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5.6

角动量耦合与 CG 系数

两个角动量放在一起，正确的问法不是「矢量怎么相加」，而是「四个态怎么重新分组」。答案是一重态加三重态。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明为什么需要两组基（乘积基与总角动量基），以及各自回答什么问题
  • 用梯算符从头构造两个自旋 1/2 耦合的单态与三重态
  • 读懂 Clebsch-Gordan 系数的含义并用于概率计算
  • 用维数守恒检验一般耦合规则 |j₁−j₂| ≤ J ≤ j₁+j₂

上一节结尾提出的问题：两个角动量摆在一起，总角动量是多少？

先看这个问题为什么无处可躲。氢原子的电子带着轨道 L⃗^\hat{\vec L} 和自旋 S⃗^\hat{\vec S}；氦原子有两个电子的自旋；氘核里质子和中子各有自旋。 只要角动量多于一份，「总共多少」就是必答题——光谱线怎么分裂、 两个电子能不能挤进同一轨道、氢原子的 21 cm 射电谱线从哪来，全系于此。

经典力学的答案是小学算术：J⃗=J⃗1+J⃗2\vec J=\vec J_1+\vec J_2 矢量相加， 长度随夹角在 ∣J1−J2∣|J_1-J_2| 和 J1+J2J_1+J_2 之间连续可调。量子力学里这条路 一开始就堵死：每支「矢量」自己的三个分量都不能同时确定 （5.1 节）， 「按分量相加」根本无从谈起。得换个问法。

正确的问法:两组基

用最小的非平庸例子把问题彻底做透：两个自旋 1/2（比如氢原子里 电子的自旋和质子的自旋）。每个自旋两个态，合起来的空间是四维的， 最自然的基是「各自报各自的状态」：

∣↑↑⟩,∣↑↓⟩,∣↓↑⟩,∣↓↓⟩(5.6.1)\ket{\uparrow\uparrow},\quad\ket{\uparrow\downarrow},\quad \ket{\downarrow\uparrow},\quad\ket{\downarrow\downarrow}\tag{5.6.1}

（第一个箭头是粒子 1，第二个是粒子 2。）这组乘积基是 (S^1z,S^2z)(\hat S_{1z},\hat S_{2z}) 的共同本征态，回答「各自朝哪」。

现在定义总自旋算符：

S⃗^≡S⃗^1+S⃗^2(5.6.2)\hat{\vec S}\equiv\hat{\vec S}_1+\hat{\vec S}_2\tag{5.6.2}

（作用在不同粒子上的算符互相对易，[S^1i,S^2j]=0[\hat S_{1i},\hat S_{2j}]=0。） 容易验证 S⃗^\hat{\vec S} 满足标准的角动量对易关系——所以 5.2 节的整套结论自动适用： (S^2,S^z)(\hat S^2,\hat S_z) 有共同本征态 ∣S,M⟩\ket{S,M}，本征值 S(S+1)ℏ2S(S+1)\hbar^2 与 MℏM\hbar。 这组总角动量基回答「总共多少、总的朝哪」。

两组基各答各的问题，但一般不能兼得：S^2\hat S^2 含有 S^1xS^2x\hat S_{1x}\hat S_{2x} 这类会翻动单个自旋的项，与 S^1z\hat S_{1z} 不对易。 「总长度确定」和「各自朝向确定」是一对不相容的知识——量子加法与经典加法的 分水岭就在这里。剩下的任务是纯粹的换基：把 ∣S,M⟩\ket{S,M} 用乘积基展开， 展开系数就叫 Clebsch-Gordan（CG）系数——名字吓人，东西不过是一张换基系数表。

动手构造：单态与三重态

两个自旋 1/2：从乘积基构造出全部 |S, M⟩基础~12 min

第一步：先分拣 M。 S^z=S^1z+S^2z\hat S_z=\hat S_{1z}+\hat S_{2z} 在乘积基上是对角的 ——两个 z 分量直接相加（这是唯一「像经典加法」的部分）：

乘积态MM
∣↑↑⟩\ket{\uparrow\uparrow}+1+1
∣↑↓⟩, ∣↓↑⟩\ket{\uparrow\downarrow},\ \ket{\downarrow\uparrow}00
∣↓↓⟩\ket{\downarrow\downarrow}−1-1

MM 最大是 11，所以 SS 最大是 11；M=0M=0 有两个态，说明有一个维度 不属于 S=1S=1 的家族——预告了还有一个 S=0S=0。

第二步：锁定顶层态。 M=+1M=+1 的态独一无二，它只能是 S=1S=1 家族的顶层：

∣1,1⟩=∣↑↑⟩(5.6.3)\ket{1,1}=\ket{\uparrow\uparrow}\tag{5.6.3}

（可以直接验证 S^2∣↑↑⟩=2ℏ2∣↑↑⟩\hat S^2\ket{\uparrow\uparrow}=2\hbar^2\ket{\uparrow\uparrow}， 即 S(S+1)=2S(S+1)=2。）

第三步：用降算符往下爬。 总降算符是两个粒子降算符之和： S^−=S^1−+S^2−\hat S_-=\hat S_{1-}+\hat S_{2-}。左边用 5.2 节公式 S^−∣1,1⟩=ℏ1⋅2−1⋅0∣1,0⟩=ℏ2∣1,0⟩\hat S_-\ket{1,1}=\hbar\sqrt{1\cdot2-1\cdot0}\ket{1,0}=\hbar\sqrt2\ket{1,0}； 右边逐粒子作用（对自旋 1/2，S^−∣↑⟩=ℏ∣↓⟩\hat S_-\ket{\uparrow}=\hbar\ket{\downarrow}）：

(S^1−+S^2−)∣↑↑⟩=ℏ∣↓↑⟩+ℏ∣↑↓⟩(5.6.4)(\hat S_{1-}+\hat S_{2-})\ket{\uparrow\uparrow} =\hbar\ket{\downarrow\uparrow}+\hbar\ket{\uparrow\downarrow}\tag{5.6.4}

两边相等，解出

∣1,0⟩=∣↑↓⟩+∣↓↑⟩2(5.6.5)\ket{1,0}=\frac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2}\tag{5.6.5}

第四步：再爬一格。 对 ∣1,0⟩\ket{1,0} 重复：左边给 ℏ2∣1,−1⟩\hbar\sqrt2\ket{1,-1}，右边作用在上式上， ∣↑↓⟩→ℏ∣↓↓⟩\ket{\uparrow\downarrow}\to\hbar\ket{\downarrow\downarrow}（只有粒子 1 可降）， ∣↓↑⟩→ℏ∣↓↓⟩\ket{\downarrow\uparrow}\to\hbar\ket{\downarrow\downarrow}，合计 2ℏ2∣↓↓⟩=ℏ2∣↓↓⟩\frac{2\hbar}{\sqrt2}\ket{\downarrow\downarrow}=\hbar\sqrt2\ket{\downarrow\downarrow}：

∣1,−1⟩=∣↓↓⟩(5.6.6)\ket{1,-1}=\ket{\downarrow\downarrow}\tag{5.6.6}

到底了。S=1S=1 家族三个成员到齐，称为三重态（triplet）。

第五步：找回丢失的一维。 四维空间用掉三维，剩下的一维必在 M=0M=0 的平面里、且与 ∣1,0⟩\ket{1,0} 正交。正交组合只有一个（差一个相位约定）：

∣0,0⟩=∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2(5.6.7)\ket{0,0}=\frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2}\tag{5.6.7}

验证它确实 S=0S=0：S^−∣0,0⟩=ℏ∣↓↓⟩−ℏ∣↓↓⟩2=0\hat S_-\ket{0,0} =\frac{\hbar\ket{\downarrow\downarrow}-\hbar\ket{\downarrow\downarrow}}{\sqrt2}=0， S^+\hat S_+ 同理为零——升不上去也降不下来，只能是孤零零的 S=0S=0。 这就是单态（singlet）。

总结：四个乘积态重新分组为「3+13+1」：

∣1,1⟩, ∣1,0⟩, ∣1,−1⟩⏟三重态 S=1∣0,0⟩⏟单态 S=0(5.6.8)\underbrace{\ket{1,1},\ \ket{1,0},\ \ket{1,-1}}_{\text{三重态 }S=1} \qquad \underbrace{\ket{0,0}}_{\text{单态 }S=0}\tag{5.6.8}

记作 12⊗12=1⊕0\tfrac12\otimes\tfrac12=1\oplus0。维数核对：2×2=3+12\times2=3+1。✓

推导里那些展开系数——11、12\tfrac1{\sqrt2}、−12-\tfrac1{\sqrt2}——就是 CG 系数 ⟨m1 m2|S M⟩\braket{m_1\,m_2}{S\,M} 的全部真身： 「总态 ∣S,M⟩\ket{S,M} 里含有乘积态 ∣m1m2⟩\ket{m_1 m_2} 的振幅」。 用法举例：体系处于 ∣1,0⟩\ket{1,0}，测粒子 1 的 S1zS_{1z}，得「上」的概率 是振幅 12\tfrac1{\sqrt2} 的模平方，即 50%50\%。教材附录里一大页的 CG 表，内容无非是把第二到第五步对各种 (j1,j2)(j_1,j_2) 重复一遍—— 方法一模一样：锁顶层、降算符爬梯、正交补找新家族。

物理图像

直觉：为什么偏偏是「对称三个、反对称一个」。

交换两个粒子，三重态的三个成员都不变（对称），单态变号（反对称）。 对称性和总自旋绑在一起绝非巧合：S^2\hat S^2 在交换下不变， 所以它的本征态必须有确定的交换对称性。

一个粗糙但有用的画面：三重态里两个自旋「同向协作」， M=0M=0 的成员 ∣↑↓⟩+∣↓↑⟩\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow} 是「横躺着的同向」——总长度仍是满的（S=1S=1），只是不朝 z。 单态则是两个自旋「完全对着干」，抵消得干干净净： 不但 M=0M=0，任何方向测总自旋都是零。

这个「3+13+1」分组在第 8 章会变成主角： 泡利原理要求电子总波函数反对称，于是自旋的对称性 反过来决定了空间波函数的对称性——这就是共价键与磁性的起点。

数学形式

公式：单态的旋转不变性。

S=0S=0 意味着单态在任何方向上的总自旋分量都是零；换句话说， 它在转动下纹丝不动。直接验证：用 x 基 ∣±x⟩=∣↑⟩±∣↓⟩2\ket{\pm x}=\frac{\ket{\uparrow}\pm\ket{\downarrow}}{\sqrt2} 改写，展开可得

∣↑↓⟩−∣↓↑⟩2=− ∣+x −x⟩−∣−x +x⟩2(5.6.9)\frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt2} =-\,\frac{\ket{+x\,{-}x}-\ket{-x\,{+}x}}{\sqrt2}\tag{5.6.9}

换到 x 基，形式一字不改（差一个整体相位）。 无论沿哪个轴测，两个粒子的结果都严格相反。

这个态还是纠缠的：它无法写成「粒子 1 的态 ⊗\otimes 粒子 2 的态」 （若能，展开只有一项或系数可因式分解，与上式矛盾）。 EPR 佯谬与 Bell 实验用的正是这个单态——第 9 章见。

一般规则与维数守恒

任意 j1,j2j_1,j_2 的耦合，方法与上面完全相同，结论也一样干净。总角动量 JJ 的取值是

J=∣j1−j2∣, ∣j1−j2∣+1, …, j1+j2(每个 J 出现一次)(5.6.11)J=|j_1-j_2|,\ |j_1-j_2|+1,\ \dots,\ j_1+j_2\qquad(\text{每个 }J\text{ 出现一次})\tag{5.6.11}

——从「反平行」到「平行」，步长为 1。经典的「长度介于差与和之间连续可调」 变成了「介于差与和之间、按整数步离散可调」。每个 JJ 家族有 2J+12J+1 个成员， 总维数必须对得上：

(2j1+1)(2j2+1)=∑J=∣j1−j2∣j1+j2(2J+1)(5.6.12)(2j_1+1)(2j_2+1)=\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}(2J+1)\tag{5.6.12}

用它可以快速自检。一个马上要用的例子：氢原子 p 轨道的电子， l=1l=1 耦合自旋 s=12s=\tfrac12：

1⊗12=32⊕12,3×2=4+2 ✓(5.6.13)1\otimes\tfrac12=\tfrac32\oplus\tfrac12,\qquad 3\times2=4+2\ \checkmark\tag{5.6.13}

p 电子的六个态重新分组为 j=32j=\tfrac32 的四个和 j=12j=\tfrac12 的两个。 记住这个「4+24+2」——下一节它就会变成光谱里真实的两条线。

本节关键公式

  • 总角动量与两组基

    S⃗^=S⃗^1+S⃗^2,⟨m1m2|S M⟩=CG 系数\hat{\vec S}=\hat{\vec S}_1+\hat{\vec S}_2,\qquad \braket{m_1 m_2}{S\,M}=\text{CG 系数}

    乘积基答「各自朝哪」，总基答「总共多少」；两者不相容

  • 三重态

    ∣1,±1⟩=∣↑↑⟩,∣↓↓⟩,∣1,0⟩=12(∣↑↓⟩+∣↓↑⟩)\ket{1,\pm1}=\ket{\uparrow\uparrow},\ket{\downarrow\downarrow},\quad \ket{1,0}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow})

    交换对称；S = 1

  • 单态

    ∣0,0⟩=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩)\ket{0,0}=\tfrac{1}{\sqrt2}(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow})

    交换反对称、旋转不变、纠缠；任何方向两粒子结果相反

  • 耦合规则

    J=∣j1−j2∣,…,j1+j2;(2j1+1)(2j2+1)=∑J(2J+1)J=|j_1-j_2|,\dots,j_1+j_2;\qquad (2j_1{+}1)(2j_2{+}1)=\textstyle\sum_J(2J{+}1)

    维数守恒自检；例 1⊗½=3/2⊕½，6=4+2

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么「总长度 S 确定」与「粒子 1 的 S_{1z} 确定」一般不能兼得？

  2. 2.

    关于单态 |0,0⟩ = (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/√2，正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    体系处于 |↑↓⟩。测量总自旋 S²，可能的结果及概率是：

  4. 4.

    把 j₁ = 2 与 j₂ = 1 耦合。允许的 J 值共有几个？（用 |j₁−j₂| ≤ J ≤ j₁+j₂ 数一数）

    个允许 0% 相对误差

接下来

我们已经会把 L⃗^\hat{\vec L} 和 S⃗^\hat{\vec S} 加成总角动量 J⃗^\hat{\vec J}， 也知道 p 电子的六个态会重新分组成 j=32j=\tfrac32 和 j=12j=\tfrac12 两家。

但目前这只是数学上的重新分组——两家的能量还完全一样。 下一节给这两家「分家产」：电子在原子里绕核运动时， 自己的磁矩会感受到一个内生的磁场，耦合项 L⃗^⋅S⃗^\hat{\vec L}\cdot\hat{\vec S} 让 jj 不同的态能量岔开。钠灯黄光里那两条相距 0.6 nm 的 D 线， 分的就是这份家产。

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