对易关系与广义不确定性原理

对易子是算符，判断它等于什么要让它作用在任意波函数上。

逐项算（$\hat p=-\ii\hbar\,\dd/\dd x$）：

注意第二式里的乘积求导——那个多出来的 $\psi$ 就是全部的关键。相减：

对任意 $\psi$ 成立，所以

设 $\hat A$、$\hat B$ 厄米，体系处于归一化的 $\ket{\psi}$。定义去掉均值的算符

（$\langle A\rangle=\bra{\psi}\hat A\ket{\psi}$ 是数。）方差就是

同理 $\sigma_B^2=\braket{g}{g}$，$\ket{g}\equiv\Delta\hat B\ket{\psi}$。（这一步用了 $\Delta\hat A$ 厄米。）

第一步：柯西-施瓦茨不等式。

即 $\sigma_A^2\sigma_B^2\ge|\braket{f}{g}|^2$。

第二步：只保留虚部。 对任意复数 $z$ 有 $|z|^2\ge(\operatorname{Im}z)^2=\left(\frac{z-z^*}{2\ii}\right)^2$。取 $z=\braket{f}{g}$，注意 $z^*=\braket{g}{f}$：

第三步：把它换成对易子。

展开（注意 $\langle A\rangle,\langle B\rangle$ 是数，可以随意搬动）：

同理 $\braket{g}{f}=\langle \hat B\hat A\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle$。两式相减，那些均值的乘积全部抵消：

第四步：合并。

或写成

定理：两个厄米算符 $\hat A,\hat B$ 对易，当且仅当存在一组共同的正交归一完备本征基。

（⟸）容易的方向。 设 $\{\ket{n}\}$ 是共同本征基，$\hat A\ket{n}=a_n\ket{n}$，$\hat B\ket{n}=b_n\ket{n}$。则

对基里每个矢量都成立，由线性性对任意态成立，故 $[\hat A,\hat B]=0$。

（⟹）另一个方向。 设 $[\hat A,\hat B]=0$ 且 $\hat A\ket{a}=a\ket{a}$。考察 $\hat B\ket{a}$：

所以 $\hat B\ket{a}$ 也是 $\hat A$ 的本征矢，本征值同样是 $a$。

若 $a$ 非简并，则 $\hat B\ket{a}$ 只能正比于 $\ket{a}$，即 $\hat B\ket{a}=b\ket{a}$——$\ket{a}$ 自动也是 $\hat B$ 的本征矢，证毕。

若 $a$ 简并，则 $\hat B$ 把本征子空间 $\mathcal H_a$ 映到自身。$\hat B$ 限制在 $\mathcal H_a$ 上仍是厄米的，因此可以在 $\mathcal H_a$ 内部对角化——在简并子空间里重选一组基，使它同时是 $\hat B$ 的本征基。$\blacksquare$

最后这一步正是3.4 节提到的「简并时基的选择有自由度」的用处所在。