角动量本征值与球谐函数

上一节押了一个赌：光靠对易关系 $[\hat L_x,\hat L_y]=\ii\hbar\hat L_z$ （及其轮换）就能定出全部本征值。这一节兑现它。整个论证只用三样东西： 对易关系、算符的厄米性、以及「长度的平方不能是负数」这句大实话。

造梯子

谐振子的经验：想在本征值上「爬格子」，需要一个算符 $\hat A$， 它与 $\hat L_z$ 的对易子正比于它自己——这样 $\hat A$ 作用在本征态上， 产出的还是本征态，只是本征值挪了一格。试试这个组合：

$$\hat L_\pm\equiv\hat L_x\pm\ii\hat L_y\tag{5.2.1}$$

它们不厄米（$\hat L_+^\dagger=\hat L_-$），不代表可观测量——它们是工具，不是对象。 算两条关键对易子（都从基本对易关系直接展开）：

$$[\hat L_z,\hat L_\pm]=[\hat L_z,\hat L_x]\pm\ii[\hat L_z,\hat L_y] =\ii\hbar\hat L_y\pm\ii(-\ii\hbar\hat L_x)=\pm\hbar\hat L_\pm\tag{5.2.2}$$ $$[\hat L^2,\hat L_\pm]=0\quad(\hat L^2\ \text{与每个分量都对易})\tag{5.2.3}$$

第一条说：$\hat L_+$ 把 $L_z$ 的本征值抬高 $\hbar$，$\hat L_-$ 压低 $\hbar$——这就是梯子。 第二条说：爬梯子的过程中 $\hat L^2$ 的本征值纹丝不动——梯子是竖在固定长度的圆锥上的。

爬出全部本征值

纯代数定谱：从对易关系到 l(l+1)ħ²进阶~12 min展开

设定记号。 设 $\ket{\lambda,m}$ 是共同本征态：

$$\hat L^2\ket{\lambda,m}=\lambda\hbar^2\ket{\lambda,m},\qquad \hat L_z\ket{\lambda,m}=m\hbar\ket{\lambda,m}\tag{5.2.4}$$

（把 $\hbar$ 提出来，$\lambda$ 和 $m$ 都是纯数。此刻我们对它们一无所知。）

第一步：验证梯子真的能爬。 考察 $\hat L_+\ket{\lambda,m}$ 是谁的本征态：

$$\hat L_z\big(\hat L_+\ket{\lambda,m}\big) =\big(\hat L_+\hat L_z+[\hat L_z,\hat L_+]\big)\ket{\lambda,m} =\big(m\hbar+\hbar\big)\hat L_+\ket{\lambda,m}\tag{5.2.5}$$

所以 $\hat L_+\ket{\lambda,m}$ 要么是零矢量，要么是 $m+1$ 的本征态。 同理 $\hat L_-$ 给出 $m-1$。而 $[\hat L^2,\hat L_\pm]=0$ 保证 $\lambda$ 不变。

第二步：梯子必须有顶。 关键的物理输入：垂直分量不能超过总长度。严格地说，

$$\lambda\hbar^2-m^2\hbar^2 =\bra{\lambda,m}\hat L^2-\hat L_z^2\ket{\lambda,m} =\bra{\lambda,m}\hat L_x^2+\hat L_y^2\ket{\lambda,m}\ge0\tag{5.2.6}$$

最后一步是因为 $\hat L_x^2$ 的期望值是 $\|\hat L_x\ket{\lambda,m}\|^2$，是长度的平方，非负。 于是 $m^2\le\lambda$：$m$ 被夹在有限区间里， 梯子不能无限爬。必然存在顶层 $m_{\max}$，满足

$$\hat L_+\ket{\lambda,m_{\max}}=0\tag{5.2.7}$$

（不是「作用后还在」，而是干脆被湮灭——这是梯子终止的唯一方式。）

第三步：用顶层条件解出 λ。 需要一个恒等式，直接展开可得：

$$\hat L_-\hat L_+=(\hat L_x-\ii\hat L_y)(\hat L_x+\ii\hat L_y) =\hat L_x^2+\hat L_y^2+\ii[\hat L_x,\hat L_y] =\hat L^2-\hat L_z^2-\hbar\hat L_z\tag{5.2.8}$$

把它作用在顶层态上，左边是零，右边给出

$$0=\big(\lambda-m_{\max}^2-m_{\max}\big)\hbar^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=m_{\max}(m_{\max}+1)\tag{5.2.9}$$

第四步：同样处理底层。 记 $\hat L_-\ket{\lambda,m_{\min}}=0$，用 $\hat L_+\hat L_-=\hat L^2-\hat L_z^2+\hbar\hat L_z$ 得

$$\lambda=m_{\min}(m_{\min}-1)\tag{5.2.10}$$

两式相等：$m_{\max}(m_{\max}+1)=m_{\min}(m_{\min}-1)$。 把它看成关于 $m_{\min}$ 的二次方程，两个根是 $m_{\min}=-m_{\max}$ 和 $m_{\min}=m_{\max}+1$。后者荒谬（底比顶还高），所以

$$m_{\min}=-m_{\max}\tag{5.2.11}$$

梯子上下对称。

第五步：整数还是半整数？ 从底爬到顶，每步 $+1$，共走整数步 $N$：

$$m_{\max}-m_{\min}=2m_{\max}=N \quad\Longrightarrow\quad m_{\max}=\frac{N}{2}=0,\ \tfrac12,\ 1,\ \tfrac32,\ 2,\ \dots\tag{5.2.12}$$

结论。 记 $l\equiv m_{\max}$（惯例记号）：

$$\hat L^2\ket{l,m}=l(l+1)\hbar^2\ket{l,m},\qquad \hat L_z\ket{l,m}=m\hbar\ket{l,m}\tag{5.2.13}$$

其中 $l$ 取非负整数或半整数，$m$ 从 $-l$ 到 $+l$ 一格一格取，共 $2l+1$ 个值。 微分方程一个没解，谱已经全部到手。

顺手把梯算符的系数定下来（构造矩阵和算 CG 系数都要用）。由上面的恒等式， $\|\hat L_\pm\ket{l,m}\|^2=\big[l(l+1)-m(m\pm1)\big]\hbar^2$，取正实系数约定：

$$\hat L_\pm\ket{l,m}=\hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\;\ket{l,m\pm1}\tag{5.2.14}$$

代入 $m=\pm l$ 可以直接看到根号变零——梯子的顶和底被公式自己堵住了。

回到球面：轨道角动量丢掉一半

代数给出的 $l$ 可以取半整数。但轨道角动量——真的由 $\vec r\times\vec p$ 构造出来的那种——只实现了整数的一半。原因要回到波函数。在球坐标 $(r,\theta,\phi)$ 下（$\theta$ 是与 z 轴的夹角，$\phi$ 是绕 z 轴的方位角）， $\hat L_z$ 有个非常干净的形式：

$$\hat L_z=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\tag{5.2.15}$$

它的本征函数是 $\ee^{\ii m\phi}$。现在关键一击： $\phi$ 和 $\phi+2\pi$ 是空间里的同一个点，波函数在同一点必须只有一个值：

$$\ee^{\ii m(\phi+2\pi)}=\ee^{\ii m\phi} \quad\Longrightarrow\quad \ee^{2\pi\ii m}=1 \quad\Longrightarrow\quad m\ \text{必须是整数}\tag{5.2.16}$$

若 $m=\tfrac12$，转一圈波函数会变号——同一点两个值，作为空间中的函数这不允许。 所以轨道角动量只有 $l=0,1,2,\dots$。半整数的座位空着： 代数明明允许它，位置波函数却容不下它。记住这个悬念——下一节它就会有主人。

球谐函数：本征态的长相

$(\hat L^2,\hat L_z)$ 的共同本征函数只依赖角度，记作 $Y_l^m(\theta,\phi)$， 称为球谐函数——「球面上的谐波」，地位相当于球面版的 $\sin$ 与 $\cos$。 构造思路照抄代数：顶层条件 $\hat L_+Y_l^l=0$ 是一阶微分方程， 解出 $Y_l^l\propto\sin^l\theta\,\ee^{\ii l\phi}$，再用 $\hat L_-$ 一路降下来。前几个是：

$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},\qquad Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\qquad Y_1^{\pm1}=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,\ee^{\pm\ii\phi}\tag{5.2.17}$$

∎本节关键公式

• 本征值谱

  $$\hat L^2\ket{l,m}=l(l+1)\hbar^2\ket{l,m},\quad \hat L_z\ket{l,m}=m\hbar\ket{l,m}$$

  纯代数结果；m = −l, …, +l 共 2l+1 个

• 梯算符

  $$\hat L_\pm\ket{l,m}=\hbar\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\,\ket{l,m\pm1}$$

  m = ±l 时系数为零，梯子自动封顶封底

• 关键恒等式

  $$\hat L_\mp\hat L_\pm=\hat L^2-\hat L_z^2\mp\hbar\hat L_z$$

  定谱推导的引擎，也给出梯算符系数

• 轨道角动量限整数

  $$\ee^{2\pi\ii m}=1\ \Rightarrow\ m\in\mathbb{Z}$$

  波函数单值性排除半整数；半整数席位留给自旋

• 球谐函数（l=1）

  $$Y_1^0=\sqrt{\tfrac{3}{4\pi}}\cos\theta,\quad Y_1^{\pm1}=\mp\sqrt{\tfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,\ee^{\pm\ii\phi}$$

  m=0 沿轴哑铃，|m|=1 赤道甜甜圈

?自测共 4 题

1. 1.

   梯算符推导中，「梯子必须有顶」的物理依据是什么？

   • ⟨L_x² + L_y²⟩ ≥ 0，因此 m² ≤ l(l+1)，m 不能无限增大
   • 能量守恒不允许角动量无限增大
   • ħ 是最小作用量，爬梯不能超过它
   • L_+ 作用有限次后算符本身变为零

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2. 2.

   为什么轨道角动量的 l 不能取 1/2，尽管代数允许？

   • m = 1/2 时波函数 e^{imφ} 绕 z 轴一圈后变号，空间波函数在同一点必须单值
   • 半整数 l 会让能量变成负的
   • 实验从未观测到 l = 1/2，所以人为排除
   • 半整数 l 破坏 L² 与 L_z 的对易性

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3. 3.

   L̂_+ 作用在 |l=1, m=0⟩ 上得到 ħ·c·|1,1⟩。系数 c 是多少？

   • √2
   • 1
   • 2
   • √6

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4. 4.

   一束粒子处于 l = 3 的态。测量 L_z，最多可能得到多少种不同的结果？

   种允许 0% 相对误差

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接下来

代数允许 $l=\tfrac12,\tfrac32,\dots$，球面上的波函数却容不下它们。 数学预留了席位，空间填不进去——那这些席位是白留的吗？

1922 年，两个德国物理学家把一束银原子射过不均匀磁场，在玻璃板上得到了 两条分立的痕迹——恰好是 $2l+1$ 在 $l=\tfrac12$ 时的值。 半整数的座位有主人了，而它带来的角动量和空间转动没有任何关系。