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2.5

定态与非定态

「定态」定的不是粒子，是概率分布。分清这一点，量子力学里一半的困惑会消失。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明定态中哪些量随时间变、哪些不变
  • 解释为什么单个本征态永远不会「动」，而叠加态会
  • 由能级差估算叠加态的振荡周期

是量子力学里最容易被误读的术语之一。 中文的「定」和英文的 stationary 都容易让人想到「静止」。粒子并没有静止。

定态里什么不变

对 Ψn(x,t)=ψn(x)e−iEnt/ℏ\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\ee^{-\ii E_nt/\hbar}：

∣Ψn(x,t)∣2=ψn∗(x)ψn(x)e+iEnt/ℏe−iEnt/ℏ⏟=1=∣ψn(x)∣2(2.5.1)|\Psi_n(x,t)|^2=\psi_n^*(x)\psi_n(x)\underbrace{\ee^{+\ii E_nt/\hbar}\ee^{-\ii E_nt/\hbar}}_{=1}=|\psi_n(x)|^2\tag{2.5.1}

概率密度与时间无关。更一般地，任何不显含时间的可观测量 A^\hat A，其期望值

⟨A^⟩n=∫Ψn∗A^Ψn dx=∫ψn∗A^ψn dx(2.5.2)\langle \hat A\rangle_n=\int\Psi_n^*\hat A\Psi_n\,\dd x=\int\psi_n^*\hat A\psi_n\,\dd x\tag{2.5.2}

也与时间无关——相位因子在 Ψ∗\Psi^* 和 Ψ\Psi 里成对出现，永远抵消。

物理图像

变的：波函数本身。Ψn\Psi_n 的相位以角频率 En/ℏE_n/\hbar 匀速旋转。 氢原子基态的这个频率约 2×1016 s−12\times10^{16}\ \text{s}^{-1}——转得飞快。

不变的：一切可观测量。概率密度、⟨x⟩\langle x\rangle、⟨p⟩\langle p\rangle、⟨E⟩\langle E\rangle，全都是常数。

所以「定态」定的是观测结果，不是波函数，更不是粒子。

数学形式

Ψn(x,t)=ψn(x) e−iEnt/ℏ(2.5.3)\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\,\ee^{-\ii E_nt/\hbar}\tag{2.5.3}∣Ψn∣2=∣ψn∣2(与 t 无关)(2.5.4)|\Psi_n|^2=|\psi_n|^2\quad(\text{与 }t\text{ 无关})\tag{2.5.4}d⟨A^⟩ndt=0(A^ 不显含 t)(2.5.5)\frac{\dd\langle\hat A\rangle_n}{\dd t}=0\quad(\hat A\text{ 不显含 }t)\tag{2.5.5}

单个定态里，整体相位不可观测这件事被推到了极致： 相位一直在转，却什么也观测不到。

非定态：交叉项在做功

只要有两个及以上系数非零，概率密度就会动。前一节算过两态叠加的一般结果：

∣Ψ∣2=∣c1∣2∣ψ1∣2+∣c2∣2∣ψ2∣2+2∣c1∣∣c2∣ ψ1ψ2cos⁡ ⁣(ω21t+δ)(2.5.6)|\Psi|^2=|c_1|^2|\psi_1|^2+|c_2|^2|\psi_2|^2 +2|c_1||c_2|\,\psi_1\psi_2\cos\!\left(\omega_{21}t+\delta\right)\tag{2.5.6}

（取 ψn\psi_n 为实函数，δ\delta 是 c1,c2c_1,c_2 的初相位差。）

前两项是各自的概率密度，静止不动。全部时间依赖都在交叉项里， 振荡角频率为玻尔频率

ω21=E2−E1ℏ(2.5.7)\omega_{21}=\frac{E_2-E_1}{\hbar}\tag{2.5.7}

动手看

下面的模拟里有一个「定态 / 叠加态」开关。这是本节唯一需要你亲手确认的事：

一维无限深势阱

拖动宽度 L 与量子数 n，看能量、波形与概率分布怎么一起变。单位取 ħ = m = 1。

能量 Eₙ (n=1)
4.935
相对 E₁(L=1)
1.00 ×
⟨x⟩ / L
0.500
Δx / L
0.180
1.00

缩小盒子，所有能级一起被顶上去：E ∝ 1/L²

1

节点数 = n − 1 = 0（不含两端）

状态

试试看

  • 把 L 从 2.5 拖到 0.6，盯住能级图上那条虚线（固定在 E₁(L=1) 的参考能量）：它会一路沉到图的底部，也就是说所有能级都远远升到了它上面。读数区的「相对 E₁(L=1)」会从 0.16 涨到 2.78 ——「把粒子关得越紧，它的动能越大」，这就是 ΔxΔp ≥ ħ/2 的一个直接后果。
  • 在定态下改变 n，注意 |ψ|² 始终不随时间变化（曲线是静止的）；切到叠加态并播放，|ψ|² 立刻开始左右晃。「定态」定的就是这件事。
  • 叠加态里只留 c₁（其余拖到 0），播放——概率密度又不动了。单个本征态无论怎么演化都只是整体乘一个相位 e^(−iEₙt/ħ)，观测量看不见它。
  • 让 n 取 10 以上再看 |ψ|²：条纹密到接近均匀分布，正是经典粒子在盒子里「哪儿都可能」的图像——对应原理在这里现身。

先在定态下随便改 nn——概率密度（紫线）是一条静止的曲线，无论你等多久。 再切到叠加态，保持 c1=c2c_1=c_2，点播放——紫线开始左右晃。 最后把 c2c_2 拖到 0（只剩 c1c_1）——晃动立刻停止。

为什么原子不会塌缩

经典电动力学有个致命预言：绕核运动的电子有加速度，必然辐射电磁波， 在约 10−1110^{-11} 秒内损失全部能量、螺旋落入原子核。物质根本不该存在。

定态给出了答案。

物理图像

处在基态的电子，其电荷分布 −e∣ψ1∣2-e|\psi_1|^2 完全不随时间变化。 一个静止不变的电荷分布不辐射——这一点经典电动力学自己也承认。

电子没有「绕着核转」。基态 ψ100\psi_{100} 甚至是球对称的、 概率流 jj 处处为零。玻尔模型里那个绕圈的图像是错的。

而且基态之下没有更低的能级可跳，所以它绝对稳定。

数学形式

基态稳定的更深原因是不确定性原理：

E∼⟨p2⟩2m−e24πε0r≳ℏ22mr2−e24πε0r(2.5.8)E\sim\frac{\langle p^2\rangle}{2m}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \gtrsim\frac{\hbar^2}{2mr^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\tag{2.5.8}

r→0r\to0 时第一项（∝r−2\propto r^{-2}）比第二项（∝r−1\propto r^{-1}）发散得更快， 总能量反而升高。极小值出现在

r∼a0=4πε0ℏ2me2=0.53 A˚(2.5.9)r\sim a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}=0.53\ \text{Å}\tag{2.5.9}

玻尔半径是「压缩代价」与「库仑收益」的平衡点。

本节关键公式

  • 定态

    Ψn(x,t)=ψn(x)e−iEnt/ℏ ⟹ ∣Ψn∣2=∣ψn∣2\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\ee^{-\ii E_nt/\hbar}\ \Longrightarrow\ |\Psi_n|^2=|\psi_n|^2

    所有可观测量都不随时间变化

  • 两态叠加的概率密度

    ∣Ψ∣2=∣c1ψ1∣2+∣c2ψ2∣2+2∣c1c2∣ψ1ψ2cos⁡(ω21t+δ)|\Psi|^2=|c_1\psi_1|^2+|c_2\psi_2|^2+2|c_1c_2|\psi_1\psi_2\cos(\omega_{21}t+\delta)

    时间依赖全在交叉项里

  • 特征演化时间

    τ∼ℏΔE\tau\sim\frac{\hbar}{\Delta E}

    能级差越大晃得越快；估量级极好用

自测共 3 题

  1. 1.

    关于处于定态 ψₙ 的粒子，下列说法正确的是：（多选）

    多选题

  2. 2.

    无限深势阱中，初态为 ψ₁ 与 ψ₃ 的等权叠加。相比 ψ₁ 与 ψ₂ 的等权叠加，其概率密度的振荡频率变为原来的：

  3. 3.

    经典电动力学预言绕核运动的电子会辐射能量并塌缩。量子力学如何避免这个问题？

接下来

我们一直在谈概率分布，却还没有系统地从分布里提取数字。 下一节定义期望值与方差，并第一次严格写出不确定性原理。

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