A.2 傅里叶分析速查 · 量子力学阶梯

傅里叶变换的物理内容一句话：把一个函数拆成不同频率的波的叠加。在量子力学里，「频率」就是动量（ $p=\hbar k$ ），所以傅里叶变换就是位置表象与动量表象之间的换基公式。

正文哪里会用到： 2.10 自由粒子用它构造波包； 3.3 Hilbert 空间把它解释为连续基的展开； 7.6 Fermi 黄金规则与 11 章路径积分大量使用高斯积分；附录 C.2 分步算符法靠 FFT 在两个表象间来回切换。

变换约定

同一个「傅里叶变换」在不同书里差一个常数或指数符号，先把本书的约定钉死。

数学约定（对称版， $k$ 是波数）：

\tilde f(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\ee^{-\ii kx}\,\dd x, \qquad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(k)\,\ee^{\ii kx}\,\dd k\tag{A.2.1}

量子力学约定（ $p=\hbar k$ ，动量波函数记 $\phi(p)$ ）：

\phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\,\ee^{-\ii px/\hbar}\,\dd x, \qquad \psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)\,\ee^{\ii px/\hbar}\,\dd p\tag{A.2.2}

前置因子 $1/\sqrt{2\pi\hbar}$ 的作用是让两边同时归一（见下面的 Parseval）。用 Dirac 记号看，这不过是插入一组完备的动量本征态： $\phi(p)=\braket{p}{\psi}$ ，而 $\braket{x}{p}=\ee^{\ii px/\hbar}/\sqrt{2\pi\hbar}$ 。

δ 函数

Dirac δ 函数不是普通函数，而是一个「取值器」：它在积分里出现时，把被积函数在尖峰位置的值取出来：

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-x_0)\,\dd x=f(x_0)\tag{A.2.3}

可以把它想象成一个宽度趋于零、面积始终为 1 的极限尖峰。最重要的表示是平面波叠加：

\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{\ii kx}\,\dd k\tag{A.2.4}

——所有波数的平面波等权叠加，处处相消，只在 $x=0$ 处同相堆积。这个式子正是连续基正交归一 $\braket{x}{x'}=\delta(x-x')$ 、 $\braket{p}{p'}=\delta(p-p')$ 的来源。

常用性质：

性质	公式
缩放	$\delta(ax)=\delta(x)/\lvert a\rvert$
复合函数	$\delta(g(x))=\sum_i \delta(x-x_i)/\lvert g'(x_i)\rvert$ ， $x_i$ 为 $g$ 的单根
导数	$\int f(x)\,\delta'(x-x_0)\,\dd x=-f'(x_0)$
阶跃函数	$\dd\Theta/\dd x=\delta(x)$

常用变换对表

按数学约定（对称版）列出。换成 ħ 约定时把 $k\to p/\hbar$ 、结果再乘 $1/\sqrt{\hbar}$ 即可。

$f(x)$	$\tilde f(k)$	备注
$\ee^{-x^2/2\sigma^2}$	$\sigma\,\ee^{-\sigma^2k^2/2}$	高斯变高斯；宽度互为倒数 $\sigma_x\sigma_k=1$
$\ee^{ik_0x}$	$\sqrt{2\pi}\,\delta(k-k_0)$	平面波 = 单一动量
$\delta(x-x_0)$	$\ee^{-\ii kx_0}/\sqrt{2\pi}$	位置本征态含所有动量
方波（ $\lvert x\rvert<a$ 内为 1）	$\sqrt{2/\pi}\,\dfrac{\sin ka}{k}$	sinc 型；单缝衍射的数学原型
$\ee^{-a\lvert x\rvert}$	$\sqrt{2/\pi}\,\dfrac{a}{a^2+k^2}$	Lorentz 型；指数衰减 ⇔ 幂律尾巴
$f(x-x_0)$	$\ee^{-\ii kx_0}\tilde f(k)$	平移 ⇔ 挂相位
$f'(x)$	$\ii k\tilde f(k)$	求导 ⇔ 乘 $\ii k$ ；C.2 的算法基础

第一行值得多看一眼：高斯波包越窄（ $\sigma$ 小），动量分布越宽—— 这就是不确定性原理在傅里叶层面的体现，且高斯恰好取到下限 $\sigma_x\sigma_p=\hbar/2$ 。

Parseval 定理与卷积定理

Parseval（Plancherel）定理：变换前后「总量不变」，

\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(x)\rvert^2\,\dd x=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\tilde f(k)\rvert^2\,\dd k\tag{A.2.5}

物理翻译： $\psi(x)$ 归一化了， $\phi(p)$ 就自动归一化—— 在位置表象里总概率是 1，换到动量表象还是 1。这就是为什么 $\lvert\phi(p)\rvert^2$ 可以直接解释为动量的概率密度。

卷积定理：两个函数的卷积 $(f*g)(x)=\int f(y)\,g(x-y)\,\dd y$ （把 $g$ 平移到各处、按 $f$ 加权叠起来），变换后变成乘积：

\widetilde{f*g}(k)=\sqrt{2\pi}\,\tilde f(k)\,\tilde g(k)\tag{A.2.6}

用途：卷积难算、乘法好算，所以「变换—相乘—变回来」是标准套路。数值上这正是 FFT 卷积的原理，也是 C.2 分步算符法每一步做的事。

高斯积分

量子力学里出现频率最高的积分家族。基本式（ $\operatorname{Re}a>0$ ）：

\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-ax^2}\,\dd x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{A.2.7}

带线性项的高斯积分：配方法基础~5 min

目标：

I=\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-ax^2+bx}\,\dd x\tag{A.2.8}

配方。把指数写成完全平方：

-ax^2+bx=-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}\tag{A.2.9}

平移积分变量 $u=x-b/2a$ （积分限不变），常数因子提出去：

I=\ee^{b^2/4a}\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-au^2}\,\dd u =\sqrt{\frac{\pi}{a}}\;\ee^{b^2/4a}\tag{A.2.10}

这一个式子就够对付大部分场合： $b$ 可以是复数（比如 $b=\ii k$ ，这正是「高斯的傅里叶变换还是高斯」的来历）， $a$ 也可以带虚部（路径积分里 $a\propto\ii$ ，即 Fresnel 积分，结果形式相同，理解为极限意义下收敛）。

带多项式的版本用「对参数求导」生成：

\int x^2\,\ee^{-ax^2}\dd x=-\frac{\partial}{\partial a}\int\ee^{-ax^2}\dd x =\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{A.2.11}

奇次幂 $\int x^{2n+1}\ee^{-ax^2}\dd x=0$ （奇函数对称区间积分为零）。

本节关键公式

动量表象（ħ 约定）
$\phi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\psi(x)\,\ee^{-\ii px/\hbar}\,\dd x$
即 ⟨p|ψ⟩，插入动量完备基
δ 函数的平面波表示
$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{\ii kx}\,\dd k$
连续基正交归一化的来源
Parseval 定理
$\int|\psi(x)|^2\dd x=\int|\phi(p)|^2\dd p$
位置归一 ⇔ 动量归一，|φ(p)|² 才有概率解释
卷积定理
$\widetilde{f*g}=\sqrt{2\pi}\,\tilde f\,\tilde g$
卷积难算就去傅里叶空间做乘法
高斯积分
$\int_{-\infty}^{\infty}\ee^{-ax^2+bx}\dd x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,\ee^{b^2/4a}$
配方 + 平移；b 可为复数，路径积分的基本砖块

傅里叶分析速查

建议先掌握

学完本节你应该能

变换约定

δ 函数

常用变换对表

Parseval 定理与卷积定理

高斯积分

本节关键公式

自测共 3 题

变换约定

δ 函数

常用变换对表

Parseval 定理与卷积定理

高斯积分

∎本节关键公式

本节关键公式