\psi}}{\big\|\hat P_n\ket{\psi}\big\|}\tag{3.8.2}

分母只是重新归一化。

数学形式

概率之和自动为 1

∑nP(an)=⟨ψ∣(∑nP^n)∣ψ⟩=⟨ψ|ψ⟩=1(3.8.3)\sum_n P(a_n)=\bra{\psi}\Big(\sum_n\hat P_n\Big)\ket{\psi}=\braket{\psi}{\psi}=1\tag{3.8.3}

用到了完备性 ∑nP^n=1^\sum_n\hat P_n=\hat 1。

这不是巧合，而是3.5 节谱定理的直接后果——概率归一是「可观测量必须厄米」的赠品。

亲手看一次

一维无限深势阱

拖动宽度 L 与量子数 n，看能量、波形与概率分布怎么一起变。单位取 ħ = m = 1。

能量 Eₙ (n=1)
4.935
相对 E₁(L=1)
1.00 ×
⟨x⟩ / L
0.500
Δx / L
0.180
1.00

缩小盒子，所有能级一起被顶上去：E ∝ 1/L²

1

节点数 = n − 1 = 0（不含两端）

状态

试试看

  • 把 L 从 2.5 拖到 0.6，盯住能级图上那条虚线（固定在 E₁(L=1) 的参考能量）：它会一路沉到图的底部，也就是说所有能级都远远升到了它上面。读数区的「相对 E₁(L=1)」会从 0.16 涨到 2.78 ——「把粒子关得越紧，它的动能越大」，这就是 ΔxΔp ≥ ħ/2 的一个直接后果。
  • 在定态下改变 n，注意 |ψ|² 始终不随时间变化（曲线是静止的）；切到叠加态并播放，|ψ|² 立刻开始左右晃。「定态」定的就是这件事。
  • 叠加态里只留 c₁（其余拖到 0），播放——概率密度又不动了。单个本征态无论怎么演化都只是整体乘一个相位 e^(−iEₙt/ħ)，观测量看不见它。
  • 让 n 取 10 以上再看 |ψ|²：条纹密到接近均匀分布，正是经典粒子在盒子里「哪儿都可能」的图像——对应原理在这里现身。

把模式切到「叠加态」，让 c1c_1 与 c2c_2 都非零。按公设三，此时测能量：

  • 得到 E1E_1 的概率是 ∣c1∣2|c_1|^2，得到 E2E_2 的概率是 ∣c2∣2|c_2|^2；
  • 一旦测得 E1E_1，态立刻变成纯粹的 ψ1\psi_1——概率密度不再摆动。

这正是模拟里「把 c2c_2 拖到 0」所做的事。区别在于：你是用手拖的，而测量是随机发生的，只是发生之后结果一样。

公设没有说什么

这一段可能是整节最重要的。

测量问题的确切位置

物理图像

把仪器也当量子体系

设待测体系初态 ∣ψ⟩=c1∣a1⟩+c2∣a2⟩\ket{\psi}=c_1\ket{a_1}+c_2\ket{a_2}，仪器初态 ∣M0⟩\ket{M_0}。

按公设四（幺正演化），合适的相互作用给出

∣ψ⟩∣M0⟩⟶c1∣a1⟩∣M1⟩+c2∣a2⟩∣M2⟩(3.8.5)\ket{\psi}\ket{M_0}\longrightarrow c_1\ket{a_1}\ket{M_1}+c_2\ket{a_2}\ket{M_2}\tag{3.8.5}

仪器忠实地记录下了结果——但它记录的是一个叠加。

薛定谔方程给出的是「指针同时指向两个读数」。而我们从未见过这种事。

数学形式

缝在哪里

c1∣a1⟩∣M1⟩+c2∣a2⟩∣M2⟩⏟公设四给出的(3.8.6)\underbrace{c_1\ket{a_1}\ket{M_1}+c_2\ket{a_2}\ket{M_2}}_{\text{公设四给出的}}\tag{3.8.6}↓ ?(3.8.7)\Big\downarrow\ ?\tag{3.8.7}∣a1⟩∣M1⟩ 或 ∣a2⟩∣M2⟩⏟我们看到的(3.8.8)\underbrace{\ket{a_1}\ket{M_1}\ \text{或}\ \ket{a_2}\ket{M_2}}_{\text{我们看到的}}\tag{3.8.8}

这一步不可能由公设四给出：幺正演化是线性的，它把叠加变成叠加，绝不会挑出一项。

薛定谔的猫就是把仪器换成猫的同一个论证。

本节关键公式

  • 测量概率（含简并）

    P(an)=⟨ψ∣P^n∣ψ⟩=∥P^n∣ψ⟩∥2P(a_n)=\bra{\psi}\hat P_n\ket{\psi}=\|\hat P_n\ket{\psi}\|^2

    非简并时退回 |⟨aₙ|ψ⟩|²

  • 测后态

    ∣ψ′⟩=P^n∣ψ⟩/∥P^n∣ψ⟩∥\ket{\psi'}=\hat P_n\ket{\psi}/\|\hat P_n\ket{\psi}\|

    分母只是重新归一化

  • 概率归一

    ∑nP(an)=⟨ψ∣1^∣ψ⟩=1\sum_n P(a_n)=\bra{\psi}\hat 1\ket{\psi}=1

    谱定理的赠品

  • 可重复性

    P(an 再次)=1P(a_n\ \text{再次})=1

    仅当 [Â,Ĥ]=0 时可以一直保持

  • 测量问题的位置

    c1∣a1⟩∣M1⟩+c2∣a2⟩∣M2⟩ ↛ 单一项c_1\ket{a_1}\ket{M_1}+c_2\ket{a_2}\ket{M_2}\ \not\to\ \text{单一项}

    线性演化无法挑出一项

自测共 4 题

  1. 1.

    投影公设中「测后态变成本征态」这一步，其最直接的实验依据是：

  2. 2.

    关于「测后态会一直保持为本征态」，正确的是：

  3. 3.

    测量问题的确切内容是：

  4. 4.

    关于退相干，正确的说法是：（多选）

    多选题

接下来

测量是理论里唯一不幺正的一步。剩下的时间里，态都按公设四演化。

下一节把这条演化写成一个算符，并介绍一件很实用的事：把时间依赖放在态上还是放在算符上，是可以自由选择的。

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