WKB 近似

前三节算的都是能级——体系安安静静待在束缚态里，我们问它的能量是多少。这一节的问题完全不同，先从一桩核物理的悬案说起。

铀-238 会放出一颗 4.3 MeV 的 α 粒子，半衰期 45 亿年；钋-212 也放 α 粒子，能量 8.8 MeV，半衰期 0.3 微秒。能量只差 2 倍，寿命差了 10²³ 倍。 1911 年 Geiger 和 Nuttall把一批 α 放射核画在图上，发现寿命的对数与能量之间有整齐的规律——但没人解释得了这条规律，更没人解释得了那个荒谬的跨度。

更糟的是，经典力学连「α 粒子能出来」这件事都不允许。α 粒子在核内感受核力吸引；一旦出核，它与剩余核（电荷约 $90e$）之间是库仑排斥，在核表面处这道势垒高约 28 MeV。一颗 4.3 MeV 的粒子撞向 28 MeV 的墙，经典力学的判决毫不含糊：永远出不去。可是铀矿石就在那里衰变着。

粒子出现在势垒下——我们在 2.11 节对方势垒精确解过隧穿。但库仑势垒不是方的，精确解写不出来，需要一个对任意形状势垒都能算的工具。微扰论帮不上忙：隧穿概率是 $\ee^{-\text{大数}}$ 型的指数小量，它对哈密顿量的依赖是非解析的，任何有限阶的幂级数展开都得到零。需要一个专门对付指数的近似。

局部平面波

定态方程

$$\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}=-\frac{p^2(x)}{\hbar^2}\psi, \qquad p(x)\equiv\sqrt{2m\left[E-V(x)\right]}\tag{7.4.1}$$

若 $V$ 是常数，解是平面波 $\ee^{\pm\ii px/\hbar}$，波长 $\lambda=h/p$。WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）的核心想法只有一句话：如果 $V(x)$ 在一个波长的尺度上几乎不变，波函数在每一点仍然近似是平面波，只是波长跟着当地的 $p(x)$ 逐点调整。 像一列穿过缓坡的水波：坡缓，波还是波，只是疏密渐变。

WKB 波函数：相位积分与 1/√p 振幅基础~10 min展开

第一步：把波函数写成振幅乘相位。

任何复函数都可以写成

$$\psi(x)=A(x)\,\ee^{\ii\phi(x)}\tag{7.4.2}$$

（$A,\phi$ 为实函数）。代入定态方程，实部与虚部分别归零：

$$A''-A\,(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A \qquad\text{（实部）}\tag{7.4.3}$$$$2A'\phi'+A\phi''=0 \qquad\text{（虚部）}\tag{7.4.4}$$

到此还没有任何近似。

第二步：虚部方程可以精确解。

虚部方程两边乘 $A$，恰好是全导数 $\left(A^2\phi'\right)'=0$，故

$$A=\frac{C}{\sqrt{\phi'}}\tag{7.4.5}$$

第三步：近似只做一次。

实部方程里含 $A''$ 的那一项，是振幅弯曲的贡献。「势变化缓慢」的假设翻译过来就是振幅变化远慢于相位振荡：丢掉 $A''$（下一段马上回头检验），剩

$$(\phi')^2=\frac{p^2}{\hbar^2} \quad\Longrightarrow\quad \phi(x)=\pm\frac{1}{\hbar}\int^x p(x')\,\dd x'\tag{7.4.6}$$

合并：

$$\psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}\, \exp\!\left[\pm\frac{\ii}{\hbar}\int^x p(x')\,\dd x'\right]\tag{7.4.7}$$

相位是动量的积分——平面波的 $px/\hbar$ 推广成逐点累积的 $\int p\,\dd x/\hbar$。

振幅 $1/\sqrt p$ 有干净的物理解释：概率密度 $|\psi|^2\propto1/p\propto1/v$。经典粒子跑得慢的地方停留时间长——这正是 2.7 节末尾对应原理的翻版：WKB 是自带经典极限的近似。

第四步：经典禁区。

$E$ 小于 $V$ 的区域里 $p$ 变成纯虚数。记 $\kappa(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}/\hbar$， 振荡解换成指数解：

$$\psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{\kappa(x)}}\, \exp\!\left[\pm\int^x\kappa(x')\,\dd x'\right]\tag{7.4.8}$$

——渗入禁区的波函数按积累的 $\int\kappa\,\dd x$ 指数衰减。隧穿的种子就埋在这里。

这个近似什么时候成立？ 回头检验丢掉的 $A''$ 项，条件整理出来是

$$\left|\frac{\dd\lambda}{\dd x}\right|\ll1, \qquad \lambda(x)=\frac{2\pi\hbar}{p(x)}\tag{7.4.9}$$

波长在一个波长内的变化必须远小于波长自己——「势变化缓慢」的精确版。它在两种场合成立得很好：势平缓，或能量很高（$p$ 大、$\lambda$ 短，再普通的势相对短波长也算「平缓」）。所以 WKB 又叫半经典近似： $\lambda\to0$ 正是量子往经典退化的极限。

收货一：量子化条件

两个转折点 $x_1,x_2$ 之间来回振荡的束缚态，连接公式要求相位积分满足

$$\int_{x_1}^{x_2}p(x)\,\dd x=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar, \qquad n=0,1,2,\dots\tag{7.4.10}$$

这就是Bohr–Sommerfeld 量子化条件——旧量子论里 Bohr 和 Sommerfeld当年靠猜写下的规则（1.4 节），在这里从薛定谔方程里被正式推导出来，还多出一个当年猜不到的 $\tfrac12$（它来自波函数在转折点外的指数尾巴，相当于每次「软反弹」偷走 $\pi/2$ 的相位）。

检验：谐振子。 $V=\tfrac12m\omega^2x^2$，相位积分是个椭圆面积，算出来是 $\pi E/\omega$。代入条件：

$$\frac{\pi E}{\omega}=\left(n+\frac12\right)\pi\hbar \quad\Longrightarrow\quad E_n=\left(n+\frac12\right)\hbar\omega\tag{7.4.11}$$

与精确解一字不差——连零点能都对（这是谐振子的巧合，别的势没这待遇，但大 $n$ 时 WKB 能级总是趋于精确）。一个近似方法能白送整套能谱，性价比惊人。

收货二：隧穿因子

宽势垒（进出两个转折点 $x_1,x_2$）的连接公式给出穿透概率

$$T\approx\ee^{-2\gamma},\qquad \gamma=\frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,\dd x =\frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\left[V(x)-E\right]}\,\dd x\tag{7.4.12}$$

读法：波函数穿过禁区时按 $\ee^{-\gamma}$ 衰减，概率是振幅的平方。指数上是整段势垒的面积式积分——势垒越高、越宽、粒子越重，$\gamma$ 线性地涨， $T$ 指数地塌。

先代一个门槛级的数：电子撞向高出其能量 $1\ \text{eV}$、宽 $0.5\ \text{nm}$ 的方势垒。

$$\kappa=\frac{\sqrt{2mc^2\cdot(1\,\text{eV})}}{\hbar c} =\frac{\sqrt{2\times511000}}{197.3}\approx5.1\ \text{nm}^{-1}, \qquad T\approx\ee^{-2\times5.1\times0.5}\approx6\times10^{-3}\tag{7.4.13}$$

每一百六十次尝试穿过去一次——扫描隧道显微镜正靠这个吃饭： $\gamma$ 对宽度的指数敏感让隧穿电流随针尖高度每 0.1 nm 变化近一个数量级， 所以 STM 能「摸」出单个原子的起伏。

α 衰变：Gamow 解开三十个数量级进阶~10 min展开

1928 年 Gamow（以及独立的 Gurney 与 Condon）把隧穿因子对准了铀。模型：α 粒子在核内（半径 $r_0\approx9\ \text{fm}$）来回碰壁，每次碰壁以概率 $T$ 穿出库仑势垒

$$V(r)=\frac{2(Z-2)e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\qquad(r>r_0)\tag{7.4.14}$$

（$2$ 是 α 粒子电荷数，$Z-2$ 是剩余核。铀衰变成钍，$Z-2=90$， $V(r_0)\approx\dfrac{2\times90\times1.44\ \text{MeV}\cdot\text{fm}}{9\ \text{fm}}\approx29\ \text{MeV}$， 远高于 $E_\alpha\approx4.3\ \text{MeV}$——经典禁区名副其实。）

外转折点在 $V(r_2)=E$ 处。把 $\kappa$ 沿库仑尾巴积分（初等换元可积），在 $r_2\gg r_0$ 的极限下主导项是

$$2\gamma\approx\frac{2\pi\cdot2(Z-2)e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\sqrt{\frac{m_\alpha}{2E}} \ \propto\ \frac{Z-2}{\sqrt{E}}\tag{7.4.15}$$

衰变率的对数正比于 $-1/\sqrt E$——这正是 Geiger–Nuttall 那条经验直线，在被发现十七年后第一次有了推导。

数量级下的账：对铀-238 代入数字得 $2\gamma\approx90$，即 $T\sim\ee^{-90}\sim10^{-39}$。α 粒子在核内的碰壁频率约为 $v/2r_0\sim10^{21}\ \text{s}^{-1}$，于是寿命

$$\tau\sim\frac{1}{10^{21}\times10^{-39}}\ \text{s}=10^{18}\ \text{s}\approx3\times10^{10}\ \text{年}\tag{7.4.16}$$

与实测的 45 亿年同一个量级——对一个指数上顶着 90 的估算，这是响亮的成功。

三十个数量级的谜底：能量从 4.3 MeV 涨到 8.8 MeV，$1/\sqrt E$ 只缩小约三分之一，但它乘着 90 坐在指数上：$2\gamma$ 从 $\sim90$ 掉到 $\sim50$ 再叠加势垒细节的变化， $T$ 就变化几十个数量级。寿命的荒谬跨度不过是指数函数的日常操作。 同一根指数杠杆的另一端是恒星：太阳核心的质子靠隧穿点燃聚变，隧穿概率对温度的极端敏感设定了恒星的燃烧节奏。

∎本节关键公式

• WKB 波函数

  $$\psi\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}\exp\left[\pm\frac{\ii}{\hbar}\int^x p\,\dd x'\right]$$

  禁区内 p→iħκ，振荡变指数衰减；|ψ|²∝1/v 即经典停留时间

• 适用条件

  $$\left|\frac{\dd\lambda}{\dd x}\right|\ll1$$

  波长在一个波长内几乎不变；转折点处最大限度失效

• 量子化条件

  $$\int_{x_1}^{x_2}p\,\dd x=\left(n+\tfrac12\right)\pi\hbar$$

  Bohr-Sommerfeld + 半整数修正；谐振子上恰好精确

• 隧穿因子

  $$T\approx\ee^{-2\gamma},\quad\gamma=\frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m(V-E)}\,\dd x$$

  α 衰变：2γ∝(Z−2)/√E，即 Geiger-Nuttall 律

?自测共 4 题

1. 1.

   WKB 近似的适用条件是：

   • 德布罗意波长在一个波长的距离内几乎不变
   • 势能远小于总能量
   • 微扰矩阵元远小于能级间距
   • 粒子速度接近光速

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2. 2.

   WKB 振幅因子 1/√p(x) 的物理解释是：

   • 概率密度正比于 1/v，即经典粒子在各处的停留时间
   • 归一化的数学要求，没有物理意义
   • 波函数必须在转折点发散
   • 动量越大波函数越大

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3. 3.

   为什么 α 衰变的能量差 2 倍能造成寿命差 10²³ 倍？

   • 衰变率正比于 e^(−2γ)，而 2γ ∝ 1/√E 是量级为几十的大数，指数上的适度变化被放大成几十个数量级
   • 高能 α 粒子在核内碰壁频率高出 10²³ 倍
   • 重核的库仑势垒随能量指数增长
   • 这是实验误差，真实寿命差别不大

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4. 4.

   电子隧穿一个高出其能量 1.0 eV、宽 0.50 nm 的方势垒。用 T ≈ e^(−2κa) 估算穿透概率。（提示：κ = √(2mc²·ΔE)/ħc，mc² = 511000 eV，ħc = 197.3 eV·nm）

   允许 0% 相对误差

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接下来

到目前为止，全章的哈密顿量都不含时间：能级是永恒的，定态一旦住进去就永远不出来。可是现实世界里原子在吸光、发光，激发态活不过几纳秒。矛盾出在哪里？出在「哈密顿量不含时」这个假设——光波打在原子上，原子感受到的是一个随时间振荡的电场。下一节把微扰论装上时间轴，去算量子力学里最有用的一类数字：跃迁概率。