2.6 期望值、方差与不确定性原理

有了 $|\Psi|^2$ ，我们就有了一个概率分布。剩下的事情是统计学：算平均值，算涨落。

期望值

的定义直接来自概率论：

\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x\,|\Psi(x,t)|^2\,\dd x\tag{2.6.1}

动量算符从哪来

位置的期望值好写。动量呢？我们并不知道「粒子的动量分布」长什么样。但有一条线索： $\langle p\rangle$ 应该等于 $m\,\dd\langle x\rangle/\dd t$ 。

推导：从 d⟨x⟩/dt 反推动量算符进阶~7 min

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\,\dd x\tag{2.6.2}

用 2.2 节得到的连续性方程 $\partial_t|\Psi|^2=-\partial_x j$ ：

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=-\int x\frac{\partial j}{\partial x}\dd x\tag{2.6.3}

分部积分，边界项因 $\Psi$ 可归一化而消失：

=\int j\,\dd x=\int\frac{\ii\hbar}{2m}\left(\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}-\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)\dd x\tag{2.6.4}

对第一项再作一次分部积分（把导数从 $\Psi^*$ 挪到 $\Psi$ ），两项合并：

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=-\frac{\ii\hbar}{m}\int\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\,\dd x\tag{2.6.5}

于是

\langle p\rangle=m\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\int\Psi^*\left(-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,\dd x\tag{2.6.6}

括号里的东西就是动量算符：

\hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}\tag{2.6.7}

它不是被假设的，是被推出来的——只要你承认 Born 规则、薛定谔方程，以及「动量 = 质量 × 速度」这个经典对应。

一般地，任何经典量 $A(x,p)$ 对应的算符由代换 $x\to x$ 、 $p\to-\ii\hbar\partial_x$ 得到，其期望值为

\langle \hat A\rangle=\int\Psi^*\,\hat A\,\Psi\,\dd x\tag{2.6.8}

注意 $\hat A$ 必须夹在 $\Psi^*$ 和 $\Psi$ 中间——算符要作用在右边的 $\Psi$ 上，顺序不能随便换。

方差与标准差

\sigma_A^2=\langle \hat A^2\rangle-\langle \hat A\rangle^2\tag{2.6.10}

$\sigma_A$ 衡量的是测量结果的离散程度。特别地， $\sigma_A=0$ 当且仅当 $\Psi$ 是 $\hat A$ 的本征态—— 这时每次测量都给出同一个值。

例：无限深势阱基态的 σₓ 与 σ_p进阶~6 min

基态 $\psi_1=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$ ，定义域 $[0,L]$ 。

位置：由对称性 $\langle x\rangle=L/2$ 。

\langle x^2\rangle=\frac{2}{L}\int_0^L x^2\sin^2\frac{\pi x}{L}\dd x =\frac{2}{L}\int_0^L x^2\cdot\frac{1-\cos(2\pi x/L)}{2}\dd x\tag{2.6.11}

第一项给 $\frac{L^2}{3}$ ；第二项两次分部积分后给 $-\frac{L^2}{2\pi^2}$ 。合起来

\langle x^2\rangle=L^2\left(\frac13-\frac{1}{2\pi^2}\right)\tag{2.6.12}

\sigma_x^2=\langle x^2\rangle-\frac{L^2}{4}=L^2\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{2\pi^2}\right) \approx0.0326\,L^2 \;\Longrightarrow\;\sigma_x\approx0.181\,L\tag{2.6.13}

动量： $\langle p\rangle=0$ （实波函数， $\Psi^*\partial_x\Psi$ 的积分为纯虚数被 $-\ii\hbar$ 抵成实数后由对称性为零；物理上就是左右行等概率）。而

\langle p^2\rangle=2m\langle T\rangle=2mE_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{L^2} \;\Longrightarrow\;\sigma_p=\frac{\pi\hbar}{L}\tag{2.6.14}

乘积：

\sigma_x\sigma_p\approx0.181L\cdot\frac{\pi\hbar}{L}=0.568\,\hbar\approx1.14\cdot\frac{\hbar}{2}\tag{2.6.15}

确实大于 $\hbar/2$ ，而且相当接近下限。注意 $L$ 完全约掉了—— 把盒子做小， $\sigma_x$ 按比例变小， $\sigma_p$ 按比例变大，乘积纹丝不动。这在本节的模拟里可以直接看到。

不确定性原理

\sigma_x\,\sigma_p\ \ge\ \frac{\hbar}{2}\tag{2.6.16}

严格证明要用到广义不确定性关系（3.6 节），这里先把它到底在说什么讲清楚。

这不是「测量干扰」

流行的说法是：「要看清电子位置就得用短波长光子去照它，光子把动量踢给了电子，所以动量变得不确定。」

这个说法（海森堡显微镜）有历史价值，但作为对不等式的解释是错的，理由很简单：

$\sigma_x$ 和 $\sigma_p$ 是同一个波函数的两个统计性质。你可以在完全不测量的情况下，纯粹用纸笔从 $\Psi$ 算出它们——上面的推导就是这么做的。不等式在你决定测什么之前就已经成立了。

正确的说法是： $\sigma_x$ 小的波函数（空间上很窄）在傅里叶展开中必然包含很宽的波数范围，因而 $\sigma_p$ 大。这是傅里叶分析的定理，对声波、光脉冲同样成立（这就是为什么超短激光脉冲必然有很宽的光谱）。量子力学的独特之处只在于 $p=\hbar k$ 把「波数宽度」翻译成了「动量不确定度」。

物理图像

该怎么读这条不等式

它是关于态的陈述，不是关于仪器的陈述。

它说的是：不存在这样的量子态，其位置分布和动量分布同时任意窄。无论你用多好的仪器、测不测量，这条限制都在。

达到等号的态是高斯波包——所以高斯波包在量子力学里享有特殊地位（2.10 节）。

数学形式

\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\tag{2.6.17}

数量级估算（常用）：

\Delta p\sim\frac{\hbar}{\Delta x},\qquad E\sim\frac{(\Delta p)^2}{2m}\sim\frac{\hbar^2}{2m(\Delta x)^2}\tag{2.6.18}

把粒子限制在尺度 $L$ 内，零点动能就 $\sim\hbar^2/2mL^2$ 。无限深势阱的 $E_1=\pi^2\hbar^2/2mL^2$ 与这个估计只差一个 $\pi^2$ 因子。

一维无限深势阱

拖动宽度 L 与量子数 n，看能量、波形与概率分布怎么一起变。单位取 ħ = m = 1。

能量 Eₙ (n=1): 4.935
相对 E₁(L=1): 1.00 ×
⟨x⟩ / L: 0.500
Δx / L: 0.180

阱宽 L1.00

缩小盒子，所有能级一起被顶上去：E ∝ 1/L²

量子数 n1

节点数 = n − 1 = 0（不含两端）

状态

显示 ψ显示 |ψ|²

试试看

把 L 从 2.5 拖到 0.6，盯住能级图上那条虚线（固定在 E₁(L=1) 的参考能量）：它会一路沉到图的底部，也就是说所有能级都远远升到了它上面。读数区的「相对 E₁(L=1)」会从 0.16 涨到 2.78 ——「把粒子关得越紧，它的动能越大」，这就是 ΔxΔp ≥ ħ/2 的一个直接后果。
在定态下改变 n，注意 |ψ|² 始终不随时间变化（曲线是静止的）；切到叠加态并播放，|ψ|² 立刻开始左右晃。「定态」定的就是这件事。
叠加态里只留 c₁（其余拖到 0），播放——概率密度又不动了。单个本征态无论怎么演化都只是整体乘一个相位 e^(−iEₙt/ħ)，观测量看不见它。
让 n 取 10 以上再看 |ψ|²：条纹密到接近均匀分布，正是经典粒子在盒子里「哪儿都可能」的图像——对应原理在这里现身。

这里是一个交互模拟（infinite-well），需要启用 JavaScript 才能运行。正文的推导与结论不依赖它，可以继续往下读。

拖动阱宽 $L$ 并观察读数区的 $\Delta x/L$ ：它是个常数（约 0.181）。也就是说 $\sigma_x\propto L$ ，而能量 $\propto1/L^2$ 意味着 $\sigma_p\propto1/L$ 。乘积与 $L$ 无关——不等式在任何盒子尺寸下都同样紧。

Ehrenfest 定理：经典力学的回归

推导：⟨x⟩ 与 ⟨p⟩ 满足牛顿方程进阶~5 min

上面已经得到第一式：

\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t}=\frac{\langle p\rangle}{m}\tag{2.6.19}

对 $\langle p\rangle$ 做类似的计算（对时间求导，代入薛定谔方程，分部积分）可得

\frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle=\langle F\rangle\tag{2.6.20}

两式合起来正是牛顿第二定律的期望值版本。

但请看清右边：是 $\langle F(x)\rangle$ ，不是 $F(\langle x\rangle)$ 。这两者一般不相等。把 $F$ 在 $\langle x\rangle$ 附近展开：

\langle F(x)\rangle=F(\langle x\rangle)+\frac12 F''(\langle x\rangle)\,\sigma_x^2+\cdots\tag{2.6.21}

只有当力在波包宽度范围内近似线性（ $F''\approx0$ ），或者波包足够窄（ $\sigma_x$ 很小）时，两者才一致，期望值才真正沿经典轨道运动。

这解释了经典力学何时是好近似：宏观物体的 $\sigma_x$ 小得可笑，而且日常力场在那个尺度上极其平滑。也解释了何时不是：电子过双缝时波包宽度与缝间距可比， $F''$ 项完全不能忽略。

本节关键公式

期望值
$\langle \hat A\rangle=\int\Psi^*\hat A\Psi\,\dd x$
算符必须夹在中间，作用于右侧的 Ψ
动量算符
$\hat p=-\ii\hbar\frac{\partial}{\partial x}$
由 ⟨p⟩ = m d⟨x⟩/dt 推出，不是假设
标准差
$\sigma_A=\sqrt{\langle \hat A^2\rangle-\langle \hat A\rangle^2}$
σ_A = 0 ⟺ Ψ 是 Â 的本征态
不确定性原理
$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$
关于态的性质，与是否测量无关；高斯波包取等号
Ehrenfest 定理
$m\frac{\dd^2\langle x\rangle}{\dd t^2}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle$
注意是 ⟨F(x)⟩ 而非 F(⟨x⟩)

期望值、方差与不确定性原理

建议先掌握

学完本节你应该能

期望值

动量算符从哪来

方差与标准差

不确定性原理

物理图像

数学形式

一维无限深势阱

Ehrenfest 定理：经典力学的回归

本节关键公式

自测共 4 题

接下来

期望值

动量算符从哪来

方差与标准差

不确定性原理

◑物理图像

∑数学形式

Ehrenfest 定理：经典力学的回归

∎本节关键公式

接下来

物理图像

数学形式

本节关键公式