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5.5

自旋进动

磁场里的自旋像陀螺一样绕场转圈，转多快只由磁场强度决定。医院的 MRI 听的就是这个转速。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 写出磁场中自旋的哈密顿量，完整解出态的时间演化
  • 算出 Larmor 频率并解释为什么它与自旋初始方向无关
  • 定性说明共振与 Rabi 振荡：旋转的横向场如何翻转自旋
  • 讲清 NMR/MRI 的基本流程：极化、翻转、听信号

上一节的 SG 装置回答「此刻自旋朝哪」。这一节问下一个自然的问题： 两次测量之间，自旋在做什么？

这不只是理论洁癖。你身体里每一个氢原子核都是一个自旋 12\tfrac12， 医院的磁共振成像（MRI）机器整天在跟它们打交道—— 它依赖的物理，恰好就是「测量之间自旋如何演化」这一问的答案。

哈密顿量：只剩一项

把一个磁矩为 μ⃗\vec\mu 的粒子放进均匀磁场 B⃗=Bz^\vec B=B\hat z。 均匀意味着没有力（上一节的力来自梯度），粒子不动；位置这本账完全平静， 只剩自旋这本账在演化。能量就是经典的取向能：

H^=−μ⃗⋅B⃗=−γB S^z(5.5.1)\hat H=-\vec\mu\cdot\vec B=-\gamma B\,\hat S_z\tag{5.5.1}

这里 μ⃗=γS⃗^\vec\mu=\gamma\hat{\vec S}，比例常数 γ\gamma 叫旋磁比—— 每种粒子一个固定值，电子的 ∣γe∣=geμB/ℏ|\gamma_e|=g_e\mu_B/\hbar（ge≈2.002g_e\approx2.002）， 质子的约小 660 倍（质量大，磁矩小）。

这大概是量子力学里最简单的非平庸哈密顿量：一个 2×22\times2 对角矩阵。 本征态就是 ∣↑⟩,∣↓⟩\ket{\uparrow},\ket{\downarrow}，能量

E↑=−γℏB2,E↓=+γℏB2(5.5.2)E_\uparrow=-\frac{\gamma\hbar B}{2},\qquad E_\downarrow=+\frac{\gamma\hbar B}{2}\tag{5.5.2}

（取 γ\gamma 为正来叙述；电子的 γ\gamma 实际为负，只是让转向反过来。） 两能级的间隔 ΔE=γℏB\Delta E=\gamma\hbar B 随磁场线性张开——这就是 Zeeman 分裂 在两能级系统上的最简版本。把这个间隔换算成频率，记

ω≡ΔEℏ=γB(5.5.3)\omega\equiv\frac{\Delta E}{\hbar}=\gamma B\tag{5.5.3}

这个频率马上要成为主角。

解演化：自旋绕场转圈

任意初态的演化与 ⟨S⟩ 的进动基础~9 min

第一步：初态。 设 t=0t=0 时自旋沿某个方向 (θ,ϕ=0)(\theta,\phi=0)「朝上」 （用 5.3 节的一般公式，ϕ\phi 取零不失一般性）：

∣χ(0)⟩=cos⁡θ2∣↑⟩+sin⁡θ2∣↓⟩(5.5.4)\ket{\chi(0)}=\cos\frac\theta2\ket{\uparrow}+\sin\frac\theta2\ket{\downarrow}\tag{5.5.4}

第二步：套用定态展开。 H^\hat H 的本征态现成，直接给每个分量挂上相位钟 e−iEt/ℏ\ee^{-\ii E t/\hbar}（见 3.9 节）：

∣χ(t)⟩=cos⁡θ2 e+iωt/2∣↑⟩+sin⁡θ2 e−iωt/2∣↓⟩(5.5.5)\ket{\chi(t)}=\cos\frac\theta2\,\ee^{+\ii\omega t/2}\ket{\uparrow} +\sin\frac\theta2\,\ee^{-\ii\omega t/2}\ket{\downarrow}\tag{5.5.5}

（代入 E↑=−ℏω/2E_\uparrow=-\hbar\omega/2、E↓=+ℏω/2E_\downarrow=+\hbar\omega/2。） 提出整体相位 e+iωt/2\ee^{+\ii\omega t/2} 扔掉：

∣χ(t)⟩ ∼ cos⁡θ2∣↑⟩+e−iωtsin⁡θ2∣↓⟩(5.5.6)\ket{\chi(t)}\ \sim\ \cos\frac\theta2\ket{\uparrow} +\ee^{-\ii\omega t}\sin\frac\theta2\ket{\downarrow}\tag{5.5.6}

第三步：认出这是谁。 对照一般自旋态 cos⁡θ2∣↑⟩+eiϕsin⁡θ2∣↓⟩\cos\tfrac\theta2\ket{\uparrow}+\ee^{\ii\phi}\sin\tfrac\theta2\ket{\downarrow}—— 这正是方向 (θ, ϕ(t)=−ωt)(\theta,\ \phi(t)=-\omega t) 上的「朝上」态！ 极角 θ\theta 一动不动，方位角匀速旋转。演化 = 绕 z 轴转圈，在 Bloch 球上是一条纬线。

第四步：验证期望值。 逐个算（用 Pauli 矩阵夹一下即可）：

⟨S^z⟩=ℏ2cos⁡θ=常数(5.5.7)\langle\hat S_z\rangle=\frac\hbar2\cos\theta=\text{常数}\tag{5.5.7}⟨S^x⟩=ℏ2sin⁡θcos⁡ωt,⟨S^y⟩=−ℏ2sin⁡θsin⁡ωt(5.5.8)\langle\hat S_x\rangle=\frac\hbar2\sin\theta\cos\omega t,\qquad \langle\hat S_y\rangle=-\frac\hbar2\sin\theta\sin\omega t\tag{5.5.8}

⟨S⃗⟩\langle\vec S\rangle 是一支长度不变、以角速度 ω=γB\omega=\gamma B 绕磁场方向匀速转动的矢量——与经典陀螺在重力下的进动一模一样。 这个转动叫 Larmor 进动，ω\omega 叫 Larmor 频率。

物理图像

直觉：进动就是两个音叉的拍。

自旋态是 ∣↑⟩\ket{\uparrow} 与 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 的叠加， 两个成分的相位钟走速不同（能量不同）。相对相位以 ω=ΔE/ℏ\omega=\Delta E/\hbar 匀速累积——宏观上看，就是横向分量在转圈。

这和 2.7 节里两个本征态叠加、 概率云以 ω21\omega_{21} 来回晃是同一件事： 凡是两能级的叠加，可观测量都以能级差对应的频率振荡。 自旋只是把这件事画在了球面上。

数学形式

数字：每种粒子一个电台频道。

ω=γB\omega=\gamma B，除以 2π2\pi 换成普通频率：

  • 电子，B=1 TB=1\ \text{T}：f=geμBB/h≈28.0 GHzf=g_e\mu_B B/h\approx28.0\ \text{GHz}（微波）。
  • 质子，B=1 TB=1\ \text{T}：f≈42.6 MHzf\approx42.6\ \text{MHz}（短波电台波段）。
  • 质子，B=3 TB=3\ \text{T}（主流 MRI 机）：f≈127.7 MHzf\approx127.7\ \text{MHz}。

频率只依赖 γ\gamma 和 BB，与自旋的初始方向无关（θ\theta 只决定转圈的半径， 不决定转速）。所以每种核在给定磁场下有自己雷打不动的「频道」—— 想跟谁说话，就把收音机调到谁的频率。

共振：怎么把自旋翻过来

光看着自旋转圈没什么用，我们还想操控它——比如把朝上的自旋翻到朝下。 能级差是 ℏω\hbar\omega，直觉上讲：施加一个频率恰好为 ω\omega 的扰动就行。

具体做法：在大静场 B0z^B_0\hat z 之外，再加一个在 xy 平面内旋转的小磁场 B1B_1（B1≪B0B_1\ll B_0），旋转频率为 ωrf\omega_{\text{rf}}。定性结论 （完整求解要用 3.9 节的旋转参考系技巧，这里讲清物理）：

  • 失谐时（ωrf\omega_{\text{rf}} 偏离 ω0=γB0\omega_0=\gamma B_0）：小场跟自旋 「转不同步」，推力一会儿帮忙一会儿捣乱，平均下来几乎没效果。
  • 共振时（ωrf=ω0\omega_{\text{rf}}=\omega_0）：换到跟着自旋一起转的参考系里看， 大场 B0B_0 的效果被转动恰好抵消，只剩一个静止的小场 B1B_1—— 于是自旋绕 B1B_1 以慢频率 ω1=γB1\omega_1=\gamma B_1 缓缓转动， 从北极大回环转到南极再转回来。∣↑⟩\ket{\uparrow} 与 ∣↓⟩\ket{\downarrow} 之间的概率来回摆动：
P↓(t)=sin⁡2ω1t2(共振时)(5.5.9)P_{\downarrow}(t)=\sin^2\frac{\omega_1 t}{2}\quad(\text{共振时})\tag{5.5.9}

这个摆动叫 Rabi 振荡。掐好时间关掉小场，就能把自旋精确停在任何想要的位置： 转 t=π/ω1t=\pi/\omega_1（「π\pi 脉冲」）恰好完全翻转；转一半（「π/2\pi/2 脉冲」） 把自旋放平到赤道——这是下面 NMR 要用的关键一招。

NMR 与 MRI：把这一节变成一台机器

核磁共振（NMR）的流程，用本节的语言三句话说完：

  1. 极化。 把样品放进强磁场 B0B_0。热平衡下自旋朝上比朝下略多 （能量低的态人口稍多——室温 3 T 下也就多百万分之十的量级， 但样品里核的数目是 102310^{23} 级，净磁化足够用）， 样品获得一个沿 z 的净磁矩。
  2. 翻转。 打一个频率对准 ω0=γB0\omega_0=\gamma B_0 的射频 π/2\pi/2 脉冲， 把净磁矩放平到 xy 平面。
  3. 听。 平躺的磁矩以 Larmor 频率进动，像一根旋转的条形磁铁， 在线圈里感应出频率为 ω0\omega_0 的振荡电压。测这个信号的频率与衰减。

为什么值得听？因为 ω0=γB\omega_0=\gamma B 里的 BB 是核所在处的实际磁场， 它被周围电子云轻微屏蔽——不同化学环境里的同种核，频率有百万分之几的偏差 （「化学位移」）。化学家由此从一张频谱读出分子结构，这是 NMR 谱学。

MRI 则反其道行之：故意把 B0B_0 做成随位置变化的梯度场， 于是频率变成了位置的条形码——收到 127.68 MHz 的信号，就知道它来自磁场 恰好对应这个频率的那一层组织。再加上不同组织里信号衰减快慢不同 （水多脂肪多弛豫时间不同），就能重建出软组织的三维图像。 你躺进 MRI 机时听到的敲击声，就是梯度线圈在快速切换这个「条形码」。

本节关键公式

  • 哈密顿量与分裂

    H^=−γBS^z,ΔE=γℏB=ℏω0\hat H=-\gamma B\hat S_z,\qquad \Delta E=\gamma\hbar B=\hbar\omega_0

    两能级 Zeeman 分裂；ω₀ 与初始方向无关

  • Larmor 进动

    ⟨S^x⟩=ℏ2sin⁡θcos⁡ω0t,⟨S^z⟩=常数\langle\hat S_x\rangle=\tfrac\hbar2\sin\theta\cos\omega_0 t,\quad \langle\hat S_z\rangle=\text{常数}

    极角不变、方位角匀速转：Bloch 球上的一条纬线

  • Larmor 频率

    ω0=γB\omega_0=\gamma B

    质子 42.6 MHz/T，电子 28.0 GHz/T——每种粒子一个频道

  • Rabi 振荡

    P↓(t)=sin⁡2ω1t2,ω1=γB1P_{\downarrow}(t)=\sin^2\tfrac{\omega_1 t}{2},\qquad \omega_1=\gamma B_1

    共振时上下人口全幅摆动；π 脉冲完全翻转

自测共 4 题

  1. 1.

    Larmor 进动中，下列哪个量随时间变化？

  2. 2.

    为什么 Rabi 翻转要求射频场频率对准 ω₀ = γB₀？

  3. 3.

    关于 NMR/MRI，正确的是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    质子的旋磁比 γ = 2.675×10⁸ rad·s⁻¹·T⁻¹。在 3.0 T 的 MRI 磁体中，质子的 Larmor 频率 f = γB/2π 是多少 MHz？（保留一位小数）

    MHz允许 50% 相对误差

接下来

到此为止，我们一直在摆弄单个自旋。但真实体系里角动量很少单独出现： 氢原子的电子既有轨道角动量 L⃗^\hat{\vec L} 又有自旋 S⃗^\hat{\vec S}； 氦原子有两个电子的自旋；质子和中子凑成原子核。

两个角动量摆在一起，总角动量是多少？经典答案「矢量相加」在量子力学里 立刻遇到麻烦——连每支矢量自己的三个分量都不能同时确定，拿什么相加？ 下一节给出正确的加法，它的答案会同时解释「单态」「三重态」这些 将来在化学键和纠缠态里反复出现的词。

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