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10.5

退相干的物理图像

环境是个不请自来的测量者：每个散射的光子都在给体系「拍照」。相干项以指数速度被抹掉，而宏观物体被抹掉的速度快到荒谬——这就是薛定谔的猫见不到的原因。

建议先掌握

学完本节你应该能

  • 用「环境标记体系状态」的模型推出相干项 ∝ 环境态重叠 ⟨E₂|E₁⟩，并解释指数衰减的来源
  • 说明优选基由体系-环境相互作用决定，以及位置为什么几乎总是被选中
  • 对尘埃粒子给出退相干时间的量级估计，并与能量弛豫时间对比
  • 诚实地陈述退相干解决了测量问题的哪一半、没解决哪一半

上一节的 Lindblad 方程把相干项的指数衰减算得明明白白，但有个问题被塞进了地毯下面： 跳跃算符 L^\hat L 是我们挑的。挑 σ^z\hat\sigma_z 就抹 xx、yy 方向的相干， 挑别的就抹别的。到底谁来决定环境往哪个基上下手？

这个问题背后站着量子力学最老的一桩悬案。

现象开门：猫在哪里

薛定谔方程是线性的：如果原子可以处于「衰变 + 未衰变」的叠加， 那与它耦合的猫就该处于「死 + 活」的叠加。可是没有人见过叠加的猫—— 不但没见过猫，连一粒灰尘处于「这里 + 那里」的叠加都没人见过。 而同样的实验室里，电子、光子、甚至上万原子质量的大分子都能干干净净地表现出干涉。

分界线画在哪里？为什么微观可以叠加、宏观不行？ 老教科书的回答是「测量导致坍缩」，但这只是把问题换了个名字： 猫旁边没有戴护目镜的观测者，是谁在测量它？

本章的工具已经足够给出物理的回答：有测量者，而且从不缺席——环境本身。

环境是个话痨的测量者

关键机制一句话：体系的状态会写进环境的状态里。 一粒灰尘在位置 x1x_1，从它身上弹开的空气分子和光子飞向某些方向； 灰尘在 x2x_2，它们飞向另一些方向。散射出去的每个粒子都携带着 「灰尘在哪里」的记录——环境在不停地给体系拍照，从不冲洗，也从不停手。

相干项 = 环境照片的重叠度基础~8 min

第一步：一次散射。 体系两个位置态 ∣x1⟩,∣x2⟩\ket{x_1},\ket{x_2}，环境（一个光子）初态 ∣E0⟩\ket{E_0}。 相互作用把体系状态写进光子的状态（体系太重，自己几乎不动——这类「只留记录不改状态」 的相互作用正是第 9 章 CNOT 门的连续版）：

∣x1⟩∣E0⟩→∣x1⟩∣E1⟩,∣x2⟩∣E0⟩→∣x2⟩∣E2⟩(10.5.1)\ket{x_1}\ket{E_0}\to\ket{x_1}\ket{E_1},\qquad \ket{x_2}\ket{E_0}\to\ket{x_2}\ket{E_2}\tag{10.5.1}

由线性，叠加态被带成纠缠态：

(a∣x1⟩+b∣x2⟩)∣E0⟩  →  a∣x1⟩∣E1⟩+b∣x2⟩∣E2⟩(10.5.2)\big(a\ket{x_1}+b\ket{x_2}\big)\ket{E_0} \;\to\; a\ket{x_1}\ket{E_1}+b\ket{x_2}\ket{E_2}\tag{10.5.2}

第二步：只看体系。 我们不追踪飞走的光子——对环境追迹（3.10 节的套路， 交叉项各带一个环境内积）：

ρ^S=∣a∣2∣x1⟩⟨x1∣+∣b∣2∣x2⟩⟨x2∣+[ab∗⟨E2|E1⟩ ∣x1⟩⟨x2∣+h.c.](10.5.3)\hat\rho_S= |a|^2\ket{x_1}\bra{x_1}+|b|^2\ket{x_2}\bra{x_2} +\Big[ab^*\braket{E_2}{E_1}\,\ket{x_1}\bra{x_2}+\text{h.c.}\Big]\tag{10.5.3}

对角元原封不动，相干项被乘上了因子 ⟨E2|E1⟩\braket{E_2}{E_1}。这个内积的含义很直白： 两张「照片」有多难分辨。

  • ⟨E2|E1⟩=1\braket{E_2}{E_1}=1：光子根本没看清灰尘在哪，照片一模一样——相干性毫发无损。
  • ⟨E2|E1⟩=0\braket{E_2}{E_1}=0：照片完全可分辨，环境「知道」了位置——相干项被抹成零， 剩下的正是 10.1 节那种只有对角元的经典混合。

第三步：散射不止一次。 每秒有无数光子、分子撞上来，每次都独立地盖一个章。 NN 次散射后

ρ12(N)=ρ12(0)∏n=1N⟨E2(n)|E1(n)⟩(10.5.4)\rho_{12}(N)=\rho_{12}(0)\prod_{n=1}^N\braket{E_2^{(n)}}{E_1^{(n)}}\tag{10.5.4}

设每次重叠度约为同一个数，模长 ∣⟨E2|E1⟩∣=1−ϵ|\braket{E_2}{E_1}|=1-\epsilon，散射速率为 RR：

∣ρ12(t)∣≈∣ρ12(0)∣ (1−ϵ)Rt=∣ρ12(0)∣ e−t/τdec,1τdec≈R ϵ(10.5.5)|\rho_{12}(t)|\approx|\rho_{12}(0)|\,(1-\epsilon)^{Rt} =|\rho_{12}(0)|\,\ee^{-t/\tau_{\text{dec}}}, \qquad \frac{1}{\tau_{\text{dec}}}\approx R\,\epsilon\tag{10.5.5}

指数衰减不是假设出来的，是「许多次独立的小标记连乘」的必然结果。 哪怕单次散射几乎什么都没看清（ϵ∼10−3\epsilon\sim10^{-3}），只要次数够多，相干性照样完蛋—— 而宏观世界里 RR 大得超乎想象。

对位置连续分布的物体，同样的推理给出散射退相干的标准形式：

ρ(x,x′;t)=ρ(x,x′;0) e−Λt (x−x′)2(10.5.6)\rho(x,x';t)=\rho(x,x';0)\,\ee^{-\Lambda t\,(x-x')^2}\tag{10.5.6}

Λ\Lambda 叫定位速率。距离越远的叠加（∣x−x′∣|x-x'| 越大），照片越好分辨，死得越快。

谁挑的优选基：相互作用说了算

现在可以回答开头的问题了。环境抹掉的是位置之间的相干， 而不是（比如说）动量之间的相干，原因不在体系，在相互作用的形状： 散射、碰撞、库仑力——几乎一切耦合都通过位置发生。 环境能分辨的，是那些让相互作用取不同值的态。

一般规则：与相互作用哈密顿量（近似）对易、 从而在环境的连番拍照下自身几乎不被扰动的那组态，才能留下稳定的记录。 它们叫优选基或指针态（pointer states，名字来自仪器指针）。 其余的叠加态会立刻与环境纠缠，作为体系自己的态而言旋即消失。 上一节里「我们挑的」跳跃算符 L^\hat L，物理上正是由这条规则挑出来的—— 对宏观物体，L^\hat L 几乎总是位置型的算符，猫的指针态是「死」和「活」， 而不是它们的叠加。

数字才是重点：快到荒谬

物理图像

尘埃粒子的成绩单

一粒 10 μm10\ \mu\text{m} 的灰尘，叠加距离与自身尺寸相当。 Joos–Zeh 散射模型给出的退相干时间量级（数量级估计）：

  • 正常气压的空气：τdec∼10−31 s\tau_{\text{dec}}\sim10^{-31}\ \text{s}
  • 高真空实验室：∼10−17 s\sim10^{-17}\ \text{s}
  • 把一切都抽掉，只剩宇宙微波背景：∼1 s\sim1\ \text{s}

连宇宙大爆炸的余晖都足以在一秒内杀死它的叠加态。 「把环境隔干净」对宏观物体不是难，是没有物理上可行的方案。

数学形式

与能量弛豫的对比

同样的环境让灰尘减速（丢能量）需要多久？量子布朗运动模型给出干净的比值：

τdecτrel∼(λthΔx)2,λth=ℏ2mkBT(10.5.7)\frac{\tau_{\text{dec}}}{\tau_{\text{rel}}} \sim\Big(\frac{\lambda_{\text{th}}}{\Delta x}\Big)^2, \qquad \lambda_{\text{th}}=\frac{\hbar}{\sqrt{2mk_BT}}\tag{10.5.7}

代 m=1 gm=1\ \text{g}、T=300 KT=300\ \text{K}：λth≈3.7×10−23 m\lambda_{\text{th}}\approx3.7\times10^{-23}\ \text{m}。 取 Δx=1 cm\Delta x=1\ \text{cm}：

τdecτrel∼10−41(10.5.8)\frac{\tau_{\text{dec}}}{\tau_{\text{rel}}}\sim10^{-41}\tag{10.5.8}

哪怕摩擦弱到能量弛豫需要一个宇宙年龄（∼1017 s\sim10^{17}\ \text{s}）， 相干性也在 ∼10−24 s\sim10^{-24}\ \text{s} 内蒸发。 上一节 T2≤2T1T_2\le2T_1 说相位比能量娇贵；对宏观物体，娇贵了四十个数量级。

本节关键公式

  • 环境标记

    (a∣x1⟩+b∣x2⟩)∣E0⟩→a∣x1⟩∣E1⟩+b∣x2⟩∣E2⟩(a\ket{x_1}+b\ket{x_2})\ket{E_0}\to a\ket{x_1}\ket{E_1}+b\ket{x_2}\ket{E_2}

    相互作用把体系状态写进环境——环境在拍照

  • 相干项的命运

    ρ12→ρ12 ⟨E2|E1⟩\rho_{12}\to\rho_{12}\,\braket{E_2}{E_1}

    重叠度 = 照片可分辨程度；正交则相干性归零

  • 指数衰减

    ρ(x,x′;t)=ρ(x,x′;0) e−Λt(x−x′)2\rho(x,x^{\prime};t)=\rho(x,x^{\prime};0)\,\ee^{-\Lambda t(x-x^{\prime})^2}

    多次独立标记连乘的必然结果；距离越远死得越快

  • 退相干 vs 弛豫

    τdecτrel∼(λthΔx)2∼10−41 (1 g, 1 cm)\frac{\tau_{\text{dec}}}{\tau_{\text{rel}}}\sim\Big(\frac{\lambda_{\text{th}}}{\Delta x}\Big)^2\sim10^{-41}\ (1\,\text{g},\ 1\,\text{cm})

    宏观物体丢相位比丢能量快约 40 个数量级

自测共 4 题

  1. 1.

    一次散射后体系相干项被乘上 ⟨E₂|E₁⟩。这个因子的物理含义是：

  2. 2.

    设每次散射后相干项模长乘 0.999（单次几乎没看清）。要把相干性压到初值的 1%，需要多少次散射？

    次允许 10000% 相对误差
  3. 3.

    为什么优选基几乎总是（近似的）位置本征态？

  4. 4.

    关于退相干与测量问题，正确的是：（多选）

    多选题

接下来

退相干把相干性从体系身上转移进了体系-环境的关联里，还顺手挑出了指针态。 但经典世界还有一个更奇怪的性质没解释：客观性。 十个人看同一粒灰尘，看到的位置完全一致，谁也没有扰动它—— 可量子力学明明说测量会扰动体系，且未知态不可克隆。凭什么大家能「都知道」？

下一节是本章的展望：量子达尔文主义——经典性 = 信息在环境里的冗余备份。

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