跳到正文
EN

5.1

轨道角动量算符

把经典的 L = r × p 搬进量子力学，得到的三个分量互相不对易——而正是这一点决定了它的一切。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出 L̂ 的三个分量算符，并解释为什么它们没有排序歧义
  • 完整推出 [L̂ₓ, L̂ᵧ] = iħL̂_z，并说明它对「同时测准」意味着什么
  • 验证 L² 与任一分量对易，说明为什么标准选择是 (L², L_z)
  • 解释「对易关系本身就是角动量的定义」这句话的含义

到目前为止，我们解过的所有问题都是一维的：粒子在一条线上运动。 但真实的原子是三维的——电子绕着原子核转。 一旦有「绕着转」，经典力学里立刻出现一个主角：角动量。

先看它在经典物理里为什么重要。行星绕太阳、电子绕原子核， 都是中心力场问题：力永远指向中心。这种情况下 L⃗=r⃗×p⃗\vec L=\vec r\times\vec p 是守恒量——它的方向锁定了轨道平面， 它的大小决定了轨道的「胖瘦」。开普勒第二定律（等面积律）就是角动量守恒的另一种说法。

而实验早就在暗示：原子里的角动量不是连续的。 把发光的原子放进磁场，光谱线会分裂成有限的几条（Zeeman 效应）， 仿佛角动量在空间中只能取几个离散的方向。玻尔模型干脆假设 L=nℏL=n\hbar—— 具体数值后来被证明是错的，但「角动量量子化」的直觉方向完全正确。

这一章要回答的就是：量子力学里的角动量到底长什么样、能取哪些值、 以及为什么它会带出一个经典物理里完全不存在的新事物——自旋。

从经典量到算符

第 3 章的公设告诉我们造算符的规则： 把经典表达式里的 xx 和 pp 换成算符。对角动量：

L⃗^=r⃗^×p⃗^⟹L^x=y^p^z−z^p^yL^y=z^p^x−x^p^zL^z=x^p^y−y^p^x\hat{\vec L}=\hat{\vec r}\times\hat{\vec p} \quad\Longrightarrow\quad \begin{aligned} \hat L_x&=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y\\ \hat L_y&=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z\\ \hat L_z&=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x \end{aligned}

三个式子其实是一个式子：把 x→y→z→xx\to y\to z\to x 轮换就能从一条得到另两条。

关键计算：分量之间对易吗？

3.6 节的教训是：两个可观测量能不能同时确定， 全看它们的对易子。所以拿到三个新算符，第一件事就是算对易子。

计算 [L̂ₓ, L̂ᵧ]基础~6 min

目标：[L^x,L^y]=[y^p^z−z^p^y,  z^p^x−x^p^z][\hat L_x,\hat L_y]=[\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y,\;\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z]。

第一步：展开成四项。 对易子对两边都是线性的，所以

[L^x,L^y]=[y^p^z,z^p^x]−[y^p^z,x^p^z]−[z^p^y,z^p^x]+[z^p^y,x^p^z](5.1.1)[\hat L_x,\hat L_y] =[\hat y\hat p_z,\hat z\hat p_x] -[\hat y\hat p_z,\hat x\hat p_z] -[\hat z\hat p_y,\hat z\hat p_x] +[\hat z\hat p_y,\hat x\hat p_z]\tag{5.1.1}

第二步：先扔掉平庸项。 第二项里出现的算符是 y^,p^z,x^\hat y,\hat p_z,\hat x—— 两两全部对易（不同方向的坐标与动量互不干涉），所以整项为零。 第三项里是 z^,p^y,p^x\hat z,\hat p_y,\hat p_x，同理为零。只剩第一、四项。

第三步：算第一项。 用乘积规则 [A^B^,C^D^][\hat A\hat B,\hat C\hat D] 拆开会很繁琐， 不如注意到这里唯一「有火花」的一对是 p^z\hat p_z 和 z^\hat z（[z^,p^z]=iℏ[\hat z,\hat p_z]=\ii\hbar）， 其余算符都旁观。把旁观者提出来：

[y^p^z,z^p^x]=y^ [p^z,z^] p^x=y^(−iℏ)p^x=−iℏ y^p^x(5.1.2)[\hat y\hat p_z,\hat z\hat p_x]=\hat y\,[\hat p_z,\hat z]\,\hat p_x =\hat y(-\ii\hbar)\hat p_x=-\ii\hbar\,\hat y\hat p_x\tag{5.1.2}

（[p^z,z^]=−[z^,p^z]=−iℏ[\hat p_z,\hat z]=-[\hat z,\hat p_z]=-\ii\hbar。）

第四步：算第四项。 这里有火花的一对是 z^\hat z 和 p^z\hat p_z：

[z^p^y,x^p^z]=p^y [z^,p^z] x^=iℏ x^p^y(5.1.3)[\hat z\hat p_y,\hat x\hat p_z]=\hat p_y\,[\hat z,\hat p_z]\,\hat x =\ii\hbar\,\hat x\hat p_y\tag{5.1.3}

第五步：合起来。

[L^x,L^y]=−iℏ y^p^x+iℏ x^p^y=iℏ(x^p^y−y^p^x)=iℏL^z(5.1.4)[\hat L_x,\hat L_y]=-\ii\hbar\,\hat y\hat p_x+\ii\hbar\,\hat x\hat p_y =\ii\hbar(\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x)=\ii\hbar\hat L_z\tag{5.1.4}

轮换 x→y→z→xx\to y\to z\to x 立刻得到另外两条。三条合写成：

[L^x,L^y]=iℏL^z,[L^y,L^z]=iℏL^x,[L^z,L^x]=iℏL^y(5.1.5)[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z,\qquad [\hat L_y,\hat L_z]=\ii\hbar\hat L_x,\qquad [\hat L_z,\hat L_x]=\ii\hbar\hat L_y\tag{5.1.5}

结果不是零。这一行小小的计算，后果非常大。

物理图像

直觉：角动量矢量「指不准」。

经典角动量是一支实实在在的箭：三个分量同时有确定值，箭指向确定方向。

量子角动量做不到。[L^x,L^y]=iℏL^z≠0[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z\neq0 说明 LxL_x 和 LyL_y 一般不能同时确定——你把 LzL_z 测准了， LxL_x 和 LyL_y 就变成一片概率云。

正确的画面不是一支箭，而是一个圆锥面：LzL_z 确定（锥的高度确定）、 长度 ∣L⃗∣|\vec L| 确定（锥的斜边确定），但箭在锥面上「哪里都是、哪里都不是」。

数学形式

公式：广义不确定性关系的直接应用。

把 3.6 节的广义不确定性关系 σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A\sigma_B\ge\frac12|\langle[\hat A,\hat B]\rangle| 用在这里：

σLxσLy≥ℏ2∣⟨L^z⟩∣(5.1.6)\sigma_{L_x}\sigma_{L_y}\ge\frac{\hbar}{2}\left|\langle\hat L_z\rangle\right|\tag{5.1.6}

注意右边是期望值而不是常数：与 σxσp≥ℏ/2\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2 不同， 这条下界随态变化。⟨L^z⟩=0\langle\hat L_z\rangle=0 的态上， LxL_x 与 LyL_y 是允许同时为零的——比如角动量完全为零的球对称态。

有什么是能同时确定的？

三个分量互相打架，那还有没有和它们「和平共处」的量？ 有：角动量的大小的平方

L^2≡L^x2+L^y2+L^z2(5.1.7)\hat L^2\equiv\hat L_x^2+\hat L_y^2+\hat L_z^2\tag{5.1.7}
验证 [L², L̂_z] = 0基础~4 min

逐项算。先用一个通用的小工具（乘积规则）：

[A^2,B^]=A^[A^,B^]+[A^,B^]A^(5.1.8)[\hat A^2,\hat B]=\hat A[\hat A,\hat B]+[\hat A,\hat B]\hat A\tag{5.1.8}

第一项 [L^x2,L^z][\hat L_x^2,\hat L_z]：由 [L^x,L^z]=−iℏL^y[\hat L_x,\hat L_z]=-\ii\hbar\hat L_y，

[L^x2,L^z]=L^x(−iℏL^y)+(−iℏL^y)L^x=−iℏ(L^xL^y+L^yL^x)(5.1.9)[\hat L_x^2,\hat L_z]=\hat L_x(-\ii\hbar\hat L_y)+(-\ii\hbar\hat L_y)\hat L_x =-\ii\hbar(\hat L_x\hat L_y+\hat L_y\hat L_x)\tag{5.1.9}

第二项 [L^y2,L^z][\hat L_y^2,\hat L_z]：由 [L^y,L^z]=iℏL^x[\hat L_y,\hat L_z]=\ii\hbar\hat L_x，

[L^y2,L^z]=iℏ(L^yL^x+L^xL^y)(5.1.10)[\hat L_y^2,\hat L_z]=\ii\hbar(\hat L_y\hat L_x+\hat L_x\hat L_y)\tag{5.1.10}

第三项 [L^z2,L^z]=0[\hat L_z^2,\hat L_z]=0（任何算符和自己的幂对易）。

三项相加，前两项恰好一正一负抵消：

[L^2,L^z]=0(5.1.11)[\hat L^2,\hat L_z]=0\tag{5.1.11}

由对称性（式子里三个方向地位平等），L^2\hat L^2 与 L^x,L^y\hat L_x,\hat L_y 也对易。

所以量子力学允许我们同时确定的最大组合是：长度加一个分量。 习惯上选 (L^2,L^z)(\hat L^2,\hat L_z)——选 zz 没有任何物理特殊性，纯粹是记号传统 （真做实验时，「zz 方向」就是你磁场指的方向）。 这正是圆锥图像的代数来源：锥的斜边（∣L⃗∣|\vec L|）和高（LzL_z）可以同时确定， 方位角不行。

为什么说对易子能决定谱

下一步自然是问：L^2\hat L^2 和 L^z\hat L_z 的本征值是多少？

按第 2 章的老办法，应该写出微分方程去解。但这里有一条惊人的捷径： 光靠对易关系，一行微分方程都不解，就能把全部本征值定出来。

思路的种子已经见过：谐振子的代数解法里，[a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1 一条对易关系就迫使能级排成 ℏω\hbar\omega 的等间隔阶梯—— 对易子规定「爬梯」的步长，正定性规定梯子的底，谱就被锁死了。 角动量的对易关系更复杂（右边不是常数而是算符），但同一套策略仍然有效： 用 L^x±iL^y\hat L_x\pm\ii\hat L_y 造出在 LzL_z 本征值上一格一格爬的「梯算符」， 再用 L^2\hat L^2 有限这一条把梯子的顶和底堵住。

本节关键公式

  • 角动量算符

    L^z=x^p^y−y^p^x(x→y→z→x 轮换)\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x\quad(x\to y\to z\to x\ \text{轮换})

    各项内部坐标与动量方向不同，无排序歧义，自动厄米

  • 基本对易关系

    [L^x,L^y]=iℏL^z 及其轮换[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z\ \text{及其轮换}

    角动量的真正定义；满足它的都是角动量

  • 不确定性关系

    σLxσLy≥ℏ2∣⟨L^z⟩∣\sigma_{L_x}\sigma_{L_y}\ge\frac{\hbar}{2}\lvert\langle\hat L_z\rangle\rvert

    下界依赖于态；⟨L_z⟩=0 时允许两者同时为零

  • 相容的搭档

    [L^2,L^i]=0(i=x,y,z)[\hat L^2,\hat L_i]=0\quad(i=x,y,z)

    长度加一个分量可同时确定，习惯取 (L², L_z)

自测共 4 题

  1. 1.

    为什么 L̂_z = x̂p̂_y − ŷp̂_x 的构造不存在算符排序歧义？

  2. 2.

    关于 σ_{L_x}σ_{L_y} ≥ (ħ/2)|⟨L̂_z⟩|，下列说法正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    既然三个分量互不对易，为什么还能把 L̂² 和 L̂_z 一起用作标签？

  4. 4.

    某态的 L̂² 本征值为 6ħ²（下一节会看到这对应 l = 2）。角动量的大小 |L| 是 ħ 的多少倍？（保留三位小数）

    ħ允许 1% 相对误差

接下来

我们已经把赌注押在了对易关系上：宣称光靠

[L^x,L^y]=iℏL^z 及其轮换(5.1.13)[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z\ \text{及其轮换}\tag{5.1.13}

就能定出 L^2\hat L^2 与 L^z\hat L_z 的全部本征值。

下一节兑现这个承诺——用梯算符一步步爬出整个谱。而且答案里会藏一个惊喜： 代数允许的本征值比轨道运动实际用到的多出一半， 那多出来的一半，正是自旋的座位。

全站第 36 / 106 节 · 用 ← → 翻页