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1.2

黑体辐射与普朗克量子假说

普朗克先凑出了正确的公式，再回头找它凭什么成立。找到的那个理由，他自己十几年都不肯当真。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明普朗克公式与瑞利-金斯定律在两端各自如何过渡
  • 解释 E = nhν 这一步为什么能同时压住紫外灾难与解释低温比热
  • 用普朗克公式估算日常物体的辐射峰值波长

上一节留下的第一个死结：经典理论算黑体辐射，算出无穷大。

这一节看普朗克怎么把它掐死——顺便说清楚，他并不是先想通了物理再写公式，而是反过来。

先看实验曲线长什么样

1890 年代，柏林的帝国物理技术研究所做了一批当时精度最高的黑体辐射测量。曲线的形状很有特点：

物理图像

低频端：能量密度随频率增大而上升，实测与瑞利-金斯定律吻合得很好。

峰值：在某个频率处到达最大。温度越高，峰值越往高频移动——这就是为什么铁块从暗红烧到橙白。

高频端：迅速掉下来，掉得比任何幂函数都快。总面积（总能量）是有限的。

维恩在 1896 年给出了一个纯粹拟合出来的公式，高频端对得很好，低频端却明显偏低。瑞利-金斯低频端对，高频端发散。两个公式各对一半。

数学形式

维恩位移定律（实验规律，1893）：

λmaxT=2.898×10−3 m⋅K(1.2.1)\lambda_\text{max}T=2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}\tag{1.2.1}

斯特藩-玻尔兹曼定律（实验规律，1879）：

总辐射功率∝T4(1.2.2)\text{总辐射功率}\propto T^4\tag{1.2.2}

任何一个正确的理论都必须同时给出这两条，还要在两端分别退回维恩和瑞利-金斯。约束相当紧。

普朗克做了什么

1900 年 10 月，普朗克用内插法把维恩公式和瑞利-金斯公式「缝」到了一起——纯粹是数学操作，先凑出一个在两端都对的表达式：

u(ν,T)=8πhν3c3⋅1ehν/kBT−1(1.2.3)u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\cdot\frac{1}{\ee^{h\nu/k_BT}-1}\tag{1.2.3}

同一天晚上就有人拿它去对实验数据，符合得完美。

但这个公式凭什么成立？ 接下来两个月，普朗克用他自己的话说是「拼命地」在找理由。他找到的那个假设是：

一份一份，为什么就能压住紫外灾难

这是本节最值得想明白的一步，而且它不需要任何计算就能讲清楚。

答案是：那个模式连第一份都买不起，只能待在 n=0n=0，平均能量几乎为零。

高频模式的数目依然很多，但它们一个个都是空的。发散被从源头掐掉了。

推导：从 E = nhν 到普朗克公式进阶~7 min

把振子的能量取值限制成 En=nhνE_n=nh\nu，用玻尔兹曼分布算平均能量。取 x≡hν/kBTx\equiv h\nu/k_BT：

⟨E⟩=∑n=0∞nhν e−nx∑n=0∞e−nx(1.2.5)\langle E\rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu\,\ee^{-nx}}{\sum_{n=0}^{\infty}\ee^{-nx}}\tag{1.2.5}

分母是等比级数：

∑n=0∞e−nx=11−e−x(1.2.6)\sum_{n=0}^{\infty}\ee^{-nx}=\frac{1}{1-\ee^{-x}}\tag{1.2.6}

分子用一个标准技巧——对分母求导：

∑n=0∞n e−nx=−ddx11−e−x=e−x(1−e−x)2(1.2.7)\sum_{n=0}^{\infty}n\,\ee^{-nx}=-\frac{\dd}{\dd x}\frac{1}{1-\ee^{-x}}=\frac{\ee^{-x}}{(1-\ee^{-x})^2}\tag{1.2.7}

两式相除：

⟨E⟩=hν⋅e−x1−e−x=hνehν/kBT−1(1.2.8)\langle E\rangle=h\nu\cdot\frac{\ee^{-x}}{1-\ee^{-x}}=\frac{h\nu}{\ee^{h\nu/k_BT}-1}\tag{1.2.8}

这就是关键结果。 现在把经典推导里的 kBTk_BT 换成它，模式数密度 8πν2/c38\pi\nu^2/c^3 一步都不用改：

u(ν,T)=8πν2c3⋅hνehν/kBT−1(1.2.9)u(\nu,T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\cdot\frac{h\nu}{\ee^{h\nu/k_BT}-1}\tag{1.2.9}

两个极限检查一下：

低频（hν≪kBTh\nu\ll k_BT，即 x≪1x\ll1）：用 ex≈1+x\ee^x\approx1+x，

⟨E⟩≈hνx=kBT(1.2.10)\langle E\rangle\approx\frac{h\nu}{x}=k_BT\tag{1.2.10}

均分定理原样回来了，瑞利-金斯是普朗克公式的低频极限。

高频（hν≫kBTh\nu\gg k_BT）：分母的 −1-1 可以忽略，

⟨E⟩≈hν e−hν/kBT(1.2.11)\langle E\rangle\approx h\nu\,\ee^{-h\nu/k_BT}\tag{1.2.11}

指数压制。这就是维恩公式，也是紫外灾难被治好的地方：指数衰减比 ν2\nu^2 的增长快得多，积分收敛。

顺手解决第二个死结

低温比热的问题在这里一并解决了，而且用的是同一句话。

固体里的原子振动也是振子。频率为 ν\nu 的振动模式，要激发它至少得给 hνh\nu。当温度低到 kBT≪hνk_BT\ll h\nu 时，这个模式被冻结，对比热没有贡献。

温度升高，越来越多的模式被「解冻」，比热才逐渐爬向经典的 3R3R。爱因斯坦 1907 年据此算出了固体比热的第一个量子模型，1912 年德拜把它改进到能定量对上实验。

一个数量级练习

估算：人体、灯丝、太阳各发什么光基础~4 min

用维恩位移定律 λmaxT=2.898×10−3 m⋅K\lambda_\text{max}T=2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}：

  • 人体（310 K）：λmax=9.3 μm\lambda_\text{max}=9.3\ \mu\text{m}，远红外。所以热成像仪拍的是这个波段，而你在黑暗里看不见人。
  • 白炽灯丝（2800 K）：λmax=1.0 μm\lambda_\text{max}=1.0\ \mu\text{m}，近红外。峰值根本不在可见光里——白炽灯把大部分能量变成了热，这就是它效率低的原因。
  • 太阳表面（5800 K）：λmax=0.50 μm\lambda_\text{max}=0.50\ \mu\text{m}，正是绿光，落在可见光谱的正中间。

最后一条不是巧合：人眼的敏感波段是被太阳的辐射峰值挑出来的。

本节关键公式

  • 普朗克量子假说

    En=nhν,n=0,1,2,…E_n=nh\nu,\qquad n=0,1,2,\dots

    能量一份一份地交换，一份的大小随频率增大

  • 振子平均能量

    ⟨E⟩=hνehν/kBT−1\langle E\rangle=\frac{h\nu}{\ee^{h\nu/k_BT}-1}

    低频 → k_BT（均分定理）；高频 → 指数压制

  • 普朗克辐射公式

    u(ν,T)=8πhν3c3⋅1ehν/kBT−1u(\nu,T)=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\cdot\frac{1}{\ee^{h\nu/k_BT}-1}

    两端分别退回瑞利-金斯与维恩

  • 维恩位移定律

    λmaxT=2.898×10−3 m⋅K\lambda_{\text{max}}T=2.898\times10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}

    温度越高峰值越靠短波

自测共 4 题

  1. 1.

    量子假说 E = nhν 为什么能消除紫外灾难？

  2. 2.

    关于普朗克公式与两个旧公式的关系，正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    为什么金刚石在室温下的比热就已明显低于 3R，而铅没有？

  4. 4.

    一块烧到 1500 K 的炉膛，其辐射峰值波长是多少微米？（维恩常数 2.898×10⁻³ m·K）

    μm允许 10% 相对误差

接下来

普朗克认为「一份一份」是空腔壁上振子的性质，光本身仍是连续的波。

五年后，一个专利局职员把这句话推到了他不愿去的地方：如果光本身就是一份一份的呢？

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