波函数的概率诠释

上一章结尾我们停在一个尴尬的地方：de Broglie 说粒子有波长，双缝实验说电子确实会干涉。 那么——是什么在波动？

水波里波动的是水面高度，声波里是空气压强，电磁波里是电场和磁场。 这些量都能直接测。电子波呢？1926 年薛定谔写下方程时，他自己也没答案。 他猜波函数描述的是电子电荷在空间中的实际弥散分布。这个猜想很快被证明是错的。

给出正确答案的是 Max Born，就在同一年，而且是写在一篇论文的脚注里。

Born 规则

严格地说：对一个处于状态 $\Psi(x,t)$ 的粒子做一次位置测量，结果落在 $[a,b]$ 内的概率是

$$P(a \le x \le b) = \int_a^b |\Psi(x,t)|^2 \,\dd x\tag{2.1.1}$$

这里 $|\Psi|^2 = \Psi^*\Psi$，因为 $\Psi$ 一般是复数。我们把

$$\rho(x,t) \equiv |\Psi(x,t)|^2\tag{2.1.2}$$

叫做概率密度。注意它的量纲：在一维情形下是 $1/\text{长度}$，所以 $\rho$ 本身不是概率， $\rho\,\dd x$ 才是。

为什么必须取模平方

复数的模平方看起来像是个技术性操作，其实它同时解决了两个问题。

推导：为什么是 |Ψ|² 而不是 Ψ 或 Re Ψ基础~4 min展开

概率密度必须满足两条硬性要求：

1. 非负：$\rho(x) \ge 0$。概率不能是负数。
2. 可叠加出干涉：两条路径的贡献相加时要能出现相消。

先看能不能直接用 $\Psi$。薛定谔方程的解一般是复数，$\Psi$ 本身可以取负值甚至虚值， 第 1 条就废了。

那用 $\operatorname{Re}\Psi$ 或 $|\Psi|$ 呢？非负性可以靠取绝对值解决，但会破坏第 2 条。 关键在于：叠加发生在 $\Psi$ 的层面，不是在 $\rho$ 的层面。双缝实验里

$$\Psi = \Psi_1 + \Psi_2\tag{2.1.5}$$

于是

$$\rho = |\Psi_1+\Psi_2|^2 = |\Psi_1|^2 + |\Psi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(\Psi_1^*\Psi_2)\tag{2.1.6}$$

最后那一项就是干涉项。写成极坐标 $\Psi_j = |\Psi_j|\ee^{\ii\varphi_j}$，它等于

$$2|\Psi_1||\Psi_2|\cos(\varphi_2-\varphi_1)\tag{2.1.7}$$

相位差决定了这一项是加强还是抵消。如果我们直接用 $|\Psi|$ 相加， $\rho = (|\Psi_1|+|\Psi_2|)^2$ 永远大于各自之和，干涉条纹就永远不会出现。

所以：复数提供相位，相位提供干涉，取模平方提供非负的概率。三者缺一不可。 这也是为什么量子力学离不开复数——它不是数学上的方便，是物理上的必须。

动手看一眼

下面这个模拟画的是一维无限深势阱里的粒子。紫色曲线就是 $|\Psi|^2$—— 它下面的面积（在给定区间上）就是在那个区间找到粒子的概率。 势阱本身要到 2.7 节 才解， 这里只关心一件事：蓝线（$\psi$）可正可负，紫线（$|\psi|^2$）永远非负。

◈一维无限深势阱

拖动宽度 L 与量子数 n，看能量、波形与概率分布怎么一起变。单位取 ħ = m = 1。

能量 Eₙ (n=1)

4.935

相对 E₁(L=1)

1.00 ×

⟨x⟩ / L

0.500

Δx / L

0.180

阱宽 L1.00

缩小盒子，所有能级一起被顶上去：E ∝ 1/L²

量子数 n1

节点数 = n − 1 = 0（不含两端）

状态

定态 ψₙ叠加态

显示 ψ显示 |ψ|²

把量子数 $n$ 调到 3，你会看到 $\psi$ 在阱内穿过零点两次。 在那些零点上，粒子出现的概率严格为零——尽管两侧都有可观的概率。 经典粒子在盒子里来回弹的话，绝不可能「永远不经过某个中间位置」。这已经是很强的量子效应了。

一个具体的计算

例题：给定波函数，求区间概率基础~5 min展开

设一个粒子的波函数为

$$\Psi(x) = \begin{cases} A\,x(L-x), & 0 \le x \le L\\ 0, & \text{其他}\end{cases}$$

第一步：定归一化常数 $A$。

$$1 = \int_0^L |A|^2 x^2(L-x)^2\,\dd x = |A|^2\int_0^L (L^2x^2 - 2Lx^3 + x^4)\,\dd x\tag{2.1.8}$$

逐项积分：

$$\int_0^L L^2x^2\dd x = \frac{L^5}{3},\quad \int_0^L 2Lx^3\dd x = \frac{L^5}{2},\quad \int_0^L x^4\dd x = \frac{L^5}{5}\tag{2.1.9}$$$$1 = |A|^2 L^5\left(\frac13-\frac12+\frac15\right) = |A|^2\frac{L^5}{30} \;\Longrightarrow\; A = \sqrt{\frac{30}{L^5}}\tag{2.1.10}$$

第二步：求粒子在左边四分之一区域的概率。

$$P\left(0\le x\le \tfrac{L}{4}\right) = \frac{30}{L^5}\int_0^{L/4}x^2(L-x)^2\dd x\tag{2.1.11}$$$$= \frac{30}{L^5}\left[\frac{L^2x^3}{3}-\frac{Lx^4}{2}+\frac{x^5}{5}\right]_0^{L/4} = \frac{30}{L^5}\cdot L^5\left(\frac{1}{192}-\frac{1}{512}+\frac{1}{5120}\right)\tag{2.1.12}$$

通分（公分母 15360）：$\frac{80}{15360}-\frac{30}{15360}+\frac{3}{15360}=\frac{53}{15360}$，于是

$$P = 30\cdot\frac{53}{15360} = \frac{53}{512}\approx 0.1035\tag{2.1.13}$$

约 10.4%。作为对照，均匀分布下这个区间的概率是 25%—— 这个波函数把粒子往中间挤了，因为它在两端为零。

∎本节关键公式

• Born 规则

  $$P(a\le x\le b)=\int_a^b|\Psi(x,t)|^2\,\dd x$$

  把波函数与实验联系起来的唯一桥梁

• 概率密度

  $$\rho(x,t)=|\Psi(x,t)|^2=\Psi^*\Psi\ \ge 0$$

  量纲是 1/长度，ρdx 才是概率

• 干涉项

  $$|\Psi_1+\Psi_2|^2=|\Psi_1|^2+|\Psi_2|^2+2|\Psi_1||\Psi_2|\cos(\varphi_2-\varphi_1)$$

  叠加发生在 Ψ 层面，干涉来自相位差

?自测共 3 题

1. 1.

   某粒子的波函数在 x₀ 处满足 Ψ(x₀) = −0.4（单位略）。关于在 x₀ 附近找到粒子的概率密度，下列说法正确的是：

   • 概率密度为 0.16，负号不影响概率
   • 概率密度为 −0.4，说明该处存在负概率
   • 概率密度为 0.4，取绝对值即可
   • 波函数为负说明该处不可能找到粒子

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2. 2.

   为什么量子力学中的波函数必须允许取复数值？（多选）

   多选题

   • 需要相位来产生干涉现象
   • 因为概率必须是复数
   • 实值函数无法同时满足非负性与可干涉性
   • 因为薛定谔方程含有虚数单位 i，实值解一般不存在

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3. 3.

   波函数 Ψ(x) = A·x(L−x) 在 0 ≤ x ≤ L 内（其余为零）。取 L = 1，求粒子出现在 [0, 0.25] 内的概率（保留三位小数）。

   允许 3% 相对误差

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接下来

Born 规则里那个「$\int|\Psi|^2 = 1$」不是随便加的条件——它必须在任何时刻都成立， 否则粒子会凭空消失。下一节我们证明薛定谔方程恰好保证了这一点， 并顺带得到一个描述「概率往哪里流」的量。