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1.1

经典物理的危机

19 世纪末的物理学看起来已经收工了。三个不起眼的实验事实把地基掀了。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说出经典物理在 1900 年前后的完整版图，以及它自认为已经解决了什么
  • 指出紫外灾难、低温比热、原子稳定性这三个死结各自卡在哪一步
  • 解释为什么这三件事不能靠「再修补一下经典理论」解决

先说一句可能有点反直觉的话：1900 年的物理学家并不觉得自己缺什么。

那时候的教科书是这样分工的：

  • 力学管物体怎么动。牛顿三定律加上万有引力，从炮弹到海王星都算得准。
  • 电磁学管电、磁、光。麦克斯韦四个方程把它们统一成一件事，还顺带预言了电磁波——1887 年赫兹真把它做了出来。
  • 热力学与统计力学管热、能量、熵。玻尔兹曼把宏观的温度归结成分子的乱撞。

三块拼起来几乎覆盖了当时能做的所有实验。物理系甚至有人劝学生别读物理，说这门学问只剩下把常数多测几位小数了。

这一章要讲的就是第二朵乌云怎么变成暴雨。为了让后面的路好走，我们先把三个最要命的矛盾摆出来——不解决它们，只描述它们卡在哪。

死结一：把炉子烧红，公式却给出无穷大

任何物体只要有温度就会发光。铁块烧到 600 ℃ 发暗红，1200 ℃ 发橙白，太阳表面 5800 K 发白。物理学家把这件事理想化成黑体：一个只吸收、不反射的空腔，我们只看它从小孔漏出来的光。

问题很朴素：这些光的能量在各个频率上是怎么分配的？

物理图像

经典的答案。 把空腔里的电磁场看成一堆驻波（跟一根两端固定的琴弦一样），每个驻波是一个独立的振动模式。能量均分定理说：热平衡时每个模式平均分到 kBTk_BT 的能量。

于是只要数出「频率在 ν\nu 附近有多少个模式」，乘上 kBTk_BT，就得到能量分布。这就是瑞利-金斯定律。

哪里对不上。 空腔越小的驻波（频率越高）数目越多，而且是没有上限地多。每个都分到 kBTk_BT，总能量就发散了。

数学形式

u(ν,T)=8πν2c3 kBT(1.1.1)u(\nu,T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,k_BT\tag{1.1.1}U=∫0∞u(ν,T) dν=∞(1.1.2)U=\int_0^\infty u(\nu,T)\,\dd \nu=\infty\tag{1.1.2}

推导每一步都没错，结论却是：任何有温度的物体都会瞬间以无穷大的功率辐射掉全部能量。

后人管这个叫紫外灾难——灾难出在紫外那一端，因为频率越高问题越严重。

实验测出来的当然不是这样。真实的曲线在某个频率处到达峰值，然后掉下来，总能量是有限的。

注意这个矛盾的性质：不是理论算得不够准，是理论给出了无穷大。这种错法没法靠修正系数补救。

死结二：温度降下来，热容量却「消失」了

第二个死结用的是同一条能量均分定理，只是换了个场合。

固体里每个原子在晶格上振动，可以看成三个方向上的弹簧振子。每个振子有动能也有势能，均分定理给它 kBTk_BT，一摩尔固体因此有

CV=3NAkB=3R≈25 J/(mol⋅K)(1.1.3)C_V=3N_Ak_B=3R\approx 25\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})\tag{1.1.3}

这是杜隆-珀蒂定律，室温下对大多数金属准得惊人。

能量均分定理凭什么会失效？ 它的推导只用了统计力学最基本的假设。要么统计力学错了，要么「每个自由度都能连续地分到能量」这个前提错了。

死结三：原子按经典算法活不过一亿分之一秒

1911 年卢瑟福用 α 粒子轰击金箔，发现原子的正电荷和几乎全部质量都挤在一个极小的核里，电子在外面。那电子在干什么？

如果电子静止，它会被库仑力直接吸进核里。所以它必须绕着核转——像行星绕太阳。

估算：经典原子能活多久基础~5 min

麻烦在于电子带电。经典电动力学有一条铁律：加速运动的电荷会辐射电磁波。绕圈运动是加速运动（方向一直在变），所以电子必须持续辐射，持续损失能量，轨道持续缩小。

辐射功率由拉莫尔公式给出：

P=e2a26πε0c3(1.1.4)P=\frac{e^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\tag{1.1.4}

取氢原子的尺度 r≈0.5 A˚=5×10−11 mr\approx0.5\ \text{Å}=5\times10^{-11}\ \text{m}。库仑力提供向心加速度：

a=e24πε0mr2≈9×1022 m/s2(1.1.5)a=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 m r^2}\approx 9\times10^{22}\ \text{m}/\text{s}^2\tag{1.1.5}

电子的总能量（动能 + 势能）是

E=−e28πε0r≈−2.2×10−18 J(1.1.6)E=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}\approx-2.2\times10^{-18}\ \text{J}\tag{1.1.6}

把这些数代进去，辐射功率约 5×10−8 W5\times10^{-8}\ \text{W}。用总能量除以功率作数量级估计：

τ∼∣E∣P∼2.2×10−185×10−8≈4×10−11 s(1.1.7)\tau\sim\frac{|E|}{P}\sim\frac{2.2\times10^{-18}}{5\times10^{-8}}\approx4\times10^{-11}\ \text{s}\tag{1.1.7}

约 40 皮秒。 认真做积分（轨道缩小时功率还会越来越大）得到的是 1.6×10−111.6\times10^{-11} 秒，同一个量级。

也就是说：按经典电动力学，你桌上这块木头应该在宇宙诞生后的头 0.00000000002 秒里就塌成一堆核了。

而且经典模型连光谱也解释不了。轨道连续收缩意味着辐射频率连续变化，原子应该发出连续光谱。实测的却是一条条分立的亮线，位置精确到能当元素的指纹用。

本节关键公式

  • 瑞利-金斯定律

    u(ν,T)=8πν2c3kBTu(\nu,T)=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT

    推导无误，却给出发散的总能量——紫外灾难

  • 杜隆-珀蒂定律

    CV=3R≈25 J/(mol⋅K)C_V=3R\approx25\ \text{J}/(\text{mol}\cdot\text{K})

    室温准，低温完全失效

  • 拉莫尔辐射功率

    P=e2a26πε0c3P=\frac{e^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}

    让经典原子活不过 10⁻¹¹ 秒

自测共 3 题

  1. 1.

    紫外灾难的要害是什么？

  2. 2.

    低温下固体比热趋于零，这个现象直接挑战了下列哪一条？

  3. 3.

    经典电动力学预言绕核电子会在约 10⁻¹¹ 秒内落入原子核。这个预言的前提是：

接下来

三个死结里，第一个最先被撬开。1900 年底，普朗克为了让公式对上实验曲线，做了一个他自己都不满意的假设。

下一节看看他到底做了什么，以及为什么他花了十几年都不肯承认那是真的。

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