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11.4

瞬时子与隧道效应

把时间旋进虚轴，势能翻个面，势垒下面出现一条堂堂正正的经典路径——瞬子。双阱能级劈裂、氨分子微波激射器，都由它的欧几里得作用量一锤定音。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 说明为什么实时间路径积分处理隧穿会失灵，以及 Wick 转动如何救场
  • 解释「虚时间里势能翻转」，并写出双阱中的瞬子解
  • 用瞬子的欧几里得作用量给出能级劈裂公式 ΔE ∼ ħω e^{−S_E/ħ}，并与 WKB 指数对上
  • 举出瞬子图像的真实应用（氨分子反转、化学反应、真空衰变）

上一节证完等价性，你可能会问：路径积分要是只会重推已知结果，学它干什么？ 这一节给出回答。有一类问题，波函数语言算得出数但看不出图像， 路径积分却能给出一幅漂亮到令人难忘的几何图像——势垒隧穿。

现象：双阱与氨分子

考虑一个双阱势：两个等深的势阱，中间隔一道高为 V0V_0 的势垒 （想象 V(x)=λ(x2−a2)2V(x)=\lambda(x^2-a^2)^2，两个最低点在 x=±ax=\pm a）。

这不是玩具。氨分子 NH₃ 是一个真实的双阱：氮原子可以在三个氢原子构成的平面 上方或下方，两个位形对称等价，中间隔着「氮原子穿过氢平面」的势垒。

经典力学的预言干脆利落：能量低于 V0V_0 的粒子被困在某一个阱里，永远出不来。 但实验说不是这样——氨分子的氮原子在两个位形之间来回振荡， 频率约 24 GHz。对应到能谱上：如果两个阱互相隔绝，基态是二重简并的 （左阱一个、右阱一个）；实际测到的却是一对劈裂开的能级， 劈裂 ΔE=h×23.87 GHz≈10−4\Delta E=h\times23.87\ \text{GHz}\approx10^{-4} eV—— 这是2.11 节讲过的隧穿在束缚态里的表现， 1954 年第一台微波激射器（maser）用的正是这对能级。

实时间路径积分为什么卡住

想用上一章的驻相法算隧穿振幅，立刻撞墙。驻相法靠的是找经典路径， 可是从左阱底到右阱底根本没有实的经典路径：势垒里 E<VE<V， 经典动能 mx˙22=E−V<0\frac{m\dot x^2}2=E-V<0，速度得是虚数。

没有驻相点，实时间路径积分就是一堆疯狂振荡的相位，谁也不比谁重要， 既算不动也看不出物理。隧穿是「指数小」的效应（T∼e−2γT\sim\ee^{-2\gamma}，回忆 2.11 节）， 而振荡积分最不擅长的就是把指数小的净剩量从满页的抵消里捞出来。

「速度得是虚数」——这句话听着像死刑判决，其实是路标。 速度是位移除以时间；让速度变虚的最优雅的办法，是让时间变虚。

Wick 转动：把时间旋进虚轴

物理图像

做什么。 把实时间换成纯虚数：t=−iτt=-\ii\tau，τ\tau 是实参数，称为虚时间 或欧几里得时间（名字来源：这个替换把相对论的时空间隔 −c2t2+x2-c^2t^2+x^2 变成 c2τ2+x2c^2\tau^2+x^2，闵可夫斯基几何变成欧几里得几何）。

发生什么。 两件事同时发生：

  1. 振荡权重变成衰减权重：eiS/ℏ→e−SE/ℏ\ee^{\ii S/\hbar}\to\ee^{-S_E/\hbar}。 积分从「振荡抵消」型变成「越小越好」型——主导贡献一目了然： 欧几里得作用量 SES_E 最小的路径。
  2. 运动方程里势能翻转：虚时间中的「经典运动」是在倒扣的势 −V(x)-V(x) 里的运动。

数学形式

代 t=−iτt=-\ii\tau 入作用量（x˙=dx/dt=i dx/dτ\dot x=\dd x/\dd t=\ii\,\dd x/\dd\tau）：

iS=i∫[m2x˙2−V]dt=−∫[m2(dxdτ)2+V(x)]dτ≡−SE(11.4.1)\ii S=\ii\int\Bigl[\frac m2\dot x^2-V\Bigr]\dd t =-\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\dd x}{\dd\tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr]\dd\tau \equiv-S_E\tag{11.4.1}

于是

eiS/ℏ=e−SE/ℏ,SE=∫[m2x′2+V(x)]dτ(11.4.2)\ee^{\ii S/\hbar}=\ee^{-S_E/\hbar},\qquad S_E=\int\Bigl[\frac m2 x'^2+V(x)\Bigr]\dd\tau\tag{11.4.2}

注意 SES_E 里动能与势能之间是加号—— 这等价于在势 −V-V 中运动的普通作用量。 SES_E 的极小值路径满足

m d2xdτ2=+dVdx(11.4.3)m\,\frac{\dd^2x}{\dd\tau^2}=+\frac{\dd V}{\dd x}\tag{11.4.3}

（对比实时间的 mx¨=−V′m\ddot x=-V'：力反了号，即势翻了面。）

把双阱 V(x)V(x) 倒扣过来看：两个阱底变成了两座山顶，中间的势垒变成了山谷。 从左山顶滚到右山顶——这在倒扣的势里是一条完全正当的经典路径！ 势垒下「不存在经典路径」的困境，在虚时间里烟消云散。

瞬子解与劈裂公式进阶~10 min

第一步：虚时间的能量守恒。 方程 mx′′=+V′(x)m x''=+V'(x) 有守恒量 m2x′2−V(x)=EE\frac m2x'^2-V(x)=E_E（倒势中的「能量」）。 我们要的路径从左山顶（τ→−∞\tau\to-\infty 时静止于 x=−ax=-a，那里 V=0V=0）出发， 所以 EE=0E_E=0，于是

dxdτ=2V(x)m(11.4.4)\frac{\dd x}{\dd\tau}=\sqrt{\frac{2V(x)}{m}}\tag{11.4.4}

第二步：解出瞬子。 对 V=λ(x2−a2)2V=\lambda(x^2-a^2)^2，分离变量积分得

x(τ)=atanh⁡ ⁣[ω(τ−τ0)2],ω≡8λa2m(11.4.5)x(\tau)=a\tanh\!\left[\frac{\omega(\tau-\tau_0)}{2}\right], \qquad \omega\equiv\sqrt{\frac{8\lambda a^2}{m}}\tag{11.4.5}

（ω\omega 恰好是单个阱底附近小振动的频率。）这条解在 τ0\tau_0 附近宽约 1/ω1/\omega 的窗口内完成从 −a-a 到 +a+a 的翻越，前后都几乎静止—— 整个「事件」在虚时间里只占一瞬，所以得名瞬子（instanton）。 τ0\tau_0 任意：翻越可以发生在任何时刻，这个自由度在精确计算里贡献一个因子。

第三步：瞬子的作用量。 用 EE=0E_E=0 把 SES_E 里的两项合并 （m2x′2=V\frac m2x'^2=V，故被积函数 =mx′2=x′⋅mx′=mx'^2=x'\cdot m x'），换成对 xx 积分：

SE=∫−∞∞m x′2 dτ=∫−aa2mV(x) dx(11.4.6)S_E=\int_{-\infty}^{\infty}m\,x'^2\,\dd\tau =\int_{-a}^{a}\sqrt{2mV(x)}\,\dd x\tag{11.4.6}

对四次双阱代入：2mV=2mλ (a2−x2)\sqrt{2mV}=\sqrt{2m\lambda}\,(a^2-x^2)， 而 ∫−aa(a2−x2)dx=4a33\int_{-a}^{a}(a^2-x^2)\dd x=\frac{4a^3}{3}，再用 2mλ=mω2a\sqrt{2m\lambda}=\frac{m\omega}{2a}，得

SE=4a33⋅mω2a=23 mωa2(11.4.7)S_E=\frac{4a^3}{3}\cdot\frac{m\omega}{2a}=\frac{2}{3}\,m\omega a^2\tag{11.4.7}

认出老朋友：∫2mV dx\int\sqrt{2mV}\,\dd x 正是 7.4 节 WKB 隧穿指数 γ=1ℏ∫2m(V−E) dx\gamma=\frac1\hbar\int\sqrt{2m(V-E)}\,\dd x 在 E≈0E\approx0 时的分子。 两套方法在指数上必然一致——它们数的是同一笔账。

第四步：劈裂公式（结果，定性给出）。 完整的计算还要算瞬子附近的高斯涨落 （超出本书范围），结果是

ΔE=2ℏω 2SEπℏ  e−SE/ℏ(11.4.8)\Delta E=2\hbar\omega\,\sqrt{\frac{2S_E}{\pi\hbar}}\;\ee^{-S_E/\hbar}\tag{11.4.8}

结构上真正要记住的是骨架：

ΔE  ∼  ℏω e−SE/ℏ(11.4.9)\Delta E\;\sim\;\hbar\omega\,\ee^{-S_E/\hbar}\tag{11.4.9}

尝试频率 ω\omega（粒子在阱里每秒「撞墙」多少次）乘以每次的隧穿压低因子 e−SE/ℏ\ee^{-S_E/\hbar}。势垒加高加宽 → SES_E 增大 → 劈裂指数变小。

瞬子图像的射程远不止双阱：化学里低温反应速率的隧穿修正、 超导结中相位的量子滑移、乃至宇宙学里「假真空经由气泡成核衰变」的速率， 用的都是同一个模板——找欧几里得经典解，算 SES_E，速率 ∝e−SE/ℏ\propto\ee^{-S_E/\hbar}。

本节关键公式

  • Wick 转动

    t=−iτ,eiS/ℏ→e−SE/ℏt=-\ii\tau,\qquad \ee^{\ii S/\hbar}\to\ee^{-S_E/\hbar}

    振荡变衰减；驻相变最小作用量

  • 欧几里得作用量

    SE=∫[m2(dxdτ)2+V(x)]dτS_E=\int\Bigl[\frac m2\Bigl(\frac{\dd x}{\dd\tau}\Bigr)^2+V(x)\Bigr]\dd\tau

    加号！等价于在倒扣势 −V 中的普通力学

  • 瞬子解（四次双阱）

    x(τ)=atanh⁡ω(τ−τ0)2x(\tau)=a\tanh\frac{\omega(\tau-\tau_0)}{2}

    倒势中从左山顶滚到右山顶；宽度 ∼1/ω

  • 瞬子作用量与劈裂

    SE=∫−aa2mV dx,ΔE∼ℏω e−SE/ℏS_E=\int_{-a}^{a}\sqrt{2mV}\,\dd x,\qquad \Delta E\sim\hbar\omega\,\ee^{-S_E/\hbar}

    指数与 WKB 隧穿指数一致；ΔE 决定左右振荡拍频

自测共 4 题

  1. 1.

    实时间路径积分处理势垒隧穿的根本困难是：

  2. 2.

    关于 Wick 转动 t=−iτ 之后的世界，正确的是：（多选）

    多选题

  3. 3.

    把双阱的势垒加高（S_E 从 5ħ 增至 10ħ，ω 不变），基态劈裂 ΔE 大约变为原来的：

  4. 4.

    氨分子反转振荡频率 ν=23.87 GHz。对应的基态能级劈裂 ΔE=hν 是多少 eV？（h=6.626×10⁻³⁴ J·s，1 eV=1.602×10⁻¹⁹ J）

    eV允许 0% 相对误差

接下来

路径积分把量子力学重写了一遍，还搭出了通往统计力学与场论的桥。 但整座大厦仍然站在一个没有言明的地基上：时间是牛顿的绝对时间， 能量是 p2/2mp^2/2m——全都是非相对论的。电子跑得接近光速时怎么办？ 能量高到可以凭空造出粒子时怎么办？下一章换个方向推广： 让量子力学与狭义相对论相容。这条路的终点， 藏着量子力学送给物理学的两件大礼——自旋的起源，和反物质的预言。

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