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6.6

精细结构

把光谱仪分辨率拧高一档，Hα 裂成了两条——库仑模型给不出的 0.016 nm。三项 α² 量级的修正（相对论动能、自旋轨道耦合、Darwin 项）合力把能级按 j 重新洗牌，1/137 从此进入舞台中央。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用量级估计说明三项精细结构修正为何都落在 α² ≈ 5×10⁻⁵ 的相对大小上
  • 解释自旋轨道耦合的物理图像，并估算电子感受到的内部磁场
  • 使用精细结构公式说明能级如何按 (n, j) 重排、哪些简并保留哪些打破
  • 排出玻尔能级、精细结构、Lamb 移动、超精细结构的能量阶梯

上一节收尾处埋了一颗雷:1887 年,迈克耳孙用他那台后来测以太的干涉仪检查 Hα\mathrm H\alpha（656.3 nm）,发现它是双线——两条线挤在约 0.016 nm 里。此时距薛定谔方程问世还有 39 年;等到 1926 年方程解出 En=−13.6/n2E_n=-13.6/n^2 eV,人们发现这个漂亮答案依然给不出双线:能量只依赖 nn,3→23\to2 就该是一条线。

同样的病症在别处早就见惯:钠的黄光 D 线是 589.0 与 589.6 nm 的双线,肉眼可分。谱线成对出现,像是每个能级都被什么东西轻轻掰成了两半。

掰开它的力量,我们在第 5 章已经全部见过,只差合账。

先估量级:为什么是 α²

修正有三项,先不管细节,把尺子亮出来。

量级估计:v/c 有多大基础~5 min

电子跑多快？ 用维里定理（1.4 节推导里出现过:库仑场中动能 = 结合能大小）,基态动能 13.6 eV,故

12μv2=13.6 eV⟹vc=2×13.6511000=1137(6.6.1)\frac12\mu v^2=13.6\ \text{eV} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c}=\sqrt{\frac{2\times13.6}{511000}}=\frac{1}{137}\tag{6.6.1}

分母 511000 eV 是电子静能 μc2\mu c^2。这个比值不是别人,正是精细结构常数:

α≡e24πε0ℏc≈1137.036(6.6.2)\alpha\equiv\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}\tag{6.6.2}

大白话:α\alpha 度量电磁相互作用的强度,而「基态电子速度 = αc\alpha c」是它在氢原子里最直观的化身。事实上玻尔能级可以整个用它改写:

En=−α22n2 μc2(6.6.3)E_n=-\frac{\alpha^2}{2n^2}\,\mu c^2\tag{6.6.3}

——结合能是静能的 α2/2n2\alpha^2/2n^2 倍。

相对论修正多大？ 动能展开的下一阶比首阶小 (v/c)2(v/c)^2:

ΔErelEn∼(vc)2=α2≈5.3×10−5(6.6.4)\frac{\Delta E_\text{rel}}{E_n}\sim\left(\frac{v}{c}\right)^2=\alpha^2\approx5.3\times10^{-5}\tag{6.6.4}

即约 10−410^{-4} eV 量级——正好对得上双线间距 0.016 nm/656 nm≈2.4×10−50.016\ \text{nm}/656\ \text{nm}\approx2.4\times10^{-5} 的相对劈裂。尺子对上了:精细结构 = 玻尔能级 × α2\alpha^2。这也是「精细结构常数」这名字的由来——它原本就是为这几条细缝而生的。

三项修正

第一项:相对论动能。 把 E=p2c2+μ2c4−μc2E=\sqrt{p^2c^2+\mu^2c^4}-\mu c^2 展开:

E=p22μ−p48μ3c2+⋯(6.6.5)E=\frac{p^2}{2\mu}-\frac{p^4}{8\mu^3c^2}+\cdots\tag{6.6.5}

第二项就是修正的哈密顿量 H^rel=−p^4/8μ3c2\hat H_\text{rel}=-\hat p^4/8\mu^3c^2。它永远压低能量,且对「贴核快跑」的低 ll 态压得更狠。

第二项:自旋轨道耦合。 5.7 节的主角。跳到电子的瞬时静止系里看:质子绕着电子转,一圈正电荷的环流在中心产生磁场;电子自带磁矩（自旋),磁矩在磁场里有取向能。

内部磁场有多强进阶~6 min

电流环磁场的量级:B∼μ04πevr2B\sim\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{ev}{r^2}。代 2p 的典型数字 v≈αc/2≈1.1×106v\approx\alpha c/2\approx1.1\times10^6 m/s、r≈4a0≈2.1×10−10r\approx4a_0\approx2.1\times10^{-10} m:

B∼10−7×(1.6×10−19)(1.1×106)(2.1×10−10)2≈0.4 T(6.6.6)B\sim10^{-7}\times\frac{(1.6\times10^{-19})(1.1\times10^6)}{(2.1\times10^{-10})^2}\approx0.4\ \text{T}\tag{6.6.6}

电子自己给自己造了一块零点几特斯拉的磁铁——比冰箱贴强百倍,和医院核磁共振是同一量级。取向能 ∼μBB≈5.8×10−5×0.4≈2×10−5\sim\mu_B B\approx5.8\times10^{-5}\times0.4\approx2\times10^{-5} eV,又落在 α2\alpha^2 那一档。

规范的写法(含库仑场的具体形式):

H^SO=e28πε0 μ2c2r3 S⃗^⋅L⃗^(6.6.7)\hat H_\text{SO}=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0\,\mu^2c^2r^3}\,\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}\tag{6.6.7}

有一个著名的陷阱:朴素的「换参考系」推导会大出一倍。电子的静止系不是惯性系(它在加速),坐标系本身在进动——Thomas 进动——恰好贡献因子 1/21/2。上式已含此因子。

S⃗^⋅L⃗^\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L} 的本征值用第 5 章的角动量合成立即写出:总角动量 J⃗^=L⃗^+S⃗^\hat{\vec J}=\hat{\vec L}+\hat{\vec S},平方展开得

S⃗^⋅L⃗^=ℏ22[j(j+1)−l(l+1)−s(s+1)](6.6.8)\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}=\frac{\hbar^2}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\tag{6.6.8}

对 l≥1l\ge1,j=l±12j=l\pm\frac12 两个值,S⃗^⋅L⃗^\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L} 一正一负——每条 l≥1l\ge1 的能级被掰成两条。双线的机制找到了。

第三项:Darwin 项。 只作用在 l=0l=0 的态上。相对论量子理论(第 12 章的狄拉克方程)表明,电子的位置存在尺度约为康普顿波长 ℏ/μc=386 fm=α a0\hbar/\mu c=386\ \text{fm}=\alpha\,a_0 的固有「抖动」,它感受到的其实是把库仑势在这个小球内抹平均后的值。对 1/r1/r 势,这种抹平只在势最尖锐的原点处有影响——于是修正正比于 ∣ψ(0)∣2\lvert\psi(0)\rvert^2,而上一节说过,只有 s 态在核上不为零。量级仍是 α2\alpha^2。

劈裂图:以 n = 2 为例

记号:nLjn\mathrm L_j,如 2p3/22\mathrm p_{3/2} 表示 n=2n=2、l=1l=1、j=3/2j=3/2。

能级jj相对未微扰能级的移动简并度 2j+12j+1
2p3/22\mathrm p_{3/2}3/23/2−1.13×10−5-1.13\times10^{-5} eV4
2s1/22\mathrm s_{1/2} 与 2p1/22\mathrm p_{1/2}1/21/2−5.66×10−5-5.66\times10^{-5} eV2 + 2

读图三句话:

  1. 所有能级都被压低(整体 α2\alpha^2 修正为负);
  2. jj 大的沉得少:2p3/22\mathrm p_{3/2} 与 2p1/22\mathrm p_{1/2} 之间拉开 4.5×10−54.5\times10^{-5} eV(约 10.9 GHz)——Hα\mathrm H\alpha 双线的主要来源,迈克耳孙 1887 年看到的就是它;
  3. 2s1/22\mathrm s_{1/2} 与 2p1/22\mathrm p_{1/2} 仍然简并(jj 相同)——库仑势的偶然简并被打剩下的残余。

物理图像

残余简并的下场。 1947 年,兰姆(Willis Lamb)用微波技术直接测 2s1/22\mathrm s_{1/2} 与 2p1/22\mathrm p_{1/2} 的间隔——按上面的公式该是零。结果:不是零,2s1/22\mathrm s_{1/2} 高出 1057 MHz(约 4.4×10−64.4\times10^{-6} eV)。

这就是 Lamb 移动。它来自真空本身:电磁场的量子涨落轻推电子,让它像 Darwin 项那样再「抖」出一点额外弥散,s 态首当其冲。这个测量直接催生了量子电动力学(QED)的重整化革命——氢原子的细缝里,藏着整个现代场论的起点。

数学形式

能量的阶梯(每降一级约小三个数量级):

结构标度典型大小
玻尔能级α2μc2\alpha^2\mu c^2∼10 eV\sim10\ \text{eV}
精细结构α4μc2\alpha^4\mu c^2∼10−4 eV\sim10^{-4}\ \text{eV}
Lamb 移动α5μc2\alpha^5\mu c^2∼10−6 eV\sim10^{-6}\ \text{eV}
超精细结构α4μc2⋅memp\alpha^4\mu c^2\cdot\frac{m_e}{m_p}∼10−6 eV\sim10^{-6}\ \text{eV}

超精细结构:质子也有自旋和磁矩(小 me/mpm_e/m_p 一截),与电子磁矩耦合,把 1s1/21\mathrm s_{1/2} 再劈成两条,间隔 5.9×10−65.9\times10^{-6} eV,即 1420 MHz——波长 21 cm。宇宙中中性氢的 21 cm 辐射是射电天文测银河系旋臂结构、绘制宇宙氢分布图的头号工具。

本节关键公式

  • 精细结构常数

    α=e24πε0ℏc≈1137.036\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}

    基态电子 v/c = α；电磁作用强度的无量纲度量

  • 三项修正

    H^′=−p^48μ3c2+e28πε0μ2c2r3S⃗^⋅L⃗^+H^Darwin\hat H'=-\frac{\hat p^4}{8\mu^3c^2}+\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0\mu^2c^2r^3}\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}+\hat H_{\text{Darwin}}

    相对论动能 + 自旋轨道（含 Thomas 因子 1/2）+ Darwin（仅 s 态）

  • 精细结构能级

    Enj=−13.6 eVn2[1+α2n2(nj+1/2−34)]E_{nj}=-\frac{13.6\ \text{eV}}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{j+1/2}-\frac34\right)\right]

    只依赖 n 与 j；2s_{1/2} 与 2p_{1/2} 仍简并（由 Lamb 移动再破）

  • S·L 的本征值

    S⃗^⋅L⃗^=ℏ22[j(j+1)−l(l+1)−s(s+1)]\hat{\vec S}\cdot\hat{\vec L}=\frac{\hbar^2}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]

    j = l ± 1/2 一正一负：每条 l ≥ 1 能级劈成两条

  • 21 cm 谱线

    ΔEhf(1s)=5.9×10−6 eV  ⇔  1420 MHz\Delta E_{\text{hf}}(1\mathrm s)=5.9\times10^{-6}\ \text{eV}\;\Leftrightarrow\;1420\ \text{MHz}

    超精细结构；射电天文绘制宇宙氢分布的头号谱线

自测共 4 题

  1. 1.

    精细结构修正的相对大小约为 α² ≈ 5×10⁻⁵，最直接的物理原因是：

  2. 2.

    关于自旋轨道耦合，正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    精细结构公式给出 2s_{1/2} 与 2p_{1/2} 完全简并，但实验测到 1057 MHz 的间隔。这个间隔的来源是：

  4. 4.

    用精细结构公式计算 2p_{3/2} 与 2p_{1/2} 的能量间隔，以 10⁻⁵ eV 为单位作答。（提示：ΔE = (13.6/4)·(α²/4)·[2/1 − 2/2] eV，α = 1/137.04）

    ×10⁻⁵ eV允许 30% 相对误差

接下来

精细结构是原子自带的劈裂。下一节我们从外面动手:给原子加一个磁场,或者一个电场,看能级怎样应声裂开。这不只是又两个效应——外场强弱可调,劈裂图样随之连续变形,它是「谁大听谁的」这一微扰思想最好的操练场,也是通往第 7 章的最后一块跳板。

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