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2.2

归一化与概率流

概率总和必须永远是 1。证明这件事的同时，我们会得到一个描述「概率往哪儿流」的量。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 对给定波函数完成归一化，并说明为什么归一化常数的相位无所谓
  • 证明归一化在时间演化下自动保持
  • 写出概率流密度并用连续性方程解释它的物理含义
  • 判断一个函数能否作为合法的波函数

Born 规则要求

∫−∞∞∣Ψ(x,t)∣2 dx=1(2.2.1)\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x = 1\tag{2.2.1}

这是一个很强的约束，而且必须在每个时刻都成立。 薛定谔方程给出的是 Ψ\Psi 随时间的变化——凭什么保证这个积分不变？

如果它会变，量子力学就完了：粒子会随时间凭空出现或消失。 这一节我们证明它不会变，并在证明过程中挖出一个有用的新量。

归一化

给定一个解 Ψ\Psi，方程的线性性保证 AΨA\Psi 也是解（AA 为任意复常数）。 我们选 AA 使得积分等于 1：

∣A∣2∫−∞∞∣Ψ∣2 dx=1(2.2.2)|A|^2\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^2\,\dd x = 1\tag{2.2.2}

不是所有函数都能归一化。要求 ∫∣Ψ∣2\int|\Psi|^2 收敛，就必须让 Ψ\Psi 在 x→±∞x\to\pm\infty 时足够快地趋于零。 这类函数叫平方可积函数，构成 Hilbert 空间 L2L^2。

归一化不随时间改变

推导：d/dt ∫|Ψ|²dx = 0基础~6 min

我们要证明

ddt∫−∞∞∣Ψ(x,t)∣2 dx=0(2.2.3)\frac{\dd}{\dd t}\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x = 0\tag{2.2.3}

积分限与时间无关，所以求导可以搬进积分号里，变成偏导数：

ddt∫∣Ψ∣2dx=∫∂∂t(Ψ∗Ψ)dx=∫(Ψ∗∂Ψ∂t+∂Ψ∗∂tΨ)dx(2.2.4)\frac{\dd}{\dd t}\int|\Psi|^2\dd x = \int \frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi^*\Psi\right)\dd x = \int\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\Psi\right)\dd x\tag{2.2.4}

现在用薛定谔方程（这里先接受它的形式，第 2.4 节会详细讨论）：

∂Ψ∂t=iℏ2m∂2Ψ∂x2−iℏVΨ(2.2.5)\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \frac{\ii\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{\ii}{\hbar}V\Psi\tag{2.2.5}

取复共轭（VV 是实函数，这一点至关重要）：

∂Ψ∗∂t=−iℏ2m∂2Ψ∗∂x2+iℏVΨ∗(2.2.6)\frac{\partial\Psi^*}{\partial t} = -\frac{\ii\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{\ii}{\hbar}V\Psi^*\tag{2.2.6}

代回被积函数。含 VV 的两项符号相反，直接抵消：

Ψ∗∂Ψ∂t+∂Ψ∗∂tΨ=iℏ2m(Ψ∗∂2Ψ∂x2−∂2Ψ∗∂x2Ψ)(2.2.7)\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\Psi =\frac{\ii\hbar}{2m}\left(\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\Psi\right)\tag{2.2.7}

括号里的东西恰好是一个全导数：

∂∂x(Ψ∗∂Ψ∂x−∂Ψ∗∂xΨ)=Ψ∗∂2Ψ∂x2−∂2Ψ∗∂x2Ψ(2.2.8)\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right) =\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\Psi\tag{2.2.8}

（交叉项 ∂Ψ∗∂x∂Ψ∂x\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\frac{\partial\Psi}{\partial x} 出现两次且相消。）于是

ddt∫∣Ψ∣2dx=iℏ2m[Ψ∗∂Ψ∂x−∂Ψ∗∂xΨ]−∞+∞(2.2.9)\frac{\dd}{\dd t}\int|\Psi|^2\dd x =\frac{\ii\hbar}{2m}\left[\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\right]_{-\infty}^{+\infty}\tag{2.2.9}

而可归一化要求 Ψ→0\Psi\to 0（且导数有界）当 ∣x∣→∞|x|\to\infty，所以边界项为零。证毕。

这个证明依赖什么？ 只依赖 VV 是实的。如果引入复势（凝聚态与核物理里确实会这么做， 用来唯象地描述粒子被吸收），归一化就会随时间衰减——那正是「吸收」的数学表现。 本站波包模拟里的吸收边界层用的就是同一个思路。

概率流密度

上面的推导里冒出来的那个组合太重要了，值得单独起名。定义概率流密度

j(x,t)≡iℏ2m(Ψ∂Ψ∗∂x−Ψ∗∂Ψ∂x)=ℏmIm⁡(Ψ∗∂Ψ∂x)(2.2.10)j(x,t) \equiv \frac{\ii\hbar}{2m}\left(\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}-\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right) =\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)\tag{2.2.10}

（两个写法等价，第二个更便于记忆和计算。）那么上面的推导实际上证明了

∂ρ∂t+∂j∂x=0(2.2.11)\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0\tag{2.2.11}

这就是连续性方程，和流体力学、电动力学里的形式一模一样。

物理图像

把 ρ\rho 想成一种不可压缩流体的密度，jj 是它的流量。 连续性方程说：某个小区间里的「概率量」减少了多少， 就一定有同样多的概率从两端流了出去。概率不会凭空产生或消失，只会搬家。

这也解释了为什么归一化守恒：概率总量守恒是局域守恒律的整体版本。

数学形式

ddt∫abρ dx=j(a,t)−j(b,t)(2.2.12)\frac{\dd}{\dd t}\int_a^b\rho\,\dd x = j(a,t)-j(b,t)\tag{2.2.12}

左边是区间内概率的变化率，右边是「左端流入减右端流出」。

对定态（Ψ=ψe−iEt/ℏ\Psi=\psi\ee^{-\ii Et/\hbar} 且 ψ\psi 实）有 j≡0j\equiv 0： 不是没有运动，而是左行与右行的流恰好抵消。

例：平面波的概率流基础~3 min

取 Ψ=Aei(kx−ωt)\Psi = A\ee^{\ii(kx-\omega t)}。则

∂Ψ∂x=ikΨ,Ψ∗∂Ψ∂x=ik∣A∣2(2.2.13)\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\ii k\Psi,\qquad \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\ii k|A|^2\tag{2.2.13}j=ℏmIm⁡(ik∣A∣2)=ℏkm∣A∣2(2.2.14)j=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\ii k|A|^2)=\frac{\hbar k}{m}|A|^2\tag{2.2.14}

注意 ℏk/m=p/m=v\hbar k/m = p/m = v，所以

j=ρ v(2.2.15)j = \rho\, v\tag{2.2.15}

——概率密度乘以速度，正是「流量 = 密度 × 速度」。这跟经典流体的直觉完全一致。

顺带看出：如果 ψ\psi 是实函数（比如无限深势阱的定态），Ψ∗∂xΨ\Psi^*\partial_x\Psi 是实的， 虚部为零，j=0j = 0。定态里概率分布不动，流也为零。

什么样的函数才是合法波函数

不是任意数学函数都能当波函数。要求来自两方面：Born 规则要能用，薛定谔方程要有意义。

要求理由
平方可积 ∫∣Ψ∣2dx<∞\int\lvert\Psi\rvert^2\dd x<\infty否则无法归一化，Born 规则失效
Ψ\Psi 单值∣Ψ∣2\lvert\Psi\rvert^2 必须给出唯一的概率
Ψ\Psi 连续否则 ∂xΨ\partial_x\Psi 出现 δ 函数，动能发散
∂xΨ\partial_x\Psi 连续（势有限时）由薛定谔方程两边积分得到；势含 δ 函数或无限高时可以不连续

本节关键公式

  • 归一化条件

    ∫−∞∞∣Ψ(x,t)∣2 dx=1\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^2\,\dd x=1

    薛定谔方程保证它一旦成立就永远成立

  • 概率流密度

    j=ℏmIm⁡(Ψ∗∂Ψ∂x)j=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)

    平面波下退化为 j = ρv

  • 连续性方程

    ∂ρ∂t+∂j∂x=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0

    概率的局域守恒律

自测共 3 题

  1. 1.

    归一化条件 ∫|Ψ|²dx = 1 能唯一确定波函数前面的常数 A 吗？

  2. 2.

    归一化随时间守恒的证明依赖下列哪个条件？

  3. 3.

    一个实值的定态波函数 ψ(x)（如无限深势阱的本征态），其概率流 j 等于多少？这意味着什么？

接下来

我们一直在用薛定谔方程却没有正式介绍它。下一节先处理定态情形—— 这是绝大多数计算实际会做的事：解一个本征值问题。

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