11. 近似方法的物理图像 · 量子力学阶梯

近似方法的物理图像

搞清楚微扰、变分、WKB 三种手法各自在「改动什么」，以及它们什么时候会失效。

本模块为草稿：场景可用，文字与观察指南还在打磨。

你将看见什么

现实中的量子体系几乎全都解不出来。氢原子是个幸运的例外，多一个电子（氦）就已经没有解析解了。

所以量子力学的实用部分，很大一块是「怎么在解不出来的时候仍然算得准」。三种主力手法：

\hat H = \hat H_0 + \lambda \hat V,\qquad E_n = E_n^{(0)} + \lambda\langle n|\hat V|n\rangle + \lambda^2\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m|\hat V|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}} + \cdots

一阶修正就是微扰在原态上的期望值——不需要新的波函数。二阶修正总是把基态往下推（分母对基态恒为负），这是「能级互相排斥」的来源。

什么时候失效：分母趋于零时，也就是能级简并或接近简并。那时必须先在简并子空间里对角化（简并微扰论），否则展开发散。

对任意归一化的试探波函数，

E[\psi_{\text{试}}] = \frac{\langle\psi|\hat H|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle} \ \ge\ E_0 .

这个不等式是无条件成立的，所以只要不停地压低期望值，就一定在逼近真实基态能量。

它的好处：不需要微扰是小量，对强耦合同样能用。 它的代价：只给上界，不告诉你差多远；而且能量对试探波函数不敏感（误差是二阶的），所以算出的能量很准时，波函数可能仍然很糙。

氦原子基态用一个「有效核电荷 $Z_{\text{eff}}$ 」的试探函数，就能把能量算到实验值的 2% 以内。

\psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}}\exp\!\left[\pm\frac{\ii}{\hbar}\int^x p(x')\,\dd x'\right],\qquad p=\sqrt{2m(E-V)} .

适用条件是德布罗意波长在一个波长内变化不大： $\left|\dd\lambda/\dd x\right|\ll 1$ 。

在经典转折点（ $E=V$ ， $p\to0$ ）附近这个条件必然破裂，需要用艾里函数做连接。连接公式给出的量子化条件

\oint p\,\dd x = \left(n+\tfrac12\right)h

正是玻尔-索末菲量子化的现代版本，那个 $\tfrac12$ 来自两个转折点各贡献的 $\pi/4$ 相位。

WKB 也给出了隧道效应的一般公式：

T \approx \exp\!\left[-\frac{2}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m(V-E)}\,\dd x\right],

不限于矩形垒，α 衰变的 Gamow 因子就是它。