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模块 03

一维束缚态：势阱与谐振子

看懂「能级」是从哪冒出来的，以及为什么定态明明在转、却被称为「静止」。

你将看见什么

  • 蓝色的 ψ 管随时间在复平面里转动，而紫色的 |ψ|² 幕布纹丝不动
  • 量子数每加一，波函数就多一个节点；能级间距按 n² 或等间距排开
  • 有限深阱里波函数渗出阱壁，指数衰减——这就是隧道效应的种子

前置知识

  • 波函数与 Born 规则（模块 02）
  • 二阶常微分方程的边界条件概念

「能量是量子化的」大概是量子力学最广为人知的一句话，也是最容易被当成咒语背下来的一句。

它其实一点也不神秘：把波关在一个盒子里，就只有特定的几种波能装得下。吉他弦、鼓面、管风琴都是这样。真正需要解释的不是「为什么量子化」，而是「为什么之前没人注意到电子是波」。

一维束缚态：能级、波函数与「定态为什么是静止的」

蓝色的管子是 ψ 在复平面里的样子，它随时间转动；紫色幕布是 |ψ|²，它一动不动。这就是「定态」的全部含义。

3D 场景加载中…

势阱
4.0
能级
2

点能级尺或 3D 里的曲线都能切换量子数。

显示
时间演化
相位 0°
速度
E2=2.7758E_{2} = 2.7758解析值 2.7758（误差 0.00%）
节点数 2⟨x⟩ = 0.000Δx = 1.115束缚态
  • ψ（复数，随时间转动）
  • |ψ|²（不随时间变）
  • 势能 V(x)
  • 能级 Eₙ

观察指南

  • 先按播放，然后切到「沿 x 看」视角：你正对着复平面，会看到 ψ 在原地转圈。转的是相位，不是概率——紫色幕布始终不动。
  • 把量子数 n 从 0 调到 5：数一数波函数穿过零点的次数，应当恰好等于 n。同时注意能级间距怎么变——无限深阱是 n²，谐振子是等间距。
  • 切到有限深阱，把 V₀ 调小：能级一条条被「挤出」阱口，束缚态越来越少。同时注意波函数在阱壁外并不为零——它指数衰减地渗出去，这正是隧道效应的根。
  • 选谐振子、把 n 调到最大，打开「经典概率分布对比」：量子分布的包络开始贴近经典结果，两端最大、中间最小。这就是对应原理。
  • 打开「其余本征态轮廓」并旋转视角：能级图与波函数图其实是同一张图的两个投影方向。

✕ “波函数是粒子在空间中的形状”

ψ 不是物质分布。它是复振幅；有物理意义的是 |ψ|²（概率密度）以及不同态之间的相对相位。

✕ “定态里粒子在阱中来回运动”

定态的概率密度完全不随时间变化，也没有概率流。会「流动」的只有叠加态——那是模块 09 的内容。

✕ “无限深阱里 ψ 在墙外为零，所以有限深阱也一样”

恰恰相反。有限深阱里波函数以 e^{−κ|x|} 渗入经典禁区，这是纯量子效应，也是隧道效应的直接来源。

想一想

  1. 为什么基态能量不是零？把阱宽调窄时基态能量怎么变？用不确定性原理估一估 E ~ ħ²/(2mL²) 并与读数对照。
  2. 无限深阱 E_n ∝ n²，谐振子 E_n ∝ (n + ½) 等间距。从「波必须在阱内装下整数个半波长」和「势能是二次的」两条出发，解释这个差别。
  3. 有限深阱无论多浅，都至少有一个束缚态（一维特有）。把 V₀ 调到 0.5 试试。这在三维中不成立——为什么维度会有影响？

定态：转的是相位，不是概率

含时薛定谔方程

iℏ ∂tΨ=H^Ψ\ii\hbar\,\partial_t\Psi = \hat H \Psi

在 H^ψn=Enψn\hat H\psi_n = E_n\psi_n 的解上给出

Ψn(x,t)=ψn(x) e−iEnt/ℏ.\Psi_n(x,t) = \psi_n(x)\,\ee^{-\ii E_n t/\hbar}.

指数因子的模恒为 1，所以

∣Ψn(x,t)∣2=∣ψn(x)∣2与 t 无关.|\Psi_n(x,t)|^2 = |\psi_n(x)|^2 \quad\text{与 } t \text{ 无关}.

这就是场景里最核心的那一幕：管子在转，影子不动。切到「沿 x 看」视角，你正对复平面，会看到整条曲线像一根被拧的绳子一样原地旋转。转速正比于 EnE_n。

三个势阱，三种能级排布

势阱能级间距记号
无限深方阱En=n2π2ℏ22mL2E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}越来越疏（∝n\propto n）n=1,2,3…n = 1,2,3\ldots
谐振子En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac12\right)完全等间距n=0,1,2…n = 0,1,2\ldots
有限深方阱无解析式（超越方程）有限条，越高越疏深度决定条数

场景里切换势阱类型，同时盯着左侧的能级尺，这三种排布的差别一眼就看出来了。

无限深方阱：三行推完

阱内 V=0V=0，定态方程是 −ℏ22mψ′′=Eψ-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' = E\psi，通解 ψ=Asin⁡kx+Bcos⁡kx\psi = A\sin kx + B\cos kx，其中 k=2mE/ℏk=\sqrt{2mE}/\hbar。

边界条件 ψ(0)=ψ(L)=0\psi(0)=\psi(L)=0 强制 B=0B=0 且 kL=nπkL = n\pi。于是

kn=nπL,En=ℏ2kn22m=n2π2ℏ22mL2,ψn=2Lsin⁡nπxL.k_n = \frac{n\pi}{L},\qquad E_n = \frac{\hbar^2k_n^2}{2m} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},\qquad \psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}.

「装得下整数个半波长」这句话，数学上就是 kL=nπkL=n\pi。

基态能量不为零：不确定性的直接后果

E1≠0E_1 \ne 0，谐振子甚至有零点能 12ℏω\tfrac12\hbar\omega。为什么不能让粒子静止在阱底？

因为静止意味着 Δp=0\Delta p = 0，而 Δx≤L\Delta x \le L 是有限的，这违反 ΔxΔp≥ℏ/2\Delta x\Delta p\ge\hbar/2。粗略估计：

E∼(Δp)22m∼ℏ22mL2,E \sim \frac{(\Delta p)^2}{2m} \sim \frac{\hbar^2}{2mL^2},

与精确结果 π2ℏ2/2mL2\pi^2\hbar^2/2mL^2 只差一个 π2≈10\pi^2 \approx 10 的因子。把场景里的阱宽 LL 拖窄，基态能量按 1/L21/L^2 飙升——这个「挤压代价」是原子不会塌缩、白矮星不会被引力压垮的同一个原因。

有限深阱：波函数会漏出去

这是本模块最该带走的一张画面。

在经典禁区（E<V(x)E < V(x)）里，定态方程变成

ψ′′=κ2ψ,κ=2m(V0−E)ℏ,\psi'' = \kappa^2\psi,\qquad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar},

解是 e±κx\ee^{\pm\kappa x} ——不是振荡，是指数衰减。所以波函数在阱壁之外不是零，而是拖着一条指数尾巴。

把这条尾巴接到墙的另一侧，就是模块 04 的隧道效应。

本节关键公式

  • 定态

    Ψn(x,t)=ψn(x)e−iEnt/ℏ\Psi_n(x,t)=\psi_n(x)\ee^{-\ii E_n t/\hbar}

    只有相位在转

  • 无限深阱

    En=n2π2ℏ2/2mL2E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2mL^2

    ∝ n²，∝ 1/L²

  • 谐振子

    En=ℏω(n+12)E_n = \hbar\omega(n+\tfrac12)

    等间距 + 零点能

  • 经典禁区

    ψ∼e−κx, κ=2m(V0−E)/ℏ\psi \sim \ee^{-\kappa x},\ \kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar

    指数衰减，不是零

想一想

  1. 把无限深阱的宽度加倍，基态能量变成原来的几分之一？场景里量一下，再用公式核对。
  2. 谐振子的能级等间距，这件事和「电磁场可以有 n 个光子」有什么关系？
  3. 一维有限深阱无论多浅都至少有一个束缚态，三维却不是这样。把阱深调到 0.5 试试，再想想维度在哪一步进来了。

深入阅读 · 教材对应小节

3D 场景负责建立图像，完整的推导与习题在教材部分。

学完这一模块