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3.9

时间演化算符与绘景

把时间依赖记在态上还是记在算符上，是可以自由选择的。两种记账方式给出完全相同的物理，但难易可以差很多。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 构造时间演化算符 U(t) 并证明它是幺正的
  • 说明幺正性与概率守恒的等价关系
  • 写出海森堡运动方程，并由它导出守恒律
  • 说清三种绘景各自把时间依赖放在哪里，以及各自适合什么问题

测量是理论里唯一不幺正的一步。剩下的时间里，态都按公设四演化。

这一节把那条演化整理成一个算符——然后会发现一件很实用的事。

演化算符

薛定谔方程

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩(3.9.1)\ii\hbar\frac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)}=\hat H\ket{\psi(t)}\tag{3.9.1}

是一阶的，所以给定 ∣ψ(0)⟩\ket{\psi(0)} 就唯一确定了后面所有时刻。把这个映射写成算符：

∣ψ(t)⟩=U^(t)∣ψ(0)⟩(3.9.2)\ket{\psi(t)}=\hat U(t)\ket{\psi(0)}\tag{3.9.2}
推导：U(t) 的形式基础~5 min

把 ∣ψ(t)⟩=U^(t)∣ψ(0)⟩\ket{\psi(t)}=\hat U(t)\ket{\psi(0)} 代进薛定谔方程：

iℏdU^dt∣ψ(0)⟩=H^U^(t)∣ψ(0)⟩(3.9.3)\ii\hbar\frac{\dd \hat U}{\dd t}\ket{\psi(0)}=\hat H\hat U(t)\ket{\psi(0)}\tag{3.9.3}

对任意初态成立，所以

iℏdU^dt=H^U^,U^(0)=1^(3.9.4)\ii\hbar\frac{\dd\hat U}{\dd t}=\hat H\hat U,\qquad \hat U(0)=\hat 1\tag{3.9.4}

若 H^\hat H 不显含时间，这就是一个标量微分方程的算符版本，解为

 U^(t)=e−iH^t/ℏ (3.9.5)\boxed{\ \hat U(t)=\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}\ }\tag{3.9.5}

算符的指数定义为幂级数：

eA^≡∑n=0∞A^nn!(3.9.6)\ee^{\hat A}\equiv\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\hat A^n}{n!}\tag{3.9.6}

验证：逐项求导，ddte−iH^t/ℏ=−iH^ℏe−iH^t/ℏ\frac{\dd}{\dd t}\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}=-\frac{\ii\hat H}{\hbar}\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}，代入即得。（这一步用到 H^\hat H 与自身对易，所以可以像普通数一样求导。）

幺正性 = 概率守恒

证明 U 是幺正的，以及它意味着什么基础~4 min

H^\hat H 厄米，所以

U^†=(e−iH^t/ℏ)†=e+iH^†t/ℏ=e+iH^t/ℏ=U^−1(3.9.8)\hat U^\dagger=\big(\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}\big)^\dagger=\ee^{+\ii\hat H^\dagger t/\hbar}=\ee^{+\ii\hat Ht/\hbar}=\hat U^{-1}\tag{3.9.8}

（共轭时 i→−i\ii\to-\ii，H^†=H^\hat H^\dagger=\hat H。）即

U^†U^=1^(3.9.9)\hat U^\dagger\hat U=\hat 1\tag{3.9.9}

这就是幺正的定义。

物理后果一：概率守恒。

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩=⟨ψ(0)∣U^†U^∣ψ(0)⟩=⟨ψ(0)|ψ(0)⟩=1(3.9.10)\braket{\psi(t)}{\psi(t)}=\bra{\psi(0)}\hat U^\dagger\hat U\ket{\psi(0)}=\braket{\psi(0)}{\psi(0)}=1\tag{3.9.10}

一次归一化，永远归一化。2.2 节用连续性方程证明的那件事，在这里是一行。

物理后果二：内积保持。

⟨ϕ(t)|ψ(t)⟩=⟨ϕ(0)|ψ(0)⟩(3.9.11)\braket{\phi(t)}{\psi(t)}=\braket{\phi(0)}{\psi(0)}\tag{3.9.11}

正交的态永远正交。 两个可分辨的态不会随时间演化成不可分辨的——这在量子信息里很重要（不可克隆定理、量子纠错都依赖它）。

物理后果三：可逆。 U^(−t)=U^(t)−1\hat U(-t)=\hat U(t)^{-1}，演化可以倒放。信息不会丢失。

这正是与测量的对比所在：测量是投影，不可逆，信息真的丢了。整个测量问题的张力都在这里（3.8 节）。

三种绘景

现在是这一节最有用的一件事。

物理图像

薛定谔绘景（默认）

∣ψS(t)⟩=U^(t)∣ψ(0)⟩,A^S=常(3.9.14)\ket{\psi_S(t)}=\hat U(t)\ket{\psi(0)},\qquad \hat A_S=\text{常}\tag{3.9.14}

态动，算符不动。这是第 2 章一直在用的。

海森堡绘景

∣ψH⟩=常,A^H(t)=U^†A^SU^(3.9.15)\ket{\psi_H}=\text{常},\qquad \hat A_H(t)=\hat U^\dagger\hat A_S\hat U\tag{3.9.15}

算符动，态不动。

⟨A⟩(t) 在两种绘景里相同(3.9.16)\langle A\rangle(t)\ \text{在两种绘景里相同}\tag{3.9.16}

因为它们只是同一个表达式的两种括号打法。

数学形式

海森堡运动方程

对 A^H=U^†A^SU^\hat A_H=\hat U^\dagger\hat A_S\hat U 求导（A^S\hat A_S 不显含 tt）：

dA^Hdt=iℏU^†(H^A^S−A^SH^)U^(3.9.17)\frac{\dd\hat A_H}{\dd t}=\frac{\ii}{\hbar}\hat U^\dagger(\hat H\hat A_S-\hat A_S\hat H)\hat U\tag{3.9.17} dA^Hdt=iℏ[H^,A^H] (3.9.18)\boxed{\ \frac{\dd\hat A_H}{\dd t}=\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat A_H]\ }\tag{3.9.18}

（A^S\hat A_S 显含时间时再加一项 ∂A^/∂t\partial\hat A/\partial t。）

与经典力学的对照：

dAdt={H,A}泊松(3.9.19)\frac{\dd A}{\dd t}=\{H,A\}_{\text{泊松}}\tag{3.9.19}

形式完全平行，只需 { , }→1iℏ[ , ]\{\ ,\ \}\to\frac{1}{\ii\hbar}[\ ,\ ]。这就是正则量子化的配方。

物理图像

相互作用绘景（第三种）

当 H^=H^0+V^\hat H=\hat H_0+\hat V，其中 H^0\hat H_0 可解、V^\hat V 是小扰动时：

∣ψI(t)⟩=eiH^0t/ℏ∣ψS(t)⟩(3.9.21)\ket{\psi_I(t)}=\ee^{\ii\hat H_0t/\hbar}\ket{\psi_S(t)}\tag{3.9.21}A^I(t)=eiH^0t/ℏA^Se−iH^0t/ℏ(3.9.22)\hat A_I(t)=\ee^{\ii\hat H_0t/\hbar}\hat A_S\ee^{-\ii\hat H_0t/\hbar}\tag{3.9.22}

把 H^0\hat H_0 造成的「简单」演化吸收进算符，态只受 V^\hat V 驱动：

iℏddt∣ψI⟩=V^I(t)∣ψI⟩(3.9.23)\ii\hbar\frac{\dd}{\dd t}\ket{\psi_I}=\hat V_I(t)\ket{\psi_I}\tag{3.9.23}

数学形式

该用哪一个

绘景态算符适合
薛定谔动不动波包演化、直观图像
海森堡不动动守恒律、场论、与经典对照
相互作用慢动快动微扰论、散射、含时问题

三者在 t=0t=0 重合，物理预言恒等。选哪个纯粹看哪个算起来省事。

相互作用绘景是含时微扰论与费米黄金规则的出发点（7.5–7.6 节）。

例：海森堡绘景下的自由粒子进阶~5 min

H^=p^2/2m\hat H=\hat p^2/2m。先看动量：

dp^Hdt=iℏ[H^,p^]=0(3.9.24)\frac{\dd\hat p_H}{\dd t}=\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat p]=0\tag{3.9.24}

（p^\hat p 与 p^2\hat p^2 对易。）所以 p^H(t)=p^(0)\hat p_H(t)=\hat p(0) 是常数——动量守恒。

再看位置：

dx^Hdt=iℏ[H^,x^]=i2mℏ[p^2,x^](3.9.25)\frac{\dd\hat x_H}{\dd t}=\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat x]=\frac{\ii}{2m\hbar}[\hat p^2,\hat x]\tag{3.9.25}

用 [p^2,x^]=p^[p^,x^]+[p^,x^]p^=−2iℏp^[\hat p^2,\hat x]=\hat p[\hat p,\hat x]+[\hat p,\hat x]\hat p=-2\ii\hbar\hat p：

dx^Hdt=p^m(3.9.26)\frac{\dd\hat x_H}{\dd t}=\frac{\hat p}{m}\tag{3.9.26}

积分得

x^H(t)=x^(0)+p^(0)mt(3.9.27)\hat x_H(t)=\hat x(0)+\frac{\hat p(0)}{m}t\tag{3.9.27}

和经典的 x=x0+vtx=x_0+vt 一模一样，只是所有量都是算符。

有意思的是，由此可以一行算出波包弥散。用 [x^(0),p^(0)]=iℏ[\hat x(0),\hat p(0)]=\ii\hbar 展开 σx2(t)=⟨x^H2⟩−⟨x^H⟩2\sigma_x^2(t)=\langle\hat x_H^2\rangle-\langle\hat x_H\rangle^2：

σx2(t)=σx2(0)+σp2m2t2+(交叉项)(3.9.28)\sigma_x^2(t)=\sigma_x^2(0)+\frac{\sigma_p^2}{m^2}t^2+(\text{交叉项})\tag{3.9.28}

对初始时刻 ⟨ΔxΔp+ΔpΔx⟩=0\langle\Delta x\Delta p+\Delta p\Delta x\rangle=0 的高斯波包，交叉项为零，代入 σp=ℏ/2σ0\sigma_p=\hbar/2\sigma_0：

σx(t)=σ01+(ℏt2mσ02)2(3.9.29)\sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\left(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\right)^2}\tag{3.9.29}

这正是2.10 节那个展宽公式，当时是靠配方做高斯积分得到的，代数相当繁琐。海森堡绘景把它变成了几行代数。

本节关键公式

  • 时间演化算符

    U^(t)=e−iH^t/ℏ\hat U(t)=\ee^{-\ii\hat Ht/\hbar}

    仅当 Ĥ 不显含时间；否则需编时算符

  • 幺正性

    U^†U^=1^\hat U^\dagger\hat U=\hat 1

    概率守恒、内积保持、演化可逆

  • 能量基下的演化

    ∣ψ(t)⟩=∑ncne−iEnt/ℏ∣n⟩\ket{\psi(t)}=\sum_n c_n\ee^{-\ii E_nt/\hbar}\ket{n}

    解含时问题的标准三步

  • 海森堡运动方程

    dA^Hdt=iℏ[H^,A^H]\frac{\dd\hat A_H}{\dd t}=\frac{\ii}{\hbar}[\hat H,\hat A_H]

    经典泊松括号的量子对应

  • 守恒判据

    [H^,A^]=0 ⟹ A^ 守恒[\hat H,\hat A]=0\ \Longrightarrow\ \hat A\ \text{守恒}

    诺特定理的量子版本

  • 相互作用绘景

    iℏddt∣ψI⟩=V^I(t)∣ψI⟩\ii\hbar\frac{\dd}{\dd t}\ket{\psi_I}=\hat V_I(t)\ket{\psi_I}

    含时微扰论与费米黄金规则的出发点

自测共 4 题

  1. 1.

    U(t) = e^{−iĤt/ħ} 的幺正性直接保证了：（多选）

    多选题

  2. 2.

    海森堡绘景与薛定谔绘景的关系是：

  3. 3.

    由海森堡运动方程，Â 为守恒量的条件是：

  4. 4.

    当 Ĥ 显含时间时，为什么不能简单写成 U = exp(−i∫Ĥdt/ħ)？

接下来

到目前为止，我们假设自己总是知道体系处于哪个态。

但如果不知道呢？比如从炉子里飞出来的原子，自旋方向完全随机；或者一个与环境纠缠的体系，它根本没有自己的态矢量。

下一节引入处理这种情形的工具，它也是第 10 章的入口。

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