氢原子完整解析解

无量纲化。 束缚态 $E<0$，定义

$\kappa$ 有长度倒数的量纲（远处 $u\sim\ee^{-\kappa r}$，它就是衰减率）。用它把长度无量纲化：$\rho\equiv\kappa r$。方程两边除以 $E$ 整理后：

所有物理常数都被压缩进唯一的无量纲数 $\rho_0$ 里。注意 $\rho_0\propto1/\kappa\propto1/\sqrt{-E}$：求能量就是求 $\rho_0$ 允许取哪些值。

远端渐近。 $\rho\to\infty$ 时方括号里只剩 1：

增长解必须扔掉（$B=0$），否则不可归一。所以远处 $u\sim\ee^{-\rho}$。

近端渐近。 $\rho\to0$ 时 $1/\rho^2$ 项称霸（$l\ge1$ 时；$l=0$ 的结论也一样，可单独验证）：

$\rho^{-l}$ 违反 $u(0)=0$，扔掉（$D=0$）。这正是上一节从离心势垒读出的行为。

剥掉两头。 既然解在两端的模样已经强制确定，就把它们提出来作因子，写

未知函数只剩中段的 $v(\rho)$。如果运气好，$v$ 会是个多项式——真的会。

代入得 $v$ 的方程。 对 $u=\rho^{l+1}\ee^{-\rho}v$ 求两次导（过程繁而不难，建议自己算一遍），整理后：

幂级数试解。 设 $v(\rho)=\sum_{j=0}^{\infty}c_j\rho^j$，逐项求导代入，合并同幂次（标准操作：把哑指标移一位使各项都对齐到 $\rho^j$），得每个幂次的系数都必须为零：

一条递推关系决定一切：给定 $c_0$，整个级数就定了。

关键一步：看大 $j$ 行为。 当 $j$ 很大时，

哪个熟悉的级数有这个比值？$\ee^{2\rho}=\sum\frac{(2\rho)^j}{j!}$，它的相邻系数之比正是 $2/(j+1)$。所以级数若无穷延续，$v\sim\ee^{2\rho}$，于是

辛辛苦苦扔掉的增长解从后门溜了回来。 数学在这里没有商量余地：要么波函数在无穷远爆炸（物理上不允许），要么级数在某一项戛然截断。

截断条件。 递推的分子在某个 $j=j_\text{max}$ 处恰好为零，之后所有系数全灭：

右边是偶数的正整数倍。定义主量子数

则 $\rho_0=2n$。量子化不是假设出来的，是归一化条件逼出来的——和无限深势阱里「波必须在墙上归零」如出一辙，只是这次「墙」是无穷远处的归一化要求。

换算回能量。 由 $\rho_0=\mu e^2/2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa=2n$ 解出 $\kappa=\mu e^2/4\pi\varepsilon_0\hbar^2 n$，再用 $E=-\hbar^2\kappa^2/2\mu$：

同时 $\kappa=1/na$，其中

玻尔半径自己从方程里走了出来——但这次它不是轨道半径，而是波函数的天然长度单位：$n=1$ 的态在 $r\sim a$ 的尺度上衰减。

附带的红利。 由 $j_\text{max}=n-l-1\ge0$ 立刻得到

角量子数被主量子数封顶——上一节从「碗太浅」猜到的约束，在这里成为严格结论。