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1.3

光电效应与爱因斯坦光量子

四个实验事实，经典波动说一个也解释不了。爱因斯坦只改了一句话，四个一起解决。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 列出光电效应中经典波动说无法解释的四个事实，并说清每一个卡在哪
  • 用 hν = W + E_k 解释截止频率、瞬时响应与光强的作用
  • 说明密立根的实验为何反而成了光量子说最强的证据

上一节的结尾停在一个界限上：普朗克说「一份一份」是空腔壁上振子的性质，光在空中传播时仍然是连续的电磁波。

这一节讲的是有人越过了这条界限。

实验很简单，结果很别扭

装置只有三样东西：一块金属板、一个收集极、一个电流计。用光照金属板，如果有电子被打出来飞到收集极，电流计就有读数。

到 1902 年，勒纳德把这个现象测清楚了。四个事实：

物理图像

事实 1：存在截止频率。 每种金属有一个阈值频率 ν0\nu_0。低于它，无论光多强、照多久，一个电子都打不出来。

事实 2：光强不影响电子能量。 把光调亮，出来的电子数目变多，但每个电子的最大动能一点不变。

事实 3：动能只由频率决定。 频率越高，电子的最大动能越大，而且是线性关系。

事实 4：响应是瞬时的。 光一照上去，电流几乎立刻出现（后来测到小于 10−910^{-9} 秒），哪怕光弱到几乎测不出。

数学形式

经典波动说的预期，逐条对照：

对事实 1：能量是波的振幅决定的，跟频率无关。光够强、照够久总该攒够能量。对不上。

对事实 2：光强大意味着场强大，电子受力大，飞出来应该更快。对不上。

对事实 3：频率在经典图像里只影响电子被摇动的快慢，不影响能量上限。对不上。

对事实 4：能量是从整个波前连续流入的，需要时间攒够。对不上。

估算：经典理论说要等多久基础~5 min

把「攒能量」这件事算个数量级，就知道事实 4 有多致命。

设一束很弱的光，功率密度 I=10−6 W/m2I=10^{-6}\ \text{W}/\text{m}^2（大约是一支蜡烛在几米外的亮度）。一个原子的截面约 σ≈10−20 m2\sigma\approx10^{-20}\ \text{m}^2。

那么单个原子接收功率为

P=Iσ=10−26 W(1.3.1)P=I\sigma=10^{-26}\ \text{W}\tag{1.3.1}

打出一个电子需要克服逸出功，典型值 W≈2 eV=3.2×10−19 JW\approx2\ \text{eV}=3.2\times10^{-19}\ \text{J}。攒够所需时间：

t=WP=3.2×10−1910−26≈3×107 s(1.3.2)t=\frac{W}{P}=\frac{3.2\times10^{-19}}{10^{-26}}\approx3\times10^{7}\ \text{s}\tag{1.3.2}

大约一年。

实验测到的延迟是纳秒以下。差了十六个数量级——这不是「理论不够精确」，是图像根本错了。

爱因斯坦改了一句话

1905 年，26 岁的爱因斯坦在专利局写了一篇论文，标题是《关于光的产生和转化的一个启发性观点》。他说：

就这一句话。现在把四个事实重看一遍：

hν=W+Ek,max(1.3.3)h\nu = W + E_{k,\text{max}}\tag{1.3.3}

WW 是逸出功，把电子从金属里拽出来最少要付的能量。Ek,maxE_{k,\text{max}} 是电子出来后剩下的动能。

  • 截止频率：若 hν<Wh\nu<W，单个光子的钱不够付门票，电子出不来。再多的光子也没用——凑份子在这里是不允许的，因为一个电子一次只吸一个光子。于是 ν0=W/h\nu_0=W/h。
  • 光强的作用：光强 = 光子数目。光子多，被打出的电子就多（电流大），但每个电子拿到的仍是 hνh\nu，动能上限不变。
  • 动能与频率线性：Ek,max=hν−WE_{k,\text{max}}=h\nu-W，斜率恰好是 hh，截距是 −W-W。
  • 瞬时响应：不需要攒。光子到了，撞上电子，交割完成。

密立根：为反驳而来，反而钉死了它

爱因斯坦这篇文章在当时并不受欢迎。连普朗克都不接受——他觉得把 hh 塞进传播中的光里太过分了。

算一算：钠的截止波长基础~4 min

钠的逸出功 W=2.28 eVW=2.28\ \text{eV}。截止频率对应的波长：

λ0=hcW=1240 eV⋅nm2.28 eV=544 nm(1.3.4)\lambda_0=\frac{hc}{W}=\frac{1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{2.28\ \text{eV}}=544\ \text{nm}\tag{1.3.4}

（记住 hc=1240 eV⋅nmhc=1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}，这是最有用的常数之一。）

544 nm 是绿光。所以用绿光、蓝光、紫光照钠都能打出电子，用黄光、红光照多久都没有。

再算一个：用 400 nm 的紫光照，电子的最大动能是

Ek=1240400−2.28=3.10−2.28=0.82 eV(1.3.5)E_k=\frac{1240}{400}-2.28=3.10-2.28=0.82\ \text{eV}\tag{1.3.5}

要挡住这些电子，收集极上得加 0.82 V 的反向电压——这个遏止电压正是实验里直接测的量。

本节关键公式

  • 光子能量

    E=hν=hcλE=h\nu=\frac{hc}{\lambda}

    hc = 1240 eV·nm，估算光子能量最常用

  • 爱因斯坦光电方程

    hν=W+Ek,maxh\nu=W+E_{k,\text{max}}

    一个电子一次只吸一个光子——这句话才是关键

  • 截止频率

    ν0=Wh,λ0=hcW\nu_0=\frac{W}{h},\qquad \lambda_0=\frac{hc}{W}

    低于它光再强也打不出电子

  • 遏止电压

    eU0=Ek,max=hν−WeU_0=E_{k,\text{max}}=h\nu-W

    U₀ 对 ν 作图，斜率 h/e，截距给出逸出功

自测共 4 题

  1. 1.

    光电效应里，真正禁止「低频光照够强也能打出电子」的是哪一条假设？

  2. 2.

    把入射光的强度加倍（频率不变），下列哪些量会变？（多选）

    多选题

  3. 3.

    密立根做光电效应精密实验的初衷是什么，结果如何？

  4. 4.

    用 250 nm 的紫外光照射逸出功 W = 4.3 eV 的钨，光电子的最大动能是多少 eV？（hc = 1240 eV·nm）

    eV允许 15% 相对误差

接下来

到这里，1.1 节的三个死结解开了两个，用的是同一句话：能量的交换是一份一份的。

剩下第三个：原子为什么不塌，光谱为什么是一条条分立的亮线。

1913 年，一个在曼彻斯特跟着卢瑟福做事的丹麦年轻人决定试试——把「一份一份」直接安到电子的轨道上，看能得出什么。

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