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2.11

势垒贯穿与隧道效应

粒子穿过它能量上过不去的墙。这不是理论奇观——α 衰变、扫描隧道显微镜、闪存都靠它。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用分区匹配法导出矩形势垒的透射系数
  • 用厚垒近似做数量级估算，并说明 T 对宽度的指数敏感性
  • 解释为什么 E > V₀ 时仍有反射，以及共振透射的条件
  • 举出三个依赖隧道效应的真实技术或现象
V(x)={V0,0<x<a0,其他(V0>0)V(x)=\begin{cases}V_0,&0<x<a\\0,&\text{其他}\end{cases}\qquad(V_0>0)

一个能量为 E<V0E<V_0 的粒子从左边射来。经典力学的答案是：撞墙，弹回， 透射概率严格为零。

量子力学的答案不是零。

分区求解

推导：矩形势垒的透射系数进阶~12 min

三个区域的通解（取 E<V0E<V_0）：

ψI=Aeikx+Be−ikx(x<0),k=2mEℏ(2.11.1)\psi_\text{I}=A\ee^{\ii kx}+B\ee^{-\ii kx}\quad(x<0),\qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{2.11.1}ψII=Ceκx+De−κx(0<x<a),κ=2m(V0−E)ℏ(2.11.2)\psi_\text{II}=C\ee^{\kappa x}+D\ee^{-\kappa x}\quad(0<x<a),\qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}\tag{2.11.2}ψIII=Feikx(x>a)(2.11.3)\psi_\text{III}=F\ee^{\ii kx}\quad(x>a)\tag{2.11.3}

AA 是入射波，BB 是反射波，FF 是透射波。区域 III 没有 e−ikx\ee^{-\ii kx} 项， 因为右边没有波源——这是唯一用到物理设定的地方，其余全是数学。

连接条件。 VV 有限，ψ\psi 与 ψ′\psi' 在 x=0x=0 和 x=ax=a 都连续，得四个方程：

A+B=C+D(2.11.4)A+B=C+D\tag{2.11.4}ik(A−B)=κ(C−D)(2.11.5)\ii k(A-B)=\kappa(C-D)\tag{2.11.5}Ceκa+De−κa=Feika(2.11.6)C\ee^{\kappa a}+D\ee^{-\kappa a}=F\ee^{\ii ka}\tag{2.11.6}κ(Ceκa−De−κa)=ikFeika(2.11.7)\kappa\left(C\ee^{\kappa a}-D\ee^{-\kappa a}\right)=\ii kF\ee^{\ii ka}\tag{2.11.7}

四个方程、四个比值（B/AB/A、C/AC/A、D/AD/A、F/AF/A），可解。

消元。 由后两式解出 C,DC,D：

Ceκa=Feika2(1+ikκ),De−κa=Feika2(1−ikκ)(2.11.8)C\ee^{\kappa a}=\frac{F\ee^{\ii ka}}{2}\left(1+\frac{\ii k}{\kappa}\right),\qquad D\ee^{-\kappa a}=\frac{F\ee^{\ii ka}}{2}\left(1-\frac{\ii k}{\kappa}\right)\tag{2.11.8}

代入前两式消去 BB（把第一式乘 ik\ii k 与第二式相加）：

2ikA=(ik+κ)C+(ik−κ)D(2.11.9)2\ii kA=(\ii k+\kappa)C+(\ii k-\kappa)D\tag{2.11.9}

把 C,DC,D 代入并整理，得

AF=eika[cosh⁡κa+i2(κk−kκ)sinh⁡κa](2.11.10)\frac{A}{F}=\ee^{\ii ka}\left[\cosh\kappa a+\frac{\ii}{2}\left(\frac{\kappa}{k}-\frac{k}{\kappa}\right)\sinh\kappa a\right]\tag{2.11.10}

透射系数 T=∣F/A∣2T=|F/A|^2：

T−1=cosh⁡2κa+14(κk−kκ)2sinh⁡2κa(2.11.11)T^{-1}=\cosh^2\kappa a+\frac14\left(\frac{\kappa}{k}-\frac{k}{\kappa}\right)^2\sinh^2\kappa a\tag{2.11.11}

用 cosh⁡2=1+sinh⁡2\cosh^2=1+\sinh^2 并把 k,κk,\kappa 换回 E,V0E,V_0（代数化简后）：

 T=[1+V02sinh⁡2(κa)4E(V0−E)]−1 (2.11.12)\boxed{\ T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}\ }\tag{2.11.12}

厚垒近似

κa≫1\kappa a\gg1 时 sinh⁡κa≈12eκa\sinh\kappa a\approx\frac12\ee^{\kappa a}，于是

T≈16E(V0−E)V02 e−2κa(2.11.13)T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\,\ee^{-2\kappa a}\tag{2.11.13}
数量级：三个真实例子基础~6 min

1. 扫描隧道显微镜。 金属功函数 ϕ≈4\phi\approx4 eV，针尖-样品间隙 a≈5a\approx5 Å：

κ=2mϕℏ=2×511000×4197.3 nm−1=10.2 nm−1(2.11.15)\kappa=\frac{\sqrt{2m\phi}}{\hbar}=\frac{\sqrt{2\times511000\times4}}{197.3}\ \text{nm}^{-1}=10.2\ \text{nm}^{-1}\tag{2.11.15}2κa=2×10.2×0.5=10.2⟹e−10.2≈3.7×10−5(2.11.16)2\kappa a=2\times10.2\times0.5=10.2\quad\Longrightarrow\quad \ee^{-10.2}\approx3.7\times10^{-5}\tag{2.11.16}

透射概率约 10−410^{-4}–10−510^{-5}。看起来极小，但每秒有 101510^{15} 量级的电子在尝试， 所以隧穿电流是纳安量级——完全可测。

2. α 衰变。 α 粒子被核力束缚在半径约 7 fm 的势阱里， 要穿过库仑势垒（峰值约 25 MeV，而 α 的能量只有 4–9 MeV）。 把库仑势垒近似成一系列矩形垒并求和（这就是 WKB 近似），得到

ln⁡T∝−ZE(2.11.17)\ln T\propto-\frac{Z}{\sqrt{E}}\tag{2.11.17}

这就是 Gamow 因子，它解释了 Geiger-Nuttall 定律： 半衰期随 α 能量的微小变化跨越 24 个数量级（232^{232}Th 的 140 亿年 vs 212^{212}Po 的 0.3 微秒）。指数敏感性在这里被放大到了极致。

1928 年 Gamow 用这个计算解释 α 衰变，是量子力学最早的重大成功之一。

3. 闪存。 NAND 闪存写入时，电子隧穿过约 8 nm 厚的氧化层进入浮栅。 读取时靠氧化层足够厚保证电子留在里面（数据保持十年）。 写入靠加高电压把势垒「压斜」（Fowler-Nordheim 隧穿）来提高 TT。

你手机里的存储芯片，每一个比特都是一次受控的隧道效应。

E > V₀：还是有反射

上面的公式在 E>V0E>V_0 时依然有效，只需 κ→ik2\kappa\to\ii k_2（k2=2m(E−V0)/ℏk_2=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar）， sinh⁡→isin⁡\sinh\to\ii\sin：

T=[1+V02sin⁡2(k2a)4E(E−V0)]−1(2.11.18)T=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(k_2a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1}\tag{2.11.18}

经典力学说粒子会减速通过、100% 透射。量子力学说 T<1T<1：有反射。

物理图像

这一点其实不该意外。 波遇到介质突变就会部分反射： 光从空气进入玻璃有约 4% 反射，声波从空气进入水几乎全反射。 势能的突变对物质波起的正是同样的作用。

反射来自阻抗失配，与粒子有没有足够能量翻过去无关。

数学形式

共振透射。 当

k2a=nπ(n=1,2,… )(2.11.19)k_2a=n\pi\quad(n=1,2,\dots)\tag{2.11.19}

时 sin⁡(k2a)=0\sin(k_2a)=0，T=1T=1——势垒变得完全透明。

条件等价于势垒宽度恰好容纳整数个半波长， 两个界面的反射波恰好相消——和光学的增透膜一模一样。

波包演化与散射

高斯波包撞上矩形势垒。用分步算符法实时求解含时薛定谔方程，ħ = m = 1。

E / V₀
0.80
反射 R
0.000
透射 T
0.000
波包宽度 Δx
3.00

点「播放」让波包撞上势垒。波包完全离开势垒区后 R、T 会自动锁定。势垒在网格上的实际宽度 a = 1.500。

2.00

E = k₀²/2 = 2.00

2.5

正值 = 势垒

1.5

T 随 a 指数衰减：T ~ e^(−2κa)

3.0

σ 越大动量越确定，越接近平面波

视图
8×

试试看

  • 默认参数下 E ≈ 2.0 < V₀ = 2.5，经典粒子 100% 被弹回。播放看看：有一部分波包穿过去了。这就是隧道效应，也是扫描隧道显微镜与 α 衰变的原理。
  • 把 a 从 1.5 加到 4，重放。透射率暴跌——T ~ e^(−2κa) 是指数衰减，势垒稍微加宽一点，隧穿概率就掉几个数量级。
  • 把 V₀ 调到 1.0（此时 E > V₀，经典应当 100% 透射），重放：仍然有明显的反射峰跑回左边。波遇到势的突变就会部分反射，跟光在玻璃表面一样。
  • 切到「透射率曲线」，把 V₀ 设成负值（势阱）：曲线在某些能量处回到 T = 1。这是共振透射，历史上表现为惰性气体对慢电子近乎透明的 Ramsauer–Townsend 效应。
  • 把 σ 调到 8 再散射，测得的 T 会更贴近解析曲线上的空心圆点——波包越接近平面波，「单一能量」的近似就越好。

本节关键公式

  • 矩形势垒透射系数（E < V₀）

    T=[1+V02sinh⁡2(κa)4E(V0−E)]−1,κ=2m(V0−E)ℏT=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1},\quad\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

    精确结果，无近似

  • 厚垒近似

    T≈16E(V0−E)V02e−2κaT\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\ee^{-2\kappa a}

    κa ≫ 1 时用；指数因子主导一切

  • E > V₀ 的情形

    T=[1+V02sin⁡2(k2a)4E(E−V0)]−1,k2=2m(E−V0)ℏT=\left[1+\frac{V_0^2\sin^2(k_2a)}{4E(E-V_0)}\right]^{-1},\quad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}

    一般 T < 1；k₂a = nπ 时共振透射 T = 1

  • Gamow 因子

    ln⁡T∝−ZE\ln T\propto-\frac{Z}{\sqrt{E}}

    α 衰变半衰期跨 24 个数量级的来源

自测共 4 题

  1. 1.

    求解矩形势垒问题时，为什么区域 II（势垒内部）必须同时保留 e^{κx} 与 e^{−κx} 两项？

  2. 2.

    厚垒近似下 T ≈ (前因子)·e^{−2κa}。势垒宽度 a 增加一倍，透射系数大致：

  3. 3.

    当 E > V₀ 时，量子力学预言仍有部分反射。物理原因最接近下列哪一项？

  4. 4.

    电子隧穿一个 V₀ − E = 4.0 eV、宽 a = 0.50 nm 的势垒。计算指数因子 e^{−2κa} 的数量级（直接给出该因子的值，可用科学计数法的数值部分，如 3.7e-5 请填 0.000037）。（ħc = 197.3 eV·nm，mc² = 511000 eV）

    允许 35% 相对误差

本章结束

回头看一眼，我们用一个复值函数和一个方程做到了：

  • 推出能量量子化（无限深势阱、谐振子），不需要任何额外假设
  • 解释原子为什么稳定（定态不辐射）
  • 预言经典完全禁止的现象（隧穿），并且它撑起了一整个技术领域
  • 把经典力学作为极限情形收编（Ehrenfest 定理、对应原理）

但也留下了一堆没交代清楚的东西：为什么可观测量对应算符？ 测量到底发生了什么？∣cn∣2|c_n|^2 凭什么是概率？

这些问题的答案需要换一套语言。第 3 章会把波函数抽象成 Hilbert 空间中的矢量——之后你会发现，本章那些冗长的积分推导， 在新语言里大多只要两三行。

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