跳到正文
EN

12.2

Klein-Gordon 方程

把 E²=p²c²+m²c⁴ 直译成波动方程：协变性有了，代价是概率密度可以取负值。追查负概率的来龙去脉，会发现它其实在报告一件真事——反粒子的存在。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 按算符翻译规则从相对论色散关系构造出 Klein-Gordon 方程
  • 推导 KG 方程的守恒流，说明其密度为什么不是正定的
  • 把负概率困难追溯到「方程对时间二阶」这一结构根源
  • 说出现代的正确解读：ρ 是电荷密度，KG 方程描述自旋 0 的场

上一节的诊断书写得很清楚：病根是 E=p2/2mE=p^2/2m。药方似乎也是现成的—— 第 2 章造薛定谔方程的翻译规则又没有过期：

E  →  iℏ∂∂t,p⃗  →  −iℏ∇(12.2.1)E\;\to\;\ii\hbar\frac{\partial}{\partial t},\qquad \vec p\;\to\;-\ii\hbar\nabla\tag{12.2.1}

只要把它们代进正版的相对论关系 E2=p2c2+m2c4E^2=p^2c^2+m^2c^4，不就完事了？ Schrödinger 本人在 1926 年最先试的其实就是这条路（比他发表非相对论方程还早）， Klein 与 Gordon 同年正式发表。这一节我们走一遍这条路， 看看它成在哪里、又栽在哪里——栽的方式非常有教益。

构造方程

从色散关系到 Klein-Gordon 方程基础~5 min

第一步：直译。 把翻译规则代入 E2=p2c2+m2c4E^2=p^2c^2+m^2c^4，两边作用在波函数 ϕ(x,t)\phi(x,t) 上：

−ℏ2∂2ϕ∂t2=−ℏ2c2∇2ϕ+m2c4ϕ(12.2.2)-\hbar^2\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} =-\hbar^2c^2\nabla^2\phi+m^2c^4\phi\tag{12.2.2}

第二步：整理成标准形。 除以 −ℏ2c2-\hbar^2c^2，移项：

  1c2∂2ϕ∂t2−∇2ϕ+(mcℏ)2ϕ=0  (12.2.3)\boxed{\;\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi +\Bigl(\frac{mc}{\hbar}\Bigr)^2\phi=0\;}\tag{12.2.3}

这就是 Klein-Gordon 方程。认一认零件： 前两项合起来是波动方程的算符（达朗贝尔算符 □\Box）， 时间与空间都是二阶导数、以 1/c21/c^2 的正确比例搭配——洛伦兹协变，达标。 第三项的系数是上一节刚认识的康普顿波长的倒数平方，1/λC21/\lambda_C^2： 质量在方程里的唯一作用，是给波动方程配上一个内禀长度尺度。

第三步：两个极限自检。

  • m=0m=0：退化为波动方程 □ϕ=0\Box\phi=0，解以光速传播——光子该满足的方程。
  • 平面波 ϕ=ei(px−Et)/ℏ\phi=\ee^{\ii(px-Et)/\hbar} 代入，要求
E2=p2c2+m2c4  ⟹  E=±p2c2+m2c4(12.2.4)E^2=p^2c^2+m^2c^4\;\Longrightarrow\;E=\pm\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\tag{12.2.4}

色散关系精确回到出发点——但注意那个 ±\pm：每个动量都配了一个负能解。 先把它记在案上，本节主审另一桩案子。

案发现场：概率去哪了

一个候选的「量子力学方程」必须交出两样东西：概率密度 ρ\rho 和概率流 j⃗\vec j， 且满足连续性方程 ∂tρ+∇⋅j⃗=0\partial_t\rho+\nabla\cdot\vec j=0（概率不凭空产生或消失， 回忆 2.2 节）。 薛定谔方程交出的是 ρ=∣Ψ∣2≥0\rho=|\Psi|^2\geq0，天生合格。KG 方程呢？

KG 守恒流的推导与验尸进阶~9 min

第一步：老套路构造守恒律。 和 2.2 节完全同一招： 用 ϕ∗\phi^* 乘方程、减去 ϕ\phi 乘共轭方程。KG 方程及其复共轭为

1c2∂t2ϕ−∇2ϕ+m2c2ℏ2ϕ=0,1c2∂t2ϕ∗−∇2ϕ∗+m2c2ℏ2ϕ∗=0(12.2.5)\frac1{c^2}\partial_t^2\phi-\nabla^2\phi+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi=0,\qquad \frac1{c^2}\partial_t^2\phi^*-\nabla^2\phi^*+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi^*=0\tag{12.2.5}

ϕ∗×\phi^*\times第一式 −  ϕ×-\;\phi\times第二式（质量项相消）：

1c2(ϕ∗∂t2ϕ−ϕ ∂t2ϕ∗)−(ϕ∗∇2ϕ−ϕ∇2ϕ∗)=0(12.2.6)\frac1{c^2}\bigl(\phi^*\partial_t^2\phi-\phi\,\partial_t^2\phi^*\bigr) -\bigl(\phi^*\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\phi^*\bigr)=0\tag{12.2.6}

两个括号都能写成全导数：

∂∂t[1c2(ϕ∗∂tϕ−ϕ ∂tϕ∗)]−∇⋅(ϕ∗∇ϕ−ϕ∇ϕ∗)=0(12.2.7)\frac{\partial}{\partial t}\Bigl[\frac1{c^2}\bigl(\phi^*\partial_t\phi-\phi\,\partial_t\phi^*\bigr)\Bigr] -\nabla\cdot\bigl(\phi^*\nabla\phi-\phi\nabla\phi^*\bigr)=0\tag{12.2.7}

第二步：归一化系数，认出流。 乘上 iℏ2m\frac{\ii\hbar}{2m} 使空间部分与薛定谔的 概率流一致，得

ρ=iℏ2mc2(ϕ∗∂ϕ∂t−ϕ∂ϕ∗∂t),j⃗=ℏ2mi(ϕ∗∇ϕ−ϕ∇ϕ∗)(12.2.8)\rho=\frac{\ii\hbar}{2mc^2}\Bigl(\phi^*\frac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\frac{\partial\phi^*}{\partial t}\Bigr), \qquad \vec j=\frac{\hbar}{2m\ii}\bigl(\phi^*\nabla\phi-\phi\nabla\phi^*\bigr)\tag{12.2.8}

j⃗\vec j 和薛定谔的概率流一模一样，眼熟又安心。但 ρ\rho 变了： 它不再是 ∣ϕ∣2|\phi|^2，而是含时间导数的组合。

第三步：验尸。 代入平面波 ϕ=Nei(p⃗⋅x⃗−Et)/ℏ\phi=N\ee^{\ii(\vec p\cdot\vec x-Et)/\hbar} （∂tϕ=−iEϕ/ℏ\partial_t\phi=-\ii E\phi/\hbar）：

ρ=iℏ2mc2⋅(−2iEℏ)∣N∣2=Emc2 ∣N∣2(12.2.9)\rho=\frac{\ii\hbar}{2mc^2}\cdot\Bigl(-\frac{2\ii E}{\hbar}\Bigr)|N|^2 =\frac{E}{mc^2}\,|N|^2\tag{12.2.9}

正能解（E>0E>0）：ρ>0\rho>0，一切正常，且低速时 E→mc2E\to mc^2、ρ→∣N∣2\rho\to|N|^2， 接上薛定谔——很好。 负能解（E<0E<0）：ρ<0\rho<0。概率密度是负的。

而上一步刚查过，负能解是方程解空间的整整一半，扔不掉 （扔掉一半解，剩下的函数族不完备，连任意初始波包都拼不出来）。

平反：它不是错的，是被用错了

KG 方程后来被彻底平反——出问题的不是方程，而是「ϕ\phi 是单粒子概率幅」这个解读。

物理图像

换一副眼镜。 把 ρ\rho 乘上电荷 qq，别再叫它概率密度，改叫电荷密度。 电荷密度本来就该可正可负——正粒子贡献正的，反粒子贡献负的。 「负概率」这个丑闻，换个名字就成了预言： KG 方程的负能解在替一种带相反电荷的粒子占位子。 它说的是真话，只是我们一开始听错了语言。

在量子场论里，ϕ\phi 被重新定性为场（每个时空点一个自由度， 量子化后其激发才是粒子），KG 方程是自旋 0 粒子的场方程。 π 介子（1947 年发现）、以及 2012 年发现的希格斯玻色子， 满足的正是这个 1926 年的「失败」方程。

数学形式

守恒的是电荷，不是粒子数。

Q=q∫ρ d3x=const(12.2.10)Q=q\int\rho\,\dd^3x=\text{const}\tag{12.2.10}

一次典型的相对论过程：光子造出一对正负粒子，

γ  →  π++π−(12.2.11)\gamma\;\to\;\pi^+ +\pi^-\tag{12.2.11}

粒子数 1→21\to2（不守恒），电荷 0→(+1)+(−1)=00\to(+1)+(-1)=0（守恒）。 KG 的守恒律精确记录了这本账。

一个干净的旁证：实的 ϕ\phi（ϕ∗=ϕ\phi^*=\phi）代入 ρ\rho 的表达式恒得零—— 描述电中性粒子（如 π0\pi^0、希格斯）的实场压根没有这个密度可谈， 「概率解释」从一开始就不适用于它。

本节关键公式

  • Klein-Gordon 方程

    1c2∂2ϕ∂t2−∇2ϕ+(mcℏ)2ϕ=0\frac1{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi+\Bigl(\frac{mc}{\hbar}\Bigr)^2\phi=0

    时空皆二阶导，洛伦兹协变；质量项 = 1/λ_C²

  • 能谱

    E=±p2c2+m2c4E=\pm\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}

    负能解占解空间一半，因完备性不可丢弃

  • 守恒密度

    ρ=iℏ2mc2(ϕ∗∂tϕ−ϕ ∂tϕ∗)\rho=\frac{\ii\hbar}{2mc^2}\bigl(\phi^*\partial_t\phi-\phi\,\partial_t\phi^*\bigr)

    平面波代入得 ρ=(E/mc²)|N|²，负能解 ρ<0

  • 现代解读

    qρ=电荷密度,Q=q∫ρ d3x=constq\rho=\text{电荷密度},\qquad Q=q\int\rho\,\dd^3x=\text{const}

    KG 是自旋 0 场方程：π 介子、希格斯粒子

自测共 4 题

  1. 1.

    KG 方程的守恒密度 ρ 之所以不能保证非负，结构上的根源是：

  2. 2.

    为什么不能干脆丢掉 KG 方程的负能解？

  3. 3.

    关于 KG 方程的现代地位，正确的说法是：（多选）

    多选题

  4. 4.

    KG 方程质量项的长度尺度是康普顿波长 λ_C=ħ/mc（本书约定）。对照习惯上更常引用的 h/mc：电子的 h/mc 是多少皮米？（h=6.626×10⁻³⁴ J·s，m=9.109×10⁻³¹ kg，c=2.998×10⁸ m/s）

    pm允许 10% 相对误差

接下来

死因鉴定完成：时间二阶导数杀死了正定概率。Dirac 的策略是釜底抽薪—— 造一个时间、空间都只有一阶导数、平方之后又能回到 E2=p2c2+m2c4E^2=p^2c^2+m^2c^4 的方程。 用普通数字这做不到；Dirac 发现，用矩阵可以。 而这个纯粹为了「开平方根」而引入的代数结构， 将免费送出量子力学里最神秘的东西——自旋。

全站第 86 / 106 节 · 用 ← → 翻页