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3.2

Dirac 符号完整规则

一套把「矢量、内积、投影、换基」全部压缩成几个尖括号的记号。学会它，第 2 章的推导会缩短到原来的几分之一。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 正确读写 ket、bra、内积、外积与算符的矩阵元
  • 用完备性关系 Σ|n⟩⟨n| = 1 在任意两个表象之间换算
  • 说明投影算符 |ψ⟩⟨ψ| 的几何含义

上一节说清了「态是矢量，波函数是它的分量」。这一节给这套说法配一副称手的记号。

ket：态本身

一个量子态记作

∣ψ⟩(3.2.1)\ket{\psi}\tag{3.2.1}

读作「ket psi」。它代表态本身，不带任何基的信息——就像上一节里那个箭头，而不是 (3,4,0)(3,4,0)。

bra：用来做内积的那一半

每个 ket ∣ψ⟩\ket{\psi} 都配一个 bra ⟨ψ∣\bra{\psi}。把两者拼起来就是内积：

⟨ϕ|ψ⟩=∫ϕ∗(x)ψ(x) dx(3.2.3)\braket{\phi}{\psi}=\int\phi^*(x)\psi(x)\,\dd x\tag{3.2.3}

（“bra-ket” 这个词来自英文的 bracket「括号」，狄拉克把它劈成了两半。）

物理图像

内积的三条性质

⟨ϕ|ψ⟩=⟨ψ|ϕ⟩∗(3.2.4)\braket{\phi}{\psi}=\braket{\psi}{\phi}^*\tag{3.2.4}

交换顺序取复共轭——因为 ∫ϕ∗ψ\int\phi^*\psi 与 ∫ψ∗ϕ\int\psi^*\phi 互为共轭。

⟨ψ|ψ⟩≥0,且=0  ⟺  ∣ψ⟩=0(3.2.5)\braket{\psi}{\psi}\ge0,\quad\text{且}=0\iff\ket{\psi}=0\tag{3.2.5}

长度平方非负。归一化的态满足 ⟨ψ|ψ⟩=1\braket{\psi}{\psi}=1。

⟨ϕ∣(a∣ψ1⟩+b∣ψ2⟩)=a⟨ϕ|ψ1⟩+b⟨ϕ|ψ2⟩(3.2.6)\bra{\phi}\big(a\ket{\psi_1}+b\ket{\psi_2}\big)=a\braket{\phi}{\psi_1}+b\braket{\phi}{\psi_2}\tag{3.2.6}

对右边线性，对左边反线性（提出来的系数要取共轭）。

数学形式

第 2 章的式子换个写法

归一化：

∫∣Ψ∣2dx=1 ⟶ ⟨Ψ|Ψ⟩=1(3.2.7)\int|\Psi|^2\dd x=1 \ \longrightarrow\ \braket{\Psi}{\Psi}=1\tag{3.2.7}

展开系数：

cn=∫ψn∗Ψ dx ⟶ cn=⟨n|Ψ⟩(3.2.8)c_n=\int\psi_n^*\Psi\,\dd x \ \longrightarrow\ c_n=\braket{n}{\Psi}\tag{3.2.8}

正交归一：

∫ψm∗ψndx=δmn ⟶ ⟨m|n⟩=δmn(3.2.9)\int\psi_m^*\psi_n\dd x=\delta_{mn} \ \longrightarrow\ \braket{m}{n}=\delta_{mn}\tag{3.2.9}

期望值：

∫Ψ∗A^Ψ dx ⟶ ⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩(3.2.10)\int\Psi^*\hat A\Psi\,\dd x \ \longrightarrow\ \bra{\Psi}\hat A\ket{\Psi}\tag{3.2.10}

算符夹在中间

A^∣ψ⟩\hat A\ket{\psi} 是另一个 ket。把它与 ⟨ϕ∣\bra{\phi} 做内积，得到矩阵元：

⟨ϕ∣A^∣ψ⟩(3.2.11)\bra{\phi}\hat A\ket{\psi}\tag{3.2.11}

这个记号有意的模糊之处在于：你既可以读成「⟨ϕ∣\bra{\phi} 与 (A^∣ψ⟩)(\hat A\ket{\psi}) 的内积」，也可以读成「(⟨ϕ∣A^)(\bra{\phi}\hat A) 与 ∣ψ⟩\ket{\psi} 的内积」。两种读法结果相同，所以不必加括号。

这就是矩阵元这个名字的来源：在基 {∣n⟩}\{\ket{n}\} 下，Amn=⟨m∣A^∣n⟩A_{mn}=\bra{m}\hat A\ket{n} 正是算符的矩阵表示。

外积：反过来拼

把 ket 放左边、bra 放右边：

∣ϕ⟩⟨ψ∣(3.2.12)\ket{\phi}\bra{\psi}\tag{3.2.12}

这不是一个数，而是一个算符——它作用在任何 ket 上都会给出一个 ket：

(∣ϕ⟩⟨ψ∣)∣χ⟩=∣ϕ⟩⟨ψ|χ⟩⏟一个数(3.2.13)\big(\ket{\phi}\bra{\psi}\big)\ket{\chi}=\ket{\phi}\underbrace{\braket{\psi}{\chi}}_{\text{一个数}}\tag{3.2.13}

完备性关系：整章最有用的一个恒等式

设 {∣n⟩}\{\ket{n}\} 是一组正交归一完备基。「完备」的意思是任何态都能展开：

∣ψ⟩=∑ncn∣n⟩,cn=⟨n|ψ⟩(3.2.18)\ket{\psi}=\sum_n c_n\ket{n},\qquad c_n=\braket{n}{\psi}\tag{3.2.18}

把 cnc_n 代回去：

∣ψ⟩=∑n∣n⟩⟨n|ψ⟩=(∑n∣n⟩⟨n∣)∣ψ⟩(3.2.19)\ket{\psi}=\sum_n \ket{n}\braket{n}{\psi}=\left(\sum_n\ket{n}\bra{n}\right)\ket{\psi}\tag{3.2.19}

对任意 ∣ψ⟩\ket{\psi} 都成立，所以括号里那个算符就是恒等算符：

 ∑n∣n⟩⟨n∣=1^ (3.2.20)\boxed{\ \sum_n\ket{n}\bra{n}=\hat 1\ }\tag{3.2.20}

连续基的版本把求和换成积分：

∫∣x⟩⟨x∣ dx=1^,∫∣p⟩⟨p∣ dp=1^(3.2.21)\int\ket{x}\bra{x}\,\dd x=\hat 1,\qquad \int\ket{p}\bra{p}\,\dd p=\hat 1\tag{3.2.21}

本节关键公式

  • 态与分量

    ψ(x)=⟨x|ψ⟩,cn=⟨n|ψ⟩\psi(x)=\braket{x}{\psi},\quad c_n=\braket{n}{\psi}

    想要哪套分量，就用对应的基去点它

  • 内积

    ⟨ϕ|ψ⟩=⟨ψ|ϕ⟩∗,⟨ψ|ψ⟩=1\braket{\phi}{\psi}=\braket{\psi}{\phi}^*,\quad\braket{\psi}{\psi}=1

    对右线性、对左反线性

  • 投影算符

    P^ψ=∣ψ⟩⟨ψ∣,P^2=P^=P^†\hat P_\psi=\ket{\psi}\bra{\psi},\qquad \hat P^2=\hat P=\hat P^\dagger

    幂等 + 厄米，就是「投影」的代数定义

  • 完备性关系

    ∑n∣n⟩⟨n∣=1^,∫∣x⟩⟨x∣dx=1^\sum_n\ket{n}\bra{n}=\hat 1,\qquad \int\ket{x}\bra{x}\dd x=\hat 1

    想换基就往式子里塞一个 1

  • 换基矩阵元

    ⟨x|p⟩=12πℏeipx/ℏ\braket{x}{p}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\ee^{\ii px/\hbar}

    傅里叶变换 = 位置基与动量基之间的换基

自测共 4 题

  1. 1.

    下列哪个式子是正确的？

  2. 2.

    |φ⟩⟨ψ| 是什么？

  3. 3.

    完备性关系 Σₙ|n⟩⟨n| = 1 的主要用途是：

  4. 4.

    关于投影算符 P̂ = |ψ⟩⟨ψ|（|ψ⟩ 已归一化），正确的是：（多选）

    多选题

接下来

记号有了。但有几个数学上的问题一直被我们绕过去：∑ncn∣n⟩\sum_n c_n\ket{n} 在什么意义下收敛？∣x⟩\ket{x} 不可归一化，凭什么还能当基用？

下一节把这些补上——这是全章唯一一节以数学为主的内容，而且会尽量只讲对物理有影响的那部分。

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